Бесконечность простых чисел-близнецов

[zhoraster]

Возвращено.

[vorvalm]

Большое спасибо!

[vorvalm]

Чтобы не повторятся, мы будем использовать наработки из темы "Бесконечность простых чисел - близнецов"
Число разностей d между любыми вычетами ПСВ определяется по формуле: $Nd=A_2\varphi_2(M)$ где $A_2=\prod \frac{\varphi(p)}{\varphi_2(p)}, p\mid d$
Однако, число разностей между соседними вычетами эта формула не дает (кроме d=2 и d=4). Это связано с тем, что разности d > 4 образуются из групп n-го размера по мере роста модуля М. В ПСВ есть группы вычетов, которые имеют в своем составе максимальное число вычетов при общей разности d, т.е. имеют максимальный размер.
Такие группы мы будем назывть первообразными. Все другие группы меньшего размера с общей разностью d > 4, которые входят в состав первообразных, будем называть производными. Разность между размером первообразной группы и размером производной группы будем называть порядком производной группы. Например, группы:
C[6]=(2,4), C[6]=(4,2), D[8]=(2,4,2), D[10]=(4,2,4), E[12]=(2,4,2,4), E[12]=(4,2,4,2), F[16]=(4,2,4,2,4) - первообразные,
т.к. в ПСВ нет других групп, имеющих большее число вычетов при данной общей разности. Как и в анализе, определение первообразнех групп при достаточно большой общей разности представляет определенные трудности.
Группы C[6] имеют только одну производную группу B[6], т.е.разность между соседними вычетами d=6.
Группа F[16]=(4,2,4,2,4) имеет 4 производные группы первого порядка:
E[16]=(6,4,2,4), E[16]=(4,6,2,4), E[16]=(4,2,6,4), E[16]=(4,2,4,6). Эти группы образуются путем последовательного исключения одного вычета из состава группы F[16] с увеличением разности между вычетами при сохранении общей разности d=16.
Каждая группа Е[16] имеет свои производные группы, которые для группы F[16] будут производными второго порядка. Это 6 групп:
D[16]=(10,2,4), D[16]=(6,6,4), D[16]=(6,4,6), D[16]=(4,8,4), D[16]=(4,6,6), D[16]=(4,2,10). Далее, 4 производные группы 3-го порядка:
C[16]=(12,4), C[16]=(10,6], C[16]=(6,10), C[16]=(4,10). И, наконец, одна производная группа 4-го порядка B[16].
Таким образом, все разности между соседними вычетами при d > 4 являются производными группами различных порядков.
Число первообразных групп Q[n] - n-го размера определяется по формуле $N(Q_n)=A_n\varphi_n(M)$. При определении числа производных групп эта формула даст общее число этих групп, куда войдут: 1) собственно производные группы, 2) те же группы, но которые входят в состав других групп. Это могут быть первообразные и производные группы большего размера.
Например, если определять число разностей d=6 в ПСВ по модулю М=30 по формуле $N(6)=2\varphi_2(M)$, то получим N(6)=6. Это разности:
1--7, 7-(11)13, 11-(13)17, 13-(17)19, 17-(19)23, 23--29. Из них только две являются группами В[6] (соседние вычеты). Остальные группы С[6]=(2,4) и
C[6]=(4,2) - первообразные. Отсюда, число первых производных групп равно разности между общим числом этих групп и числом первообразных групп.

Близкие темы соединены. / GAA

[vorvalm]

GAA
Весьма удивлен? Предложенная тема никакого отношения не имеет к теме" о близнецах". У К.Прахара эти темы разнесенны по разным главам. Тема " близнецов" разрабатывалась В.Бруном и А.Сельбергом, а тема" о разностях" разрабатывлась И.Хардии и Е.Литлвудом. При такой принципиальности начинаешь сомневаться...в собственной компетенции. Тема "о близнецах" сама по себе объемная и засорять ее другими темами нет никакой необходимости.
Прошу убрать тему" О разностях..." из темы "о близнецах".

