Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

Если взять ПСВ по модулю М и произвольно выбрать n вычетов, следующих друг за другом в порядке их возрастания, то это и будет группа вычетов n-го размера.
Допускается брать вычеты не стого по порядковым номерам, но пропуская некоторые вычеты.
Например, ПСВ(30): 1,7,11,13,17,19,23,29.
Допустим, нас интеренсует группа, объединяющая два близнеца 11,13,17,19.
Здесь 4 вычета, значит эта группа 4 го размера.
Чтобы отвлечься от конкретных чисел, рассматриваем разности между вычетами этой группы.
Вычетов 4, но разностей 3: 2, 4, 2. Запись этой группы:
1) $D[8]=(2,4,2)$ где 8 - общая разность между крайними вычетами , или
2) $D[4]=(0,2,6,8)$ , где 4 - размер группы и
разности берутся относительно первого вычета, равного 0.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #479530 писал(а):

Если взять ПСВ по модулю М и произвольно выбрать n вычетов, следующих друг за другом в порядке их возрастания, то это и будет группа вычетов n-го размера.
Допускается брать вычеты не стого по порядковым номерам, но пропуская некоторые вычеты.
Например, ПСВ(30): 1,7,11,13,17,19,23,29.
Допустим, нас интеренсует группа, объединяющая два близнеца 11,13,17,19.
Здесь 4 вычета, значит эта группа 4 го размера.

Контрольный вопрос: $\{ 1;2;19;29\}$ является группой вычетов ПСВ $Q = \{ 1,7,11,13,17,19,23,29 \}$ по модулю $M=30$?

vorvalm в сообщении #479530 писал(а):

Допустим, нас интеренсует группа, объединяющая два близнеца 11,13,17,19.
Здесь 4 вычета, значит эта группа 4 го размера.
Чтобы отвлечься от конкретных чисел, рассматриваем разности между вычетами этой группы.
Вычетов 4, но разностей 3: 2, 4, 2. Запись этой группы:
1) $D[8]=(2,4,2)$ где 8 - общая разность между крайними вычетами , или
2) $D[4]=(0,2,6,8)$ , где 4 - размер группы и
разности берутся относительно первого вычета, равного 0.

Вот тут совсем непонятно.
Во-первых, в квадратных скобках Вы что пишите - мощность группы или ее "общую разность"? Определитесь, либо пишите и то и другое.
Во-вторых, зачем квадратные скобки? Что они означают. Может обойтись круглыми скобками, в которых записать как обычно все параметры, через которые $D$ выражается?
В третьих, $D$ - это что: множество, мультимножество (грубо говоря, множество, в котором допускаются повторения элементов) или вектор (грубо говоря, упорядоченная энка)?
В четвертых, уже здесь значение $D$ от одной и тоже группы вычетов ПСВ (кратко ГВПСВ) определено двумя способами по разному: сначала это вектор последовательных разностей, а потом это вектор разностей $d_j-d_1, j=1,...,n$. Опять же, определитесь, либо сделайте растождествление.
Ну и здесь

vorvalm в сообщении #479530 писал(а):

разности берутся относительно первого вычета, равного 0.

Это некорректная фраза. Разности не берутся относительно чего-то. Разность $-(a,b)=a-b$ - это функция от 2-х переменных. Других переменных, относительно которых она могла бы браться, если бы они были, нету.
Если имели ввиду вектор из $d_j-d_1, j=1,...,n$ - так и пишите. Короче и понятнее.

[vorvalm]

Зачем такие сложности? Все гораздо проще.
Контрольный вопрос {1,2,19.20} некорректен. Вычета 2 в ПСВ(30) нет.
Если вы имели в виду {1,11,19.29}, то это группа.
Обозначение $D[4]=(0,2,6,8)$ - взято из языка С++ как запись массива. Оно необходимо при вычисленнии числа этих групп в ПСВ.
Здесь D - имя массива (имеется в виду D - четвертая буква в алфавите),
[4] - размер массива,
(0,2,6,8) - элементы массива.
Первая форма записи групп практически не используется, но нужна для наглядности расположения
разностей в группе.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #479544 писал(а):

Контрольный вопрос {1,2,19.20} некорректен. Вычета 2 в ПСВ(30) нет.
Если вы имели в виду {1,11,19.29}, то это группа.

Да, что-то я затупил там.
В таком случае группой вычетов ПСВ (ГВПСВ) для $Q$, являющемся ПСВ, называется произвольное его подмножество. Вряд ли это определение нужно. Просто можно говорить: берем произвольное подмножество из $Q$...

vorvalm в сообщении #479544 писал(а):

Обозначение $D[4]=(0,2,6,8)$ - взято из языка С++ как запись массива. Оно необходимо при вычисленнии числа этих групп в ПСВ.

