Помогите разобраться с произвольными системами отсчета в СТО

[myhand]

Fagot в сообщении #481687 писал(а):

В том случае, который рассмотрен выше, это

А чем она отличается от "кривой"?

[warlock66613]

Fagot в сообщении #481656 писал(а):

почему? Ведь пустое плоское пространство Минковского, в котором действует СТО, должно являться таким в любой системе отсчета, неважно, ИСО или НСО.

Вы правы, конечно. Про кривизну я глупость сказал. Я щас даже на всякий случай посчитал. Действительно, тензор кривизны получается нуль.

[Fagot]

myhand в сообщении #481689 писал(а):

А чем она отличается от "кривой"?

Её кривизна равна нулю.

-- Пт сен 09, 2011 01:25:54 --

warlock66613 в сообщении #481691 писал(а):

Вы правы, конечно.

Бывает ... А что Вы скажете насчет геометрического определения СТО (без постулирования заранее ИСО)?

[warlock66613]

Fagot в сообщении #481678 писал(а):

2) изотропные гиперповерхности в котором (нулевого интервала) были бы плоскими конусами и делили бы его на на четыре несвязанные части в любой системе координат?

Это слишком сильное условие. Оно и приводит к отбрасыванию неинерциальных систем. Правильное условие: метрика должна быть локально-лоренцева, т.е. совпадать с лоренцевой в точке (0, 0, 0, 0).

[Fagot]

warlock66613 в сообщении #481693 писал(а):

метрика должна быть локально-лоренцева, т.е. совпадать с лоренцевой в точке (0, 0, 0, 0).

Понимаете, этому условию удовлетворяет произвольная метрика в ОТО в отсутствии кручения. Так что наверно естественно, что в СТО ограничение получается более сильным.

[warlock66613]

Fagot в сообщении #481695 писал(а):

Понимаете, этому условию удовлетворяет произвольная метрика в ОТО в отсутствии кручения. Так что наверно естественно, что в СТО ограничение получается более сильным.

Нет, это и так более сильное условие, чем в ОТО: метрику в ОТО можно привести к такому виду при отсутствии кривизны, а в СТО допустимы именно только такие метрики.

-- 09.09.2011, 02:08 --

Правда, возможно, что это условие всё-таки недостаточно сильное для СТО. Тогда правильное где-то между ним и тем, которое вы первоначально сформулировали.

[myhand]

Fagot в сообщении #481692 писал(а):

Её кривизна равна нулю.

Эмм. Это уже которая "кривизна"? У Вас же вроде итак пространство плоское - или нет?

warlock66613 в сообщении #481698 писал(а):

а в СТО допустимы именно только такие метрики

Хватит нести чушь.

Fagot в сообщении #481692 писал(а):

что Вы скажете насчет геометрического определения СТО (без постулирования заранее ИСО)?

Отсутствие кручения, тензор Римана тождественно равен нулю, определенная сигнатура метрики, простейшая топология.

[Fagot]

myhand в сообщении #481709 писал(а):

Эмм. Это уже которая "кривизна"? У Вас же вроде итак пространство плоское - или нет?

4- пространство да, плоское. Раз Вы спрашиваете про кривизну либо прямоту кривой, то речь уже идет о кривизне подпространства, вложенного в 4- пространство Минковского, в данном случае одномерного. У него внутренняя кривизна равна нулю, а внешняя как раз и должна зануляться, если лучики прямые.

myhand в сообщении #481709 писал(а):

Отсутствие кручения, тензор Римана тождественно равен нулю, определенная сигнатура метрики, простейшая топология.

Да, это достаточно полное описание геометрии СТО. Но в таком случае, как было вычислено выше, допустимыми оказываются лишь лоренцевские метрики.

myhand в сообщении #481709 писал(а):

Хватит нести чушь.

Так же интересно ... Не могли бы Вы сказать, где там ошибка?

[epros]

Fagot в сообщении #481678 писал(а):

рассмотрено произвольное (псевдо)риманово пространство и поставлена обратная задача : на каких метриках можно описать 1) плоское псевдоевклидово пространство-время,

Любая метрика с сигнатурой (-1,+3) и нулевым тензором Римана-Кристоффеля позволяет построить ИСО во всей области, где выполнены указанные условия.