[vorvalm]

Продолжаем тему " О разностях..."
$N(Q_{n-1})=A_{n-1}\varphi_{n-1}(M)-A_n\varphi_n(M)$ ; где n - размер первообразной группы. Для группы В[6] : $N(B[6])=2\varphi_2(M)-2\varphi_3(M)$.
При модуле М=30 $N(B[6])=6-4=2$.
Коэффициенты проходимости групп:
$D[4]=(0,4,6,10), m(3)=2,m(5)=1,K(3)=1,k(5)=2 ,\varphi_4(5)=1$ , $A_4=2$. $C[3]=(0,6,10), m(3)=1,m(5)=1,K(3)=1 ,K(5)=3 ,\varphi_3(5)=2$ , $A_3=3/2$ $C[3]=(0,4,10) , m(3)=1 , m(5)=1 ,K(3)=1 , K(5)=3 , A_3=3/2$. Суммарный коэффициент $A_3=3$. $B[2]=(0,10) , m(3)=0 , m(5)=1 , K(3)=1 , K(5)=4 , \varphi_2(5)=3 , A_2=4/3$. $N(B[10])=4/3\varphi_2-3\varphi_3+2\varphi_4$. Аргумент М опущен. При М=210 , [math]$N(B[10])=20-24+6=2$. , при М=2310 $N(B[10])=180-192+42=30$.
Приведем формулы числа групп Bd для небольших значений d. Аргумент М опущен.
$N(B[6])=2\varphi_2-2\varphi_3$ , при M>6.
$N(B[8])=\varphi_2-2\varphi_3+\varphi_4$ , при M>6.
$N(B[10])=4/3\varphi_2-3\varphi_3+2\varphi_4$ , при M>30.
$N(B[12])=2\varphi_2-7\varphi_3+10\varphi_4-2\varphi_5$ , при M>30.
$N(B[14])=6/5\varphi_2-5\varphi_3+28/3\varphi_4-3\varphi_5$ , при M>210.
$N(B[16])=\varphi_2-5\varphi_3+12\varphi_4-6\varphi_5+\varphi_6$ , при M>30.

Очевидно, что сумма числа смежных разностей B[d] в ПСВ равна функции Эйлера $\varphi(M)=\sum_d B[d]$.
Сумма произведений d на Nd равна модулю $M=\sum_d dNd$.
Эти формулы можно использовать для проверки правильности определения разностей в ПСВ.
Пример. $M(11)=2310, \varphi(2310)=480.$
$\varphi(2310)=N(B[2])+N(B[4])+N(B[6])+N(B[8])+N(B[1]0)+N(B[12])+N(B[14])=135+135+142+28+30+8+2=480.$
$M(11)=2N(B[2])+4N(b[4])+6N(B[6])+8N(B[8])+10N(B[10])+12N(B[12])+14N(B[14])=270+540+852+224+300+96+28=2310.$

[vorvalm]

В предыдущем тексте пропущено несколько строк. Извиняюсь.
После $N(B[6])=6-4=2$, следует:
Аналогично определяется число вторых производных групп как разность между общим числом этих групп и числом первых производных групп.
В общем случае число групп B[d] в ПСВ по модулю М определяется по формуле:
$N(B[d])=\sum_2^n(-1)^n A_n\varphi_n(M)$, где n - размер первообразной группы,
$A_n$ - суммарные коэффициенты проходимости для всех групп одого размера.
Например, группа B[10] - вторая производная группы $D[4]=(4,2,4)$ и первая производная двух групп $C[10]=(4,6) , (6,4) $
Далее по тексту.

[Sonic86]

Буду переводить здесь, начиная с 1-го абзаца
$\mathbb{P}$ - множество простых чисел.
$M(p) := \prod\limits_{q \in \mathbb{P}, q \leqslant p}q$
$\text{ПСВ}_p := \{ x \in \mathbb{N}: 1 \leqslant x \leqslant M(p), \text{НОД}(x,M(p))=1\}$
$|\text{ПСВ}_p| = \varphi (M(p))$, элементы $\text{ПСВ}_p$ можно пронумеровать по порядку числами $1,...,\varphi (M(p))$.
Все в принципе понятно до момента

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

Число вычетов ПСВ, имеющих близнецов, определяется функцией Эйлера второго порядка по простому модулю $\varphi_2(p)$ и по составному модулю М - $\varphi_2(M)$ (новое понятие).

Что здесь обозначено словом "близнец"? Первым делом подумалось о простом вида $p \pm 2$ для данного простого$p$. И тогда $\varphi _2 (M(p)) := |\{ (x,y): y=x+2, x,y \in \text{ПСВ}_p, x,y \in \mathbb{P}\}|$ (автор тут уже переопределяет $\text{ПСВ}_p$ на произвольные составные модули, пока это игнорируем). Однако

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

Теорема1. Число вычетов-близнецов в ПСВ по модулю $p>2$ равно $p-2=\varphi_2(p)$.

при таком определении близнецов явно неверна, поскольку $\text{ПСВ}_p$ содержит всего лишь $p-1$ число, а значит число всех пар $(x,x+2)$ равно $p-3$, что меньше, чем $p-2$. Соответственно, без определения слова "близнец" читать дальше бессмысленно.