Не, ну С++ - это, конечно, прекрасно, но в математике его нет, следует использовать математический язык.

vorvalm в сообщении #479544 писал(а):

Обозначение $D[4]=(0,2,6,8)$ - взято из языка С++ как запись массива. Оно необходимо при вычисленнии числа этих групп в ПСВ.
Здесь D - имя массива (имеется в виду D - четвертая буква в алфавите),
[4] - размер массива,
(0,2,6,8) - элементы массива.
Первая форма записи групп практически не используется, но нужна для наглядности расположения
разностей в группе.

Опять уточнять мне
Для заданного $Q$, являющемся ПСВ по модулю $M$, будут рассматриваться его произвольные подмножества $D$, зависящие от $M,Q$ (не мультимножества, и не векторы). Соответственно, никаких квадратных скобок не нужно. Все, что в них указано, вычисляется от $Q$ и соответствующим образом обозначается.
Если нужно будет, можно будет от $D$ определить мультимножество или множество разностей последовательных элементов $DD = \{ x:x=d_j-d_{j-1}, j=2,...,n, d_j, d_{j-1} \in D\}$ (можно считать элементы $D$ упорядоченными).
Так, или принципиально важно заменить элементы $d_j$ множества $D$ на $d_j-d_1$?

[vorvalm]

"ваще то нармальные пацаны щитают, што" информатика имеет непосредственное отношение
к математике.

"Teoretical Computer Sciecе (TCS): взгляд математика" А.Разборов, чл.- кор.АН, МИ им. Стеклова.
"...достижения TCS по определению имеют форму математических теорем, удовлетворяющих всем
стандартам строгости классической математики".

Я понимаю, что вы из самых искренних побуждений стараетесь втиснуть мое изложение темы
в "проскурово ложе"математической логики. Я ничего не имею против и соглашался почти со всеми вашими предложениями,
но в отношении обозначения групп у меня большие сомнения.
Предложите, как надо по вашему мнению обозначить конкретную группу {11,13,17,19}.
Кстати, группа D не зависит от М, т.к существует в любой ПСВ, но число этих групп в ПСВ
зависит от М.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #479647 писал(а):

"ваще то нармальные пацаны щитают, што" информатика имеет непосредственное отношение к математике.

"Teoretical Computer Sciecе (TCS): взгляд математика" А.Разборов, чл.- кор.АН, МИ им. Стеклова.
"...достижения TCS по определению имеют форму математических теорем, удовлетворяющих всем
стандартам строгости классической математики".

Отношение-то она имеет, но не настолько, чтобы математические термины определять через термины компутер сайенс.

vorvalm в сообщении #479647 писал(а):

Я понимаю, что вы из самых искренних побуждений стараетесь втиснуть мое изложение темы в "проскурово ложе"математической логики. Я ничего не имею против и соглашался почти со всеми вашими предложениями, но в отношении обозначения групп у меня большие сомнения.

Ну давайте подумаем.
Кстати, Вы мне не ответили на вопрос:

Sonic86 в сообщении #479557 писал(а):

принципиально важно заменить элементы $d_j$ множества $D$ на $d_j-d_1$?

vorvalm в сообщении #479647 писал(а):

Предложите, как надо по вашему мнению обозначить конкретную группу {11,13,17,19}.

Обозначать надо просто буквами. Например $D$, как у Вас И потом говорить, подмножеством какого ПСВ является ГВПСВ $\leftrightarrow$ к какому семейству относится. Семейство определяется указанием множества $Q$, являющегося ПСВ. ПСВ также надо охарактеризовать модулем (а значит модулем $M$ следует характеризовать и ГВПСВ). Характеризация модулем необходима, поскольку $n \to \varphi (n)$ не инъективная функция. К примеру, множество $Q = \{ 1;3;7;29\}$ является ПСВ как по модулю $8$, так и по модулю $5$.

Далее я считаю, что $D$ является ГВПСВ $\Leftrightarrow$ $D \subseteq Q$, где $Q$ является ПСВ по модулю $M$.

vorvalm в сообщении #447911 писал(а):

Для определения числа различных групп вычетов в ПСВ вводим новое понятие - функции Эйлера высших порядков.
Определение 2. Функции Эйлера n-го порядка $\varphi_n(p)$ по простому модулю р и $\varphi_n(M)$ по составному модулю М определяют число определенных групп вычетов n-го размера в ПСВ по модулю р и по модулю М соответственно.
Общая формула этих функций:
1) по модулю р: $\varphi_n(p)=p-n$ для $p>n$, при $p \leqslant n$, $\varphi_n(p)=1$.
2) по модулю М: $\varphi_n(M)=\prod \varphi_n(p)=\prod_{p>n}^p (p-n) , p\mid M$
При $n=1$ это функция Эйлера $\varphi(M)=\prod \varphi(p)$ обыкновенная.
При $n=2$ - функция Эйлера 2-го порядка $\varphi_2(M)=\prod \varphi_2(p)$, про которую мы уже все знаем.