Fagot в сообщении #481678 писал(а):

Но вывод-то отсюда получается другим. Как только мы переходим к НСО, мы выходим за рамки СТО и попадаем в ОТО.

Вспомните как доказывается неевклидовость пространства вращающейся СО. Там кроме общих соображений о том, что такое вращающаяся СО и, собственно, формул СТО ничего не используется. Студенту даже не нужно знать что такое "метрика", чтобы понять эти рассуждения.

[Fagot]

epros в сообщении #481730 писал(а):

Любая метрика с сигнатурой (-1,+3) и нулевым тензором Римана-Кристоффеля позволяет построить ИСО во всей области, где выполнены указанные условия.

Да, но тут ситуация, согласитесь, ещё интереснее - она больше ничего не позволяет. Любое риманово пространство сигнатуры (+---) с нулевым тензором Римана - Кристоффеля с равной единице скорости света в любой системе отсчета описывается только на множестве ИСО. И больше ни на чем. Это как бы формулировка принципа относительности СТО. Если здесь нет, конечно, ошибки в рассуждениях. Вот где она ...

Если вранья нет, то любой переход в НСО означал бы выход в ОТО, если не в гравитацию, так в поля инерции.

-- Пт сен 09, 2011 10:51:04 --

epros в сообщении #481730 писал(а):

Вспомните как доказывается неевклидовость пространства вращающейся СО.

Да, но при этом говорится, что несмотря на то что 3-пространственная метрика кривая, 4- пространство остается плоским псевдоевклидовым.

Но тут, как мне кажется, есть тонкость. Эта вращающаяся система отсчета не покрывает всего пространства-времени, значит, преобразование к ней не является допустимым, а значит, говорить при этом, сохраняется ли 4- пространство плоским, вообще-то нельзя.

[epros]

Fagot в сообщении #481743 писал(а):

Любое риманово пространство сигнатуры (+---) с нулевым тензором Римана - Кристоффеля с равной единице скорости света в любой системе отсчета описывается только на множестве ИСО.

Неправильно. В пространстве Минковского можно построить не только ИСО. Даже Ваше (не очень уместное) уточнение про единичность скорости света ничего принципиально не меняет, ибо при соответствующем определении скорости оная для света будет равна той же величине в любой НСО.

Fagot в сообщении #481743 писал(а):

Да, но при этом говорится, что несмотря на то что 3-пространственная метрика кривая, 4- пространство остается плоским псевдоевклидовым.

Разумеется, поскольку это то же самое пространсто-время.

Fagot в сообщении #481743 писал(а):

Но тут, как мне кажется, есть тонкость. Эта вращающаяся система отсчета не покрывает всего пространства-времени, значит, преобразование к ней не является допустимым

Не имеет никакого значения покрывается ли всё пространство-время. Главное, чтобы покрывалась достаточная для наших практических нужд область.

[Fagot]

epros в сообщении #481749 писал(а):

Неправильно. В пространстве Минковского можно построить не только ИСО. Даже Ваше (не очень уместное) уточнение про единичность скорости света ничего принципиально не меняет, ибо при соответствующем определении скорости оная для света будет равна той же величине в любой НСО.

Понимаете, так в этом и затык - из приведенных выше вычислений следует, что равенство единице модуля скорости света при одновременном равенстве нулю кривизны пространства-времени, возможно только в метриках с $a=1$, $b=-1$, то есть в галилеевых координатах, лоренц-инвариантных, значит, только в ИСО.

epros в сообщении #481749 писал(а):

Разумеется, поскольку это то же самое пространсто-время.

Это было бы так, если бы преобразование было справедливо во всей области, которая покрывалась раньше ИСО, - во всем пространстве-времени. А это не так. Поэтому утверждать, что, перейдя во вращающуюся систему отсчета, мы остались в плоском пространстве Минковского, наверно нельзя.

epros в сообщении #481749 писал(а):

Не имеет никакого значения покрывается ли всё пространство-время. Главное, чтобы покрывалась достаточная для наших практических нужд область.

