Всюду, всюду, не сомневайтесь. Мне даже кажется, что я когда-то давно-давно здесь на форуме построение излагал. Но как теперь это найти - не представляю.
незванный гость писал(а):
:evil:
А можно, раз уж пошла такая пьянка, пример функции, дифференцируемой всюду на отрезке, и производная которой не непрерывна?
Пусть
![$\{r_n:n\in\mathbb N\}$ $\{r_n:n\in\mathbb N\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/c/4cca41f5af1abc33bdc5b8be80b5d72582.png)
- последовательность, взаимно однозначно перечисляющая все рациональные числа. Обозначим
![$M_n=\max\{|\sqrt[3]{x-r_n}|:-n\leqslant x\leqslant n\}$ $M_n=\max\{|\sqrt[3]{x-r_n}|:-n\leqslant x\leqslant n\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/0/8f044afd06df47e92aee36eb6e5b33a982.png)
. Функция
![$$f(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}\frac{\sqrt[3]{x-r_n}}{n^2M_n}$$ $$f(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}\frac{\sqrt[3]{x-r_n}}{n^2M_n}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/d/98d7cb4d38b5f74fdb916428a3772d1e82.png)
на всей числовой оси
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
непрерывна, так как ряд в правой части равномерно сходится на каждом отрезке
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, и (строго) возрастает; множество значений функции
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
совпадает с
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
. Из всего этого следует, что существует обратная функция
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
, которая также непрерывна и возрастает на всей числовой оси
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
.
Для функции
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
во всех точках существует предел
![$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0$$ $$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/b/7db41313b921b1cf69ac4c9094c685f382.png)
(может быть,
![$+\infty$ $+\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/701fa44621fd283e3f2c5468958859d882.png)
, например, как в рациональных точках), поэтому, по теореме о производной обратной функции, обобщённой для случая таких бесконечных производных, обратная функция имеет всюду конечную производную
![$$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$ $$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/7/b57e82f159b78d8363ea62f35023c1e482.png)
.
Легко видеть, что
![$g'(x)$ $g'(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/5/8151fd43ef961b951e9363cdbefa5f3082.png)
на всюду плотном множестве
![$\{f(r_n):n\in\mathbb N\}$ $\{f(r_n):n\in\mathbb N\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/6/526ed9ee6ddb2131098f1b1109184f3e82.png)
равна
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, и в то же время не может быть равна
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
во всех точках какого-нибудь интервала
![$(a,b)$ $(a,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd27d4708cd735f6ea469dc3debed0e82.png)
, так как
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
возрастает на всём
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
. Поэтому
![$g'(x)$ $g'(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/5/8151fd43ef961b951e9363cdbefa5f3082.png)
не может быть непрерывной ни на каком интервале.
Можно привести и совсем простой пример:
![$$h(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$ $$h(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/d/02de0a7003131750d652e21d8a65c60c82.png)
Тогда
![$$h'(x)=\begin{cases}2x\sin\frac{1}{x}+\cos\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$ $$h'(x)=\begin{cases}2x\sin\frac{1}{x}+\cos\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/b/98b394018db8f60bf9c90b7e6c7acdb982.png)