Попытка доказательства Теоремы Ферма

[Алексей К.]

natalya_1 в сообщении #479564 писал(а):

Мне тяжело подробно расписывать, ... почему-то, пляшет окно.

Я из-за этого отказался от Интернет Эксплорера, сначала FireFox испробовал (что-то ещё, не столь фатальное не понравилось), теперь на Google Chrome сижу.
Весьма мерзкое было плясание.

[natalya_1]

Сумма значений в критических точках будет:
$((x+k)^3+(x-2k)^3)(cd-p)-c^2d((x+k)^2+(x-2k)^2)+c^2p((x+k)+(x-2k))$ (поскольку в результате переноса большая критическая точка - точка симметрии певоначальной функции. И эта точка ($x$) - рациональна, а сумма, как я уже говорила, тоже рациональна.
Тогда (учитывая рациональность $x$ и $k^2$)
$(3x^2k+k^3-6x^2k-8k^3)(cd-p)-c^2d(2xk-4xk)-c^2pk$- рациональное число, следовательно,
$-k((7k^2+3x^2)(cd-p)-2c^2dx+c^2p)$- рациональное число и не равно нулю. Отсюда $k$- рациональное число, корень - рациональное число, критические точки функции рациональны.

[natalya_1]

ananova в сообщении #479155 писал(а):

Наталья!

Некоторые моменты Вы очень очень подробно доказываете, а некоторые приходиться читателям додумывать.
... на подобных моментах многие доказательства рассыпаются.

Я прекрасно это понимаю. Спасибо за замечание.
Постараюсь по-другому, более подробно и корректно.

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #479612 писал(а):

Пусть $q+\sqrt{s}$ делится на $3^2$.

Не вчитывался в весь текст, но вот эта фраза точно вызывает вопросы. Что означает в данном случае "делится"? Ведь число $q+\sqrt{s}$, вообще говоря, нецелое.

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #479614 писал(а):

natalya_1 в сообщении #479612 писал(а):

Пусть $q+\sqrt{s}$ делится на $3^2$.

Не вчитывался в весь текст, но вот эта фраза точно вызывает вопросы. Что означает в данном случае "делится"? Ведь число $q+\sqrt{s}$, вообще говоря, нецелое.

Это число целое, я это ранее доказала, доказав, что критические точки рациональны.
В доказательстве неточности в финале, сейчас буду исправлять.

[ananova]

Наталья!

Также хочу обратить Ваше внимание, что Вы дважды заняли переменную $y$.
Может быть определить функцию через $f(x)$, а не $y$, чтобы не спутать с переменными используемыми в тройке ($x,y,z$) . Но в этом случае, вроде и переменную x используете дважды..

Вот, где Вы это сделали:

natalya_1 в сообщении #478950 писал(а):

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,
Тогда $a^3+b^3=c^3$.
.....
.....
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ при $x=a$,.
....
....

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #475529 писал(а):

Вообще, идея доказательства совершенно не ясна. В частности, зачем нужны эти лишние $d=a+b-c$ и $p=a^2+b^2-c^2$?

С самого начала у меня была идея в том, что для того, чтобы $x^n+y^n=z^n$ имело решения в целых числах, надо, чтобы $\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}$ было целым числом. А это невозможно. Для этого я и ввела обозначения. Мне так легче, иначе очень длинные формулы получаются, кроме того мне нравится не просто писать числа или буквы подряд, а выстраивать отношения и пропорции, ловлю кайф от самого вида получающейся картинки , как-никак художник по профессии.

Но я допускаю, что делаю все левой ногой через правое ухо.

-- Пт сен 02, 2011 19:19:48 --

Можно не проверять, нашла ошибку в доказательстве рациональности критических точек......

[natalya_1]

Продолжаю попытку.
Имеем
$a^3(cd-p)-a^2c^2d+ac^2p=-(b^3(cd-p)-b^2c^2d+bc^2p)$
Между точками $a$ и $b$ находится точка $h=\frac{cp}{cd-p}$, значение функции в которой равно нулю.
Существует точка $a_1$, $a_1$- целое число, эта точка максимально приближена из точек на прямой к точке $h$, значение функции в которой - целое положительное число. И точка $b_1$, значение функции в которой - целое положительное число и равно значению функции в точке $a_1$, взятое с противоположным знаком. (заметим, что возможно $a_1=a$ и/или $b_1=b$, пока нам для доказательства это не важно).
Если $a_1$ и $b_1$ - целые числа, то $a_1-b_1=1$, поскольку в противном случае не выполнялось бы условие максимальной приближенности к точке $h$, поскольку $h$ - не целое число***.
Предположим, что $b_1$- целое число.
Тогда$(a_1+b_1)((a_1^2-a_1b_1+b_1^2)(cd-p)-\frac{(a_1^2+b_1^2)c^2d}{a_1+b_1}+c^2p)=0$. Отсюда $\frac{c^2d}{a_1+b_1}$- целое число, $\frac{(a_1+b_1)((a_1+b_1)^2-3a_1b_1)}{c^2}$- целое число, то есть $\frac{(a_1+b_1)^3}{c^2}$ - целое число, что возможно только если $a_1+b_1=c$.
Но тогда $c^3(cd-p)-(a_1^2+b_1^2)c^2d+c^3p=0$, $\frac{2a_1b_1d}{c} $- целое число,$\frac{2(a+b)}{c}$- целое число, что невозможно, следовательно,$b_1$ не может быть целым числом.

