Помогите разобраться с произвольными системами отсчета в СТО

[myhand]

Fagot в сообщении #481822 писал(а):

Внешняя кривизна - кривизна в пространстве вложения. Занулиться она должна очевидно ввиду того, что пространство-время в СТО плоское.

Че-т совсем утратил нить. Вот у Вас есть псевдоевклидово пространство (тензор Римана - нуль, не только какая-то "кривизна"). Вот Вы вкладываете в это пространство какое-то многообразие, пусть линию. Что - ее "внешняя кривизна" будет всегда нулем? Псевдориманово пространство вложить никак не получится?

Fagot в сообщении #481822 писал(а):

Скажите, пожалуйста, где я вру.

Да Вам уже указали сто раз (про "равняться 1" и далее). Проще попытаться найти где Вы не врете - но я пока вижу только кашу в голове.

Возьмите неплохую книжку "Современная геометрия" т.I, Дубровин, Фоменко, Новиков. Начните с первой страницы. Задачки решать настоятельно рекоммендуется.

[Fagot]

myhand в сообщении #481829 писал(а):

Вот у Вас есть псевдоевклидово пространство (тензор Римана - нуль, не только какая-то "кривизна"). Вот Вы вкладываете в это пространство какое-то многообразие, пусть линию. Что - ее "внешняя кривизна" будет всегда нулем? Псевдориманово пространство вложить никак не получится?

Извините, но "какая-то кривизна" строится на тензоре Римана - Кристоффеля. Если какая-то линия вкладывается в пространство Минковского, то её внешняя кривизна не обязательно будет нулем, конечно же. Но обязательно будет прямой в ИСО луч света, так как это экстремальная нулевая геодезическая.

myhand в сообщении #481829 писал(а):

Возьмите неплохую книжку "Современная геометрия" т.I, Дубровин, Фоменко, Новиков. Начните с первой страницы.

За совет спасибо. Так и сделаю. Это хорошая книжка.

Но честно говоря, пока не понял, допустимы ли в СТО неинерциальные системы отсчета, насколько они полны.

[myhand]

Fagot в сообщении #481881 писал(а):

Если какая-то линия вкладывается в пространство Минковского, то её внешняя кривизна не обязательно будет нулем, конечно же. Но обязательно будет прямой в ИСО луч света, так как это экстремальная нулевая геодезическая.

Все, я устал. Вы явно не понимаете смысл произносимых слов. Давайте вернемся к разговору после минимального ознакомления с учебником? Лучше рекоммендованный выше - но второй том Ландау и Лившица тоже должен подойти. Если хотите попроще и побыстрее.

Fagot в сообщении #481881 писал(а):

допустимы ли в СТО неинерциальные системы отсчета

Да, конечно.

[Fagot]

epros в сообщении #481760 писал(а):

Скорость - это предел отношения пройденного расстояния к промежутку местного времени.

Скажите, пожалуйста, чему равен "промежуток местного времени" для света?

-- Пт сен 09, 2011 21:36:46 --

myhand в сообщении #481891 писал(а):

но второй том Ландау и Лившица тоже должен подойти. Если хотите попроще и побыстрее.

Посмотрел ЛЛ2, там в пустом плоском пространстве свет распространяется по прямой, то есть изотропные геодезические прямые.

-- Пт сен 09, 2011 21:44:37 --

На вопрос допустимы ли в СТО НСО Вы ответили

myhand в сообщении #481891 писал(а):

Да, конечно.

Наверно в НСО метрика не галилеева. Нельзя ли Вам задать еще один вопрос : скажите, чтобы в общем случае занулить 20 компонент тензора кривизны Римана - Кристоффеля (в каком-то поле, не в пустоте) 10 компонент метрики хватит, если они не константы? Кто нибудь изучал этот вопрос?

[myhand]

Fagot в сообщении #481902 писал(а):

Посмотрел ЛЛ2, там в пустом плоском пространстве свет распространяется по прямой

Глава, параграф, страница. Подозреваю существенную отсебятину.

Что значит "изотропные геодезические прямые"? В каком смысле прямые? Что они геодезические?

Fagot в сообщении #481902 писал(а):

Наверно в НСО метрика не галилеева.

Конечно.

Fagot в сообщении #481902 писал(а):

скажите, чтобы в общем случае занулить 20 компонент тензора кривизны Римана - Кристоффеля (в каком-то поле, не в пустоте) 10 компонент метрики хватит, если они не константы?

Если вычесть из данного "вопроса" совершенно непонятную мне фразу "в каком-то поле, не в пустоте" - то да, хватит. В любой НСО именно так и обстоит.

[Fagot]

myhand в сообщении #481954 писал(а):

Глава, параграф, страница.

