Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений

[venco]

Гаджимурат в сообщении #368628 писал(а):

Хорошо,вернемся к ур-нию:
$y^3=2K(K+1)+1$

Сначала давайте выясним, откуда Вы его взяли.

[Гаджимурат]

venco в сообщении #368634 писал(а):

Сначала давайте выясним, откуда Вы его взяли.

Приношу свои извинения,"опус" убрал,работать надо днем ,а не ночью(у нас уже половина третьего ночи),что бы не писать таких глупостей.

-- Пн ноя 01, 2010 01:21:21 --

shwedka в сообщении #368482 писал(а):

Доказательства не наблюдается. Видны громогласные заявления.

Согласен.

[nnosipov]

grisania в сообщении #240991 писал(а):

Таким образом следующие утверждения эквивалентны: 1) уравнение ${{\left( k+1 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{y}^{3}}$, где все числа натуральные, не имеет решений; 2) уравнение $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ не имеет решений, за исключением $x=\pm 1$, $y=1$. Я утверждаю обе эти задачи эквивалентны 3) уравнение ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$ не имеет решений для всех $x,y,z\ne 0$, т.е общему случаю ВТФ для тройки.

Действительно, эллиптические кривые $1+3x^2=4y^3$ и $x^3+y^3=1$ бирационально эквивалентны, но мне непонятно, как из отсутствия нетривиальных целых точек на первой кривой вытекает отсутствие нетривиальных рациональных точек на второй. Нельзя ли поподробнее?

Пардон, это уже обсуждалось выше (только что обнаружил).

Конечно, было бы забавно найти элементарное решение для уравнения $1+3x^2=4y^3$ в целых числах, но вряд ли здесь можно надеяться на успех, столько времени прошло со времён Эйлера.

А вообще, этот форум для ферматистов занятный, можно запросто убить пару часов читая все эти опусы ... Это, наверное, какой-то род общественной деятельности (полезный, на мой взгляд) --- указывать на элементарные ошибки и убеждать, что не всё так просто и очевидно. Завидую бесконечному терпению тех, кто делает это. Что вами движет, коллеги?

[LONGIN]

Господа!
Решение (преобразование) приведенного уравнения, которое я здесь не привожу, дает следующую зависимость:
$K=0,5[\sqrt{1+12(3N^2 + 3N +1)} -1] $,
где $N=1, 2, 3,...$
Если $K$ -целое число, то уравнение имеет решение в целых числах. И тогда Великая теорема Ферма имеет решение в целых числах для степени $n=3.$
$P.S.$ Многочлен в круглых скобках при его определении дает определенную зависимость между его значениями при определении его при последовательных значениях $N=1, 2, 3,...$
LONGIN

[LONGIN]

Господа!
Приношу извинения- допустил опечатку. Надо:
$K = 0,5[\sqrt{1+12N(3N^2 +3N +1)} - 1]$
LONGIN

[LONGIN]

Господа!
Обращаю ваше внимание на следующую всегда справедливую зависимость:
$(K + 1)^3 - K^3 = Y^3 = 1 + 6N$
LONGIN

[LONGIN]

Господа,
увидел здесь на форуме уравнение $a^2+3b^2 = c^3$.
Одно из простых решений : $a=b=c=4$.
Возможно, есть и другие.
LONGIN

[ananova]

Да, есть такое уравнение. Почему-то я им последнюю неделю занимаюсь с большим интересом. Однако, в нём, как минимум, $a$ и $b$ взаимно просты или я не прав?

[LONGIN]

Господа,
приведенное уравнение можно записать следующим образом:
$(a^2-b^2) + 4b^2=c^3$. Если принять $a-b=x$, $b=a-x$, то это уравнение преобразуется в квадратное уравнение: $3x^2 -6ax -(c^3-4a^2)=0$. Решение этого уравнения с учетом возможности извлечения квадратного корня при нахождении числа $x$ дает единственный результат, который я привел ранее.
LONGIN

[ananova]

grisania в сообщении #243805 писал(а):

Я вроде победил, на днях напишу.
....
Но прикол вот чем, из неразрешимости $(n+1)^3-n^3=y^3$ следует неразрешимость ВТФ для тройки $x^3-z^3=y^3$. Доказательство несложное.