Берем $p=5, Q = \{ 1;2;3;4\}$ - ПСВ по модулю $5$. Для нее число ГВПСВ порядка $2$ равно $C_4^2=6 \neq 5-2$.
Ошибка исправляется, если только под ГВПСВ понимать множество вида $Q \cap [c;d]$, где $[c;d]$ - отрезок.
Значит с этого момента считаем, что $D$ является ГВПСВ $\Leftrightarrow$ $(\exists c,d )D = Q \cap [c;d] \subseteq Q$, где $Q$ является ПСВ по модулю $M$.
Тогда

vorvalm в сообщении #447911 писал(а):

Определение 3. Функции Эйлера 4-го порядка $\varphi_4(p)$ по простому модулю и $\varphi_4(M)$ по составному модулю М определяют число определенных групп вычетов 4-го размера D[4] в ПСВ по модулю р и по модулю М соответственно.

излишне.
Но тогда для всех $n,M, M>n$ будет $\varphi _n (M) = M-n+1$ (просто перечисляем группы в лоб. Например, для $Q = \{ 1;2;4;7;8;11;13;14\}$ - ПСВ по модулю $15$ группами мощности $4$ будут $\{ 1;2;4;7\}, \{ 2;4;7;8\}, \{ 4;7;8;11\}, \{ 7;8;11;13\}, \{ 8;11;13;14\}$), что сразу противоречит мультипликативности функций $\varphi _n (M)$.
Нужны пояснения автора.

[vorvalm]

Вы опять все усложняете.
Отвечаю на ваш вопрос о разностях $d_j-d_1$.
Эти разности не просто важны, но архиважны, т.к. без них невозможно определить число групп,
в которые они входят.
Вы наверное заметили, что в определении функций Эйлера n-го порядка сказано, что они дают
число определенных (не всех!) групп n-го размера.
Для определения числа любых групп n-го размера необходим коэффициент $A_n$, который определяется только из соотношения разностей $d_j-d_1$, о чем будет сказано ниже.

[vorvalm]

Вынужден напомнить, что в данной теме рассматриваются как правило основные ПСВ по простому модулю р и по составному модулю М.
Все другие ПСВ выходят за рамки данной темы.
Предложенная иерархия обозначения групп совершенно не подходит.
Обозначение должно быть компактным и отражать основное содерхание группы, т.е.
разности между вычетами. Группы не надо привязывать к ПСВ.
Пример. Группа {11,13,17,19}, разности между вычетами (2,4,2),
последовательные разности (0,2,6,8).
Если мы привяжем эту группу к ПСВ(30), то нам это ничего не даст, т.к. эта группа единственная
среди множесва простых чисел.
Но если мы отвлечемся от конкретных чисел, составляющих группу и будем искать среди вычетов ПСВ группы, имеющие разности (2,4,2), то быстро их найдем.
В ПСВ(210): 11,13, 17,19; 101,103, 107,109; 191,193,197,199.
Функция $\varphi_4(M)$ как раз и дает число таких групп в любой ПСВ(М)

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #479828 писал(а):

Вы опять все усложняете.
Отвечаю на ваш вопрос о разностях $d_j-d_1$.
Эти разности не просто важны, но архиважны, т.к. без них невозможно определить число групп,
в которые они входят.

Вы не поняли вопрос. Вы на множестве групп одного семейства вводите отношение эквивалентности относительно сдвига всех элементов на число или нет?

vorvalm в сообщении #479868 писал(а):

Предложенная иерархия обозначения групп совершенно не подходит.

Предлагайте тогда свое. Но оно должно быть корректным.

vorvalm в сообщении #479868 писал(а):

Группы не надо привязывать к ПСВ.

Группы необходимо привязывать к ПСВ (привязывать - в смысле определять), иначе их описание некорректно.

vorvalm в сообщении #479868 писал(а):

Пример. Группа {11,13,17,19}, разности между вычетами (2,4,2),
последовательные разности (0,2,6,8).

Ну да. Только введенному описанию это не противоречит.

vorvalm в сообщении #479868 писал(а):

Если мы привяжем эту группу к ПСВ(30), то нам это ничего не даст, т.к. эта группа единственная
среди множесва простых чисел.