ЛЛ2, 67, гл.VII, §53, с.174.

myhand в сообщении #481954 писал(а):

Что значит "изотропные геодезические прямые"?

Это значит, что

$$\dfrac{d\vec r}{dt}=const$$

.

myhand в сообщении #481954 писал(а):

Если вычесть из данного "вопроса" совершенно непонятную мне фразу "в каком-то поле, не в пустоте"

Если система отсчета ускоренная, то могут быть поля инерции. Тогда не хватит, наверно.

Скажите, а в чем критерий того, что НСО описывает то же пространство Минковского, что и ИСО?

[myhand]

Fagot в сообщении #481966 писал(а):

ЛЛ2, 67, гл.VII, §53, с.174.

Ссылка, увы не прояснила Ваше понимание фразы "свет распространяется по прямой".

Fagot в сообщении #481966 писал(а):

Это значит, что

Это в какой системе координат? И что значат буковки?

Fagot в сообщении #481966 писал(а):

Скажите, а в чем критерий того, что НСО описывает то же пространство Минковского, что и ИСО?

Если в двух словах - равенство нулю тензора Римана. Это локальный критерий, конечно - нужно помнить о топологии пространства и т.п.

[Fagot]

myhand в сообщении #481974 писал(а):

Если в двух словах - равенство нулю тензора Римана. Это локальный критерий, конечно - нужно помнить о топологии пространства и т.п.

Известно, что неинерциальные системы эквивалентны гравитационным полям, которые, в отличие от реальных, не исчезают на бесконечности. Это значит, что в отличие от ИСО неинерциальные системы отсчета не могут покрыть всего пространства Минковского. Тогда что они описывают? Может ли ограниченная система отсчета быть эквивалентна неограниченной?

-- Сб сен 10, 2011 00:57:09 --

myhand в сообщении #481974 писал(а):

Это в какой системе координат? И что значат буковки?

В любой ИСО. Буковки означают постоянную скорость, равную скорости света в вакууме.

-- Сб сен 10, 2011 00:59:30 --

myhand в сообщении #481974 писал(а):

Ссылка, увы не прояснила Ваше понимание фразы "свет распространяется по прямой".

В моем понимании понятие прямой вводится аксиоматически, через известные свойства линейности.

[Fagot]

myhand в сообщении #481974 писал(а):

Если в двух словах - равенство нулю тензора Римана. Это локальный критерий, конечно - нужно помнить о топологии пространства и т.п.

Пожалуй я понял, где собака зарыта. Это же проще пареной репы. Все дело в Вашем "и т.п.". Если переход в НСО совершается путем преобразования координат ИСО, то есть это изоморфизм, то естественно никакой 4-кривизны не возникает. При этом существует обратное преобразование метрики НСО $g_{\tilde\mu\tilde\nu}$ к метрике $\eta_{\alpha\beta}=diag (1, -1, -1, -1)$ в галилеевых координатах $x^{\alpha}$ ИСО :

$$\eta _{\alpha\beta}=x^{\tilde\mu}_{,\alpha}x^{\tilde\nu}_{,\beta}g_{\tilde\mu\tilde\nu}$$

Но беда-то в том, что переход к ускоренно движущимся по отношению к ИСО системам отсчета всегда приводит к ограничениям на область преобразования - то скорость начинает превышать скорость света, то метрические коэффициенты расходятся на бесконечности. Значит, область пространства Минковского, охватываемая НСО, оказывается неполной. Значит по сути такие преобразования являются недопустимыми. Я же ошибочно имел в виду неустранимые поля, что естественно является областью ОТО.

Вот почему, как мне кажется, обычно считается, что в СТО глобально возможны только ИСО. И кстати вот почему, когда я доказывал, что из требования равенства нулю тензора кривизны Римана - Кристоффеля следует $b=-1$, все остальные решения были отброшены - они были расходящимися ...

[myhand]

Fagot в сообщении #482018 писал(а):

Значит, область пространства Минковского, охватываемая НСО, оказывается неполной. Значит по сути такие преобразования являются недопустимыми.

Почему "неполные"="недопустимые"? Система координат и система отсчета - разные вещи. Для падающего в ЧД наблюдателя - СО ну никак не охватит все пространство-время.

Дальнейший бред уже не комментирую. Нравится что-то называть "решением" - валяйте.

Fagot в сообщении #481982 писал(а):

В любой ИСО.

Неверно. Да и в цитированном Вами месте ЛЛ-II такой чуши не написано.

Fagot в сообщении #481982 писал(а):

В моем понимании понятие прямой вводится аксиоматически, через известные свойства линейности.

Это как? Как именно, через какие свойства?

[epros]

Fagot в сообщении #481822 писал(а):

Формально связан с возможностью занулить символы Кристоффеля в любой точке.