Кто-нибудь может объяснить возможно ли это?

Перeведу сказанное выше на человеческий язык:

"из неразрешимости $x^3+y^3=(y+1)^3$ следует неразрешимость $x^3+y^3=z^3$. Доказательство несложное."

[nnosipov]

Из (нетривиальной) неразрешимости уравнения $x^3+y^3=(y+1)^3$ в рациональных числах $x$, $y$ действительно легко вытекает (нетривиальная) неразрешимость уравнения $x^3+y^3=z^3$ в целых числах. Но вот как это последнее "несложно" вывести только из неразрешимости уравнения $x^3+y^3=(y+1)^3$ в целых числах $x$, $y$, для меня загадка. (Ранее мне казалось, что этот момент уже обсудили выше, но сейчас заново всё пересмотрел и не нашёл.) Автора бы спросить, но что-то его не видать.

[ananova]

Да, может, кто-то кроме автора сможет помочь.

Я просто получил доказательство случая 2 для показателя 3 и $z=y+1$ и $z=y+2$, но пока не вижу никаких вариантов доказательства для общего вида $x^3+y^3=(y+2+3m)^3$, $m=1, 2, 3, ...$ (не прибегая к доказательству Эйлера).

[ananova]

nnosipov в сообщении #485124 писал(а):

Из (нетривиальной) неразрешимости уравнения $x^3+y^3=(y+1)^3$ в рациональных числах $x$, $y$ действительно легко вытекает (нетривиальная) неразрешимость уравнения $x^3+y^3=z^3$ в целых числах..

Ну не знаю какую неразрешимость я доказал.. вроде в целых числах.. Надеюсь Вы подскажете.

Общий план моего доказательства такой...
1) $ x \equiv -1 $ ($\mod (x+1)$)
2) доказательство не в одну строчку, что для $y$ допустимо только такое сравнение: $y \equiv 1 $ ($\mod (x+1)$) и никакое другое.
3) $z^3 \equiv 0 $ ($\mod (x+1)$), это следует из пунктов 1) и 2)
4) Т.к. по предусловию $z=y+1$, то из пункта 2) следует $z \equiv 2 $ ($\mod (x+1)$)
5) Минимально возможное $x$ больше 8 (это входит в план доказательства), получается, что $(x+1)>9$.
6) Вывод. Из пунктов 4) и 5) следует:
$z^3 \equiv 2^3 \equiv 8 $ ($\mod (x+1)$) и не может быть сравнимо с нулем по модулю $(x+1)$, что противоречит пункту 3) ... чтд.

Далее этот метод осложнён тем, что улучшить результат можно, доказывая новые и новые ограничения (для минимально допустимого значения $x$) или искать обходной путь.

PS: Если бы уравнение $x^n+y^n=z^n$ имело бы нетривиальные рациональные решения, то оно имело бы и целые решения, или решения в целых числах. Если $x, y, z$ - рациональные решения, a $d$ - наименьший общий знаменатель, то $xd, yd, zd$ - целые числа и $(xd)^n+(yd)^n=(zd)^n$. Так? Это можно найти в главе 1.1. Книги Эдвардса "Последняя теорема Ферма".

[venco]

ananova в сообщении #485210 писал(а):

2) доказательство не в одну строчку, что для $y$ допустимо только такое сравнение: $y \equiv 1 $ ($\mod (x+1)$) и никакое другое.

Самое интересное пропустили.

[ananova]

venco
Точно подмечено. Это ключевой пункт, который я доказываю с помощью, так называемой, - Мидл теоремы Ферма. Есть Малая теорема Ферма, есть Великая, а есть ещё то, что я называю Мидл теоремой Ферма, обладающая теми же удивительными свойствами, что и обе перечисленные теоремы.

Найти ее формулу $\vartheta(x,y)$ математики смогут самостоятельно. Я же нашёл. Вот это удивительное свойство.

Малая теорема Ферма: $x^p \equiv x$ $\mod p$

Большая теорема Ферма: $x^p+y^p \equiv z^p \equiv x+y \equiv z$ $\mod p$ на базе свойства Малой теоремы

"Мидл теорема" Ферма: $x^p+y^p \equiv z^p \equiv z \equiv \vartheta(x,y)$ $\mod p$

Эта формула заслуживает отдельной темы, в общем.