К определению это отношение не имеет.

vorvalm в сообщении #479868 писал(а):

В ПСВ(210): 11,13, 17,19; 101,103, 107,109; 191,193,197,199.
Функция $\varphi_4(M)$ как раз и дает число таких групп в любой ПСВ(М)

Вы лучше выпишите все группы, иначе не поймем ничего. Сейчас, если под ГВПСВ понимать то, как я в последнем случае определил, то все ГВПСВ мощности 4 имеют вид: $\{ 11,13, 17,19\}$, $\{ 13, 17,19,101\}$,... - всего 9 штук, а по Вашей формуле для $M=210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ будет $1\ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot 3 = 3 \neq 9$.
И вообще, то, что Вы выписали - это не ПСВ по модулю 210. ПСВ по модулю 210 содержит $\varphi (210) = 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$, а у Вас только 12 элементов.

Короче, я так понимаю, что Вам истина неинтересна. Я пошел, пишите, что хотите, пребывайте в своих заблуждениях дальше...

[vorvalm]

Sonic85
Ну что ж вы так не внимательны.
Я привел в пример не саму ПСВ(210), но только три группы из этой ПСВ:
{11,13,17,19},{101,103,107,109},{191,193,197,199}

[vorvalm]

В ПСВ(30) число групп $D[8]=(2,4,2)$ равно $\varphi_4(30)=(5-4)=1$, это (11,13,17,19).
В ПСВ(210) число этих групп равно $\varphi_4(210)=(5-4)(7-4)=3$, это:
(11,13,17,19),(101,103,107,109),(191,193,197,199).
В ПСВ(2310) число этих групп равно $\varphi_4(2310)=(5-4)(7-4)(11-4)=21$, это:
(101,103,107,109),(191,193,197,199),(221,223,227,229),
(431,433,437,439),(521,523,527,529).(611,613,617,619),
(821,823,827,829),(851,853,857,859),(941,943,947,949),
(1031,1033,1037,1039),(1151,1153,1157,1159),(1271,1273,1277,1279),
(1361,1363,1367,1369),(1451,1453,1457,1459),(1481,1483,1487,1489),
(1691,1693,1607,1699),(1781,1783,1787,1789),(1871,1873,1877,1879),
(2081,2083,2087,2089),(2111,2113,2117,2119),(2201,2203,2207,2209).
Из них только 5 состоят из простых чисел.
Вопрс. Конечно ли число таких групп среди простых чисел?
Очевидно, что такой вопрос можно ставить, если доказана бесконечность простых близнецов.

[vorvalm]

В ПСВ(2310) не 5, а 6 групп $D[8]=(2,4,2)$ из простых чисел.
Была пропущена группа (2081, 2083, 2087, 2089).
В ПСВ(30030) из 189 групп $D[8]$ - 20 из простых чисел.
В ПСВ(510510) из 2457 групп $D[8]$ - 102 из простых чисел.

[vorvalm]

По сравнению с теоремой о близнецах можно доказать более сильную теoрему о бесконечности числа групп $D[8]=(2,4,2)$ в ряду простых чисел.
Группы $D[8]$ состоят из вычетов:
$10x+1,\;10x+3,\;10x+7,\;10x+9$
и занимаютв ПСВ определенное положение. Последний вычет группы будем считать простым числом $p_t=10x+9=6k+1$.
В качестве привязки к ПСВ берем число $Z=p_t-4,$ которое занимает среднее положение в группе.
Число групп $D[8] $ определяется функцией Эйлера 4-го порядка $\varphi_4(M)=\prod_5^p (p-4),\;p\mid M$
При модуле $=30,\;\varphi_4(30)=1.$ Это группа: $11,\;13,\;17,\;19,\;\;\;Z=15.$
При модуле $M=210,\;\varphi_4(210)=3.$ Это группы:
$\;\;11,\;\;,13,\;\;17,\;\;19,\;\;\;\;\;\;Z_1=15$
$101,\;103,\;107,\;109,\;\;\;Z_2=105$
$191,\;193,\;197,\;199,\;\;\;Z_3=195$
Дальнейшее увеличение модуля не изменяет положения групп относительно числа $210k$
$Z_1=210n+15,\;\;\;Z_1\equiv 1(\mod7)$
$Z_2=210m-105,\;\;7\mid Z_2$
$Z_3=210t-15,\;\;\;Z_3\equiv -1(\mod7)$

Теорема. Число групп $D[8]=(2,4,2)$ в ряду простых чисел бесконечно.
Доказательство.
Среди вычетов ПСВ(М) находим две группы $D[8]$ с общей разностью $2p_t,$ объединенных близнецом в центре всей группы. Образовлась группа вычетов.