[natalya_1]

natalya_1 в http://dxdy.ru/post480702.html#p480702 писал(а):

возможно только если $a_1+b_1=c$.

Не совсем так.
Вроде доказывается, что должно быть $a_1+b_1=a+b$.
Тогда $b_1$- целое число. И $a_1-b_1=1$ (поскольку $h$- не целое число. Дальше интересно получается. Но я уже боюсь писать, вдруг опять ошибка. Проверю раз двадцать, потом напишу.

[natalya_1]

Выполним параллельный перенос графика функции $y=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$ относительно оси $OY$ таким образом, чтобы точка $h$ совпала с точкой $k$ (ценром симметрии графика функции), а затем относительно оси $OX$ на величину значения функции в точке $k$.
Поскольку график функции симметричен, $a-a_1=b_1-b$, отсюда $a+b=a_1+b_1$ (то, что точка $a$ находится левее бОльшей критической точки, а точка $b$ правее меньшей критической точки доказывается.) А следовательно, $b_1$ - целое число.
Поскольку значение функции в точке $a_1$ равно значению функции в точке $b_1$, взятом с противоположным знаком, и $a_1$ и $b_1$ - взаимно простые числа ($a_1-b_1=1$ , в противном случае не выполнялось бы условие максимальной приближенности к точке $h$, а $h=\frac{cp}{cd-p}$, то есть, не целое число),
$\frac{a_1^2(cd-p)-c^2da_1+c^2p}{b_1}$- целое число и
$\frac{b_1(cd-p)-c^2db_1+c^2p}{a_1}$ - целое число.



То есть, $\frac{(b_1+1)^2(cd-p)-c^2d(b_1+1)+c^2p}{b_1}$- целое число и
$\frac{(a_1-1)^2-c^2d(a_1-1)+c^2p}{a_1}$- целое число. Следовательно,
$\frac{cd-p-c^2d+c^2p}{b_1}$- целое число,
$\frac{cd-p+c^2d+c^2p}{a+1}$-целое число.
$\frac{cd(c-1)+p(c^2-1)}{b_1}$-целое число
$\frac{cd(c+1)+p(c^2-1)}{a_1}$-целое число, следовательно
$\frac{(c+1)((cp-cd)-1)}{a_1}$ -целое число
$\frac{(c-1)((cp-cd)+1)}{b_1}$-целое число.

[natalya_1]

Поскольку $(cp-cd)-1$ и $(cp-cd)+1$ -взаимно простые нечетные числа (т.к.$p$ и $d$ -четные числа), а одно из чисел $a_1$ или $b_1$ - четно, то либо $\frac{c+1}{a_1}$ -целое число (если $a_1$ -четно, либо$\frac{c-1}{b_1}$ -целое число,если $b_1$ -четно.
И поскольку $a+b>c$, то есть и $a_1+b_1>c$ , возможно в случае четности одного или другого числа только если $\frac{c+1}{a_1}=2$ или $\frac{c-1}{b_1}=2$ соответственно.



Но если выполняется это условие, то $a_1+b_1=2\frac{c+1}{2}-1$или
$a_1+b_1=2\frac{c-1}{2}+1$, то есть в обоих случаях $a_1+b_1=c$ , что соответствует
$a+b=c$, а это невозможно, т.к. $a+b=c+d$.
Мы пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было неверным.


(вообще говоря, это подтверждает мою гипотезу о том, что для того, чтобы уравнение $x^3+y^3=z^3$ имело решения в целых числах (и для любых других нечетных степеней), необходимо, чтобы $\frac{x^2+y^2-z^2}{x+y-z}$ было целым числом. То есть, в нашем случае это выполнялось бы, если бы $h=\frac{cp}{cd-p}$ , было целым числом и $a_1-b_1=2$.

[natalya_1]

У меня вопрос к уважаемым форумчанам:
Если один из корней кубического уравнения - целое число, можно ли говорить о том, что другие корни обязательно рациональны?

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #483284 писал(а):

Если один из корней кубического уравнения - целое число, можно ли говорить о том, что другие корни обязательно рациональны?

Нет, конечно.

[natalya_1]

Но можно говорить, что если один из корней - целое число, то сумма двух других и их произведение рациональны, поскольку
корни кубического уравнения связаны с коэффициентами?

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #483289 писал(а):

Но можно говорить, что если один из корней - целое число, то сумма двух других и их произведение рациональны, поскольку корни кубического уравнения связаны с коэффициентами?

Если исходное уравнение 3-й степени имело рациональные коэффициенты, то да.