Это не совсем точно. Построение локальной ИСО действительно требует обнуления символов Кристоффеля. Но эта формула ни к локальной ИСО, ни к символам Кристоффеля отношения не имеет.

Вы ошиблись здесь:

Fagot в сообщении #481822 писал(а):

Приведенная Вами формула для скорости, измеренной локально сопутствующим объекту наблюдателем

Эта скорость измерена не "сопутствующим объекту", а покоящимся относительно рассматриваемой СО наблюдателем.

Fagot в сообщении #481822 писал(а):

чем же тогда СТО отличается от ОТО?

Нулевым тензором Римана-Кристоффеля.

Fagot в сообщении #481822 писал(а):

Мне казалось, что в СТО эта
"локальная спрямляемость" должна стать глобальной, т.е. произвольные системы отсчета должны перейти в ИСО.

"Глобальная спрямляемость" в СТО, а именно - возможность построить ИСО, распространяющуюся на всё пространство-время (Минковского), не означает, что в этом же пространстве-времени нельзя построить НСО.

-- Сб сен 10, 2011 14:20:42 --

Fagot в сообщении #481902 писал(а):

Скажите, пожалуйста, чему равен "промежуток местного времени" для света?

Промежутку времени по часам наблюдателя, измеряющего скорость света. Что тут сложного? Земля вращается - это Вам вращающаяся СО. В Питере находится наблюдатель, у него есть часы. Он синхронизировал их с Московскими курантами. Когда стрелка курантов приходит в положение 12:00, свет доносит информацию об этом до Питера (наш наблюдатель сидит с подзорной трубой и ждёт этого момента). Но наблюдатель увидит этот момент на некое $\Delta t$ позже (судя по показаниям своих часов). Вот это и есть промежуток местного времени, за который свет прошёл соответствующее расстояние.

-- Сб сен 10, 2011 14:35:34 --

Fagot в сообщении #482018 писал(а):

Но беда-то в том, что переход к ускоренно движущимся по отношению к ИСО системам отсчета всегда приводит к ограничениям на область преобразования - то скорость начинает превышать скорость света, то метрические коэффициенты расходятся на бесконечности. Значит, область пространства Минковского, охватываемая НСО, оказывается неполной. Значит по сути такие преобразования являются недопустимыми.

Ёлы-палы! Что за непонятное мне упорство... Я же сказал: тот факт, что координаты не распространяются на всё пространство-время, не делает их недопустимыми. Вращающиеся СО не распространяют дальше определённого радиуса только потому, что дальше не удаётся соблюсти условие жёсткости СО. Только и всего. Если нас никакие условия, типа жёсткости, не интересуют, то можно построить множество НСО, покрывающих ВСЁ пространство Минковского.

[Fagot]

myhand в сообщении #482049 писал(а):

Почему "неполные"="недопустимые"? Система координат и система отсчета - разные вещи. Для падающего в ЧД наблюдателя - СО ну никак не охватит все пространство-время.

В СТО нет ЧД, поэтому если какая-то метрика неполна из-за, например, расходимости определителя метрического тензора, то это будет связано не с особенностью геометрии и физики (как в ЧД), а с недостатком самой системы отсчета.

myhand в сообщении #482049 писал(а):

Дальнейший бред уже не комментирую. Нравится что-то называть "решением" - валяйте.

"Решением" названо частное решение следующей задачи : найти условия на класс метрик произвольного псевдориманова пространства со свойствами :
1. модуль скорости света в любой системе отсчета равен единице.
2. Тензор Римана - Кристоффеля тождественно равен нулю во всем пространстве.
3. метрики описывают все пространство.

Оказалось (если конечно нет вранья) что этим условиям удовлетворяют только галилеевы метрики, значит множество ИСО, связанных преобразованиями Лоренца.

myhand в сообщении #482049 писал(а):

Неверно. Да и в цитированном Вами месте ЛЛ-II такой чуши не написано.

Там доказано и написано "в пустоте лучи являются прямыми линиями, вдоль которых свет распространяется со скоростью $c$".

myhand в сообщении #482049 писал(а):

В моем понимании понятие прямой вводится аксиоматически, через известные свойства линейности.
Это как? Как именно, через какие свойства?

В данном контексте речь шла об изотропных геодезических, то есть мировых линиях света. В произвольном пространстве они находятся из равенства нулю абсолютного дифференциала касательного к линии вектора нулевой длины :

$k^{\alpha}_{;\beta}k^{\beta}=0, k^{\alpha}k_{\alpha}=0$

В пространстве Минковского это прямые линии, "прямота" которых определяется аксиоматически :

Для любых элементов линейного пространства $\mathbb{L}$, на котором заданы сумма элементов и умножение элемента на действительное число, должны выполняться : $\forall x,y,z,...\in \mathbb{L}, \forall \lambda ,\mu ,... \in \mathbb {R} :

$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$\exists 0\in \mathbb{L}: x+0=x$
и т.д.