$L[10]=(0,\;2,\;6,\;8,\;p_t-1,\;p_t+1,\;2p_t-8,\;2p_t-6,\;2p_t-2,\;2p_t)$

Докажем, что такая группа существует в ПСВ и одна группа существует в диапазоне простых чисел в ПСВ, когда первая половина вычетов меньше модуля М, а вторая - больше модуля М.
Данная группа является группой 10-го размера, следовательно, нам необходимо проверить проходимость этой группы по модулям $p=3,\;p=5,\;p=7,$ т.к. $p<n$

Определяем модули сравнения вычетов группы $L[10]$(расчеты опускаем).
Сводная таблица модулей сравнений. В числителе модули, в знаменателе - их число.(p_t=p$)

$p+1/2,\;p-1/4,\;p-2/1,\;p-3/4,\;p-4/4,\;p-5/4,\;p-6/1,\;p-7/4,$
$p-8/1,\;p-9/2.$
Непарные модули $p_t-2,\;p_t-6,\;p_t-8$ являются вычетами группы.

Проходимость по модулю $p=3,\;K(3)=3+m(3)-10$.

Так как $p_t=6k+1,$ то среди вычетов группы $L[10]$ есть 8 сравнений, кратных $p=3,\;K(3)=1.$

$0, 6, p_t-1, p_t-4, 2p_t-2;\;\;\;\;2, 8, p_t+1, p_t-3, 2p_t$

Проходимость по модулю $p=5,\;K(5)=5+m(5)=10.$

Так как $p_t=10x+9$, то среди вычетов группы $L[10]$ есть 6 сранений, кратных $p=5,\;K(5)=1.$

$0, p_t+1, p_t-4;\;\;\;2, p_t-3;\;\;\;6, p_t-1;\;\;\;8, p_t-1,\;2p_t.$

Проходимость по модулю $p=7,\;K(7)=7+m(7)-10.$

В зависимости от числа $Z$ числа $p_t-3,\;p_t-4,\;p_t-5$ будут кратны $p=7$ и в любом случае $K(7)=1$ т.к.
при $7\mid (p_t-3)$ есть 4 модуля $p_t-3,$
при $7\mid (p_t-4)$ есть 4 модуля $p_t-4,$
при $7\mid (p_t-5)$ есть 4 модуля $p_t-5.$

Таким образом, группа $L[10]$ проходит в ПСВ по любому модулю.
Число таких групп равно $A_{10}\varphi_{10}(M)$.
Сама функция $\varphi_{10}(M)$ нечетная. Коэффициент $A_{10}=\prod K(p)/\varphi_{10}(p)$.
Числитель $K(p)=p+m(p)-n$ - нечетный при четных $m(p),\;n.$
В нашем случае $m(p)$ по всем модулям четный, т.к. модули сравнений парные, $n=10.$
Следовательно число групп $L[10]$ нечетное, одна группа находится в центре ПСВ среди простых чисел.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #566165 писал(а):

При модуле $M=210,\;\varphi_4(210)=3.$ Это группы:
$\;\;11,\;\;,13,\;\;17,\;\;19,\;\;\;\;\;\;Z_1=15$
$101,\;103,\;107,\;109,\;\;\;Z_2=105$
$191,\;193,\;197,\;199,\;\;\;Z_3=195$
Дальнейшее увеличение модуля не изменяет положения групп относительно числа $210k$
$Z_1=210n+15,\;\;\;Z_1\equiv 1(\mod7)$
$Z_2=210m-105,\;\;7\mid Z_2$
$Z_3=210t-15,\;\;\;Z_3\equiv -1(\mod7)$

К сожалению, не получается.
При n=1 $Z_1=225$, но последовательности 221, 223,227,229 нет среди простых чисел.
При m=2 $Z_2=315$, но последовательности 311, 313, 317, 319 нет среди простых чисел.
При t=2 $Z_3=405$, но последовательности 401, 403, 407, 409 нет среди простых чисел.
Может я что-то неправильно понял?

[vorvalm]

vicvolf, спасибо.
Вы все правиьно поняли. Но не учли того, что я рассматриваю группы вычетов в ПСВ, где эти группы
могут состоять не только из простых чисел. В постах выше я приводил примеры соотношения этих групп
из простых чисел и общего числа таких групп в ПСВ согласно функции $\varphi_4(M)$.
Вся сложность заключается в том, как выделить группы простых чисел из общего числа таких групп.
Если вы найдете такие группы среди простых чисел, то числа Z будут соответствовать приведенным в тексте.