Извините, не могу согласиться, наши нужды в данном случае теоретические, так что важен любой нюанс. А тут выпадает целая область ... На основании чего можно утверждать, что пространство-время осталось одним и тем же?

[epros]

Fagot в сообщении #481755 писал(а):

Понимаете, так в этом и затык - из приведенных выше вычислений следует, что равенство единице модуля скорости света при одновременном равенстве нулю кривизны пространства-времени, возможно только в метриках с $a=1$, $b=-1$, то есть в галилеевых координатах, лоренц-инвариантных, значит, только в ИСО.

Какой тут может быть затык, если второй постулат вообще-то говорит о равенстве скоростей света только в ИСО? Если Вы поделите перемещение по одной координате НСО на перемещение по другой координате НСО, то Вы можете получить другую величину. Что Вас тут смущает?

Если уж Вам так хочется распространить второй постулат на НСО, то просто используйте адекватное определение скорости:
Скорость - это предел отношения пройденного расстояния к промежутку местного времени.
$v = \frac{\sqrt{(\frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}} - g_{\alpha \beta}) dx^{\alpha} dx^{\beta}}}{\sqrt{g_{0 0}} dx^0}$

Такая скорость для света равна единице в любой СО.

Fagot в сообщении #481755 писал(а):

На основании чего можно утверждать, что пространство-время осталось одним и тем же?

На основании определения. Переходя к другим координатам, мы не меняем пространства.

Ещё раз: Размер области, на которую распространяются координаты, не имеет никакого значения. Если координаты не покрывают всего пространства, то это только проблема координат, и отсюда не следует, что остальная часть пространства перестала существовать.

[myhand]

Fagot в сообщении #481721 писал(а):

У него внутренняя кривизна равна нулю, а внешняя как раз и должна зануляться, если лучики прямые.

Чему равна "внешняя кривизна" и почему именно она должна занулиться? Интересно, а для геодезической на сфере как - там "внутренняя кривизна" далеко не нуль.

Fagot в сообщении #481721 писал(а):

Но в таком случае, как было вычислено выше, допустимыми оказываются лишь лоренцевские метрики.

"Вычисления выше" - полный караул. Вы не знакомы, к примеру, с понятием геодезической.

[Fagot]

epros в сообщении #481760 писал(а):

Если уж Вам так хочется распространить второй постулат на НСО, то просто используйте адекватное определение скорости:
Скорость - это предел отношения пройденного расстояния к промежутку местного времени.

$$v = \frac{\sqrt{(\frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}} - g_{\alpha \beta}) dx^{\alpha} dx^{\beta}}}{\sqrt{g_{0 0}} dx^0}$$

Такая скорость для света равна единице в любой СО.

Да, это понятно, только возникает все же вопрос. Приведенная Вами формула для скорости, измеренной локально сопутствующим объекту наблюдателем, справедлива в ОТО для любых систем отсчета. Она отражает факт локальной спрямляемости кривого пространства в малой окрестности точки (с точностью до первых производных), другими словами, локальной лоренцевости (локальной инерциальности) любых систем отсчета. Формально связан с возможностью занулить символы Кристоффеля в любой точке. Но в таком случае возникает вопрос а чем же тогда СТО отличается от ОТО? Мне казалось, что в СТО эта
"локальная спрямляемость" должна стать глобальной, т.е. произвольные системы отсчета должны перейти в ИСО. Разве не так?

myhand в сообщении #481787 писал(а):

Чему равна "внешняя кривизна" и почему именно она должна занулиться?

Внешняя кривизна - кривизна в пространстве вложения. Занулиться она должна очевидно ввиду того, что пространство-время в СТО плоское.

myhand в сообщении #481787 писал(а):

Интересно, а для геодезической на сфере как - там "внутренняя кривизна" далеко не нуль.

Я думаю, что и на сфере внутренняя кривизна кривой линии равна нулю, т.к. у одномерного пространства, если я не ошибаюсь, есть лишь внешняя кривизна.

myhand в сообщении #481787 писал(а):

"Вычисления выше" - полный караул. Вы не знакомы, к примеру, с понятием геодезической.

Скажите, пожалуйста, где я вру.