[myhand]

Fagot в сообщении #482110 писал(а):

В СТО нет ЧД...

Ох, капитан очевидность - Вам бы подумать не о деталях примера, а о том, про что он вообще. Вам сказали: система отсчета и система координат - вещи разные.

Fagot в сообщении #482110 писал(а):

Оказалось (если конечно нет вранья) что этим условиям удовлетворяют только галилеевы метрики

На вранье Вам уже указали. Интересно и дальше бахвалиться "я решил" - дело Ваше.

Fagot в сообщении #482110 писал(а):

Там доказано и написано "в пустоте лучи являются прямыми линиями, вдоль которых свет распространяется со скоростью

И Вы продолжаете упрямиться, что это именно то, что Вы набредили выше?

Fagot в сообщении #482110 писал(а):

В пространстве Минковского это прямые линии, "прямота" которых определяется аксиоматически :

Для любых элементов линейного пространства $\mathbb{L}$, на котором заданы сумма элементов и умножение элемента на действительное число, должны выполняться : $\forall x,y,z,...\in \mathbb{L}, \forall \lambda ,\mu ,... \in \mathbb {R} :

$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$\exists 0\in \mathbb{L}: x+0=x$
и т.д.

Покажите, что этим "аксиомам" не удовлетворяют "линии" $x_i = const$ в любой системе координат риманова пространства.

[Fagot]

epros в сообщении #482059 писал(а):

Но эта формула ни к локальной ИСО, ни к символам Кристоффеля отношения не имеет.

Может что-то не понял, но та формула

epros в сообщении #481760 писал(а):

Если уж Вам так хочется распространить второй постулат на НСО, то просто используйте адекватное определение скорости:
Скорость - это предел отношения пройденного расстояния к промежутку местного времени.

$$v = \frac{\sqrt{(\frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}} - g_{\alpha \beta}) dx^{\alpha} dx^{\beta}}}{\sqrt{g_{0 0}} dx^0}$$

Такая скорость для света равна единице в любой СО.

, - скорее похожа на тождество. Смотрите, для света :

$ds^2=g_{00}{dx^0}^2-\gamma_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}=g_{00}{dx^0}^2(1-\dfrac{\gamma_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}}{g_{00}{dx^0}^2})=0$,

где в данном случае у Вас $\alpha,\beta=1,2,3$, $\gamma_{\alpha\beta}=-g_{\alpha\beta}+\dfrac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}$, откуда и получается приведенная Вами формула (без $v$). А вот уже отсюда, да, следует, что действительно, модуль скорости света, измеренной в собственном времени покоящегося в данной системе отсчета наблюдателя равен единице :

$\beta_l=\sqrt{\gamma_{\alpha\beta}\dfrac{dx^{\alpha}dx^{\beta}}{g_{00}{dx^0}^2}}=1$

-- Сб сен 10, 2011 22:05:27 --

epros в сообщении #482059 писал(а):

Ёлы-палы! Что за непонятное мне упорство...

Если с НСО в СТО все понятно, то нельзя ли сказать, существуют ли поля инерции и в чем природа сил инерции в НСО.

[Fagot]

epros в сообщении #482059 писал(а):

Ёлы-палы! Что за непонятное мне упорство... Я же сказал: тот факт, что координаты не распространяются на всё пространство-время, не делает их недопустимыми. Вращающиеся СО не распространяют дальше определённого радиуса только потому, что дальше не удаётся соблюсти условие жёсткости СО. Только и всего. Если нас никакие условия, типа жёсткости, не интересуют, то можно построить множество НСО, покрывающих ВСЁ пространство Минковского.

На мой взгляд, это пожалуй основной вопрос : скажите, действительно можно ли все пространство Минковского покрыть множеством НСО? Если каждая из них в каком-то смысле не полна? Это доказано? И сопутствующий вопрос : может ли вращающая система отсчета производить какое-то поле, если иметь в виду её реализацию реальными телами?

-- Сб сен 10, 2011 23:14:37 --

myhand в сообщении #482116 писал(а):

Вам сказали: система отсчета и система координат - вещи разные.

Да, спасибо, я понял. Но ведь когда мы говорим о неполноте НСО , то речь идет как раз не о системе координат, которую можно нарисовать любую, а о невозможности осуществить нужную конгруенцию тел отсчета, обеспечивающих, например, постоянное ускорение.

-- Сб сен 10, 2011 23:32:56 --

myhand в сообщении #482116 писал(а):

Покажите, что этим "аксиомам" не удовлетворяют "линии" $x_i = const$ в любой системе координат риманова пространства.

Операторы преобразования при поворотах на конечный угол для любых неголономных координат некоммутативны.