[vorvalm]

Вычет $a_n$ , имеющий близнеца $a_n+2$

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #476139 писал(а):

Вычет $a_n$ , имеющий близнеца $a_n+2$

т.е. простота не предполагается? Но теорема 1 все равно тогда неверна:
берем $\text{ПСВ}_5 = \{ 1;2;3;4\}$ - тут 2 пары: $(1;3)$ и $(2;4)$, но в теореме сказано, что $\varphi _2(5)=5-2=3 \neq 2$.

[vorvalm]

(4;6)- третья пара.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #476146 писал(а):

(4;6)- третья пара.

Но $6>5$, а мы рассматриваем ПСВ $= \{ 1;2;3;4\}$, 6 не входит в ПСВ. Сами же пишете:

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

Рассмотрим ПСВ по модулю $p>2$: 1, 2, 3.....(p-2),(p-1).

т.е. для $p=5$ имеем $\{ 1;2;3;4\}$.

[vorvalm]

Близнец вычета $a_n$ необязательно должен быть в данной ПСВ. Важно, что он взаимно простой с модулем. Он очевидно в другой ПСВ по этому же модулю.
Ведь и в жизни не все близнецы живут в одной квартире.
Функция Эйлера дает только число вычетов ПСВ. Определение ПСВ так же ничего не говорит о конкретном составе вычетов ПСВ. Здесь у вас полная свобода выбора в пределах определения.
Если же вы хотите, чтобы все пары близнецов были в одной ПСВ по модулю р, то нетрудно найти такую ПСВ. Я думаю, вы ее найдете сами.

[Sonic86]

Так, тогда
$\varphi _2 (M(p)) := |\{ (x,y): y=x+2, x \in \text{ПСВ}_p, \text{НОД}(y,M(p)) \}|$

vorvalm в сообщении #476198 писал(а):

Определение ПСВ так же ничего не говорит о конкретном составе вычетов ПСВ.

Вообще-то нет: $\text{ПСВ}_p$ уже однозначно определено. Но пока это, вроде, неважно.

Переопределю ПСВ на произвольный модуль:
$\text{ПСВ}_M := \{ x \in \mathbb{N}: 1 \leqslant x \leqslant M, \text{НОД}(x,M)=1\}$. Старые обозначения будут теперь записываться как $\text{ПСВ}_{M(p)}$.
Определение: $b$ называется близнецом числа $a \Leftrightarrow b=a \pm 2$. В паре $(a;a+2)$ число $a$ назовем меньшим близнецом, а $a+2$ - большим.
Ну тогда теорема 1 верна:
$\varphi _2(2)=1, p>2 \Rightarrow \varphi _2(p)=p-2$

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

Отношение $\frac {\varphi_2(M)}M$ - средняя плотность близнецов в модуле, следовательно, число близнецов, приходящееся на интервал простых чисел будет равно:
$p^2\frac {\varphi_2(M)}M$

Насчет 1-го точнее будет сказать, что $\frac {\varphi_2(M)}{M}$ - средняя плотность меньших близнецов в $\text{ПСВ}_M$, а вторая формула является приближенной, причем ее можно использовать пока для $M=M(p)$, а не для произвольного $M$.

[vorvalm]

Я совершенно согласен собозначением ПСВ.
Обозначение ПСВ(р) означает, что число вычетов в этой ПСВ равно р-1, но как эти вычеты расположены относительно модуля р - неоднозначно.
Насчет определения близнецов можно подискуссировать. По-моему, близнецами надо называть вычеты, имеющие разность d=2.
Кстати, это относится и к"старшим" близнецам, которые имеют разность d=4.
Число близнецов определяется по числу меньших близнецов.
В тексте есть неточности:
у вас $\varphi_2(2)=2$, а на самом деле $\varphi_2(2)=1$,
далее, $\varphi_2(p)=\varphi(p)-1=p-2$.
Число пар близнецов и число меньших близнецов совпадают.
Формула $p^2 \varphi_2(M)/M$ записана условно. Правильнее было бы написать:

$$p_{r+1}(p_{r+1}-1)\varphi_2(M_r)/M_r$$

А в остальном я полностью согласен.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #476224 писал(а):

Обозначение ПСВ(р) означает, что число вычетов в этой ПСВ равно р-1, но как эти вычеты расположены относительно модуля р - неоднозначно.

Нет. Вы кажется просто опять смешиваете понятия. Я потом при необходимости разделю.

vorvalm в сообщении #476224 писал(а):

у вас $\varphi_2(2)=2$, а на самом деле $\varphi_2(2)=1$,

ой! Сейчас исправлю. upd: исправил.

Так, дальше:

vorvalm в сообщении #424222 писал(а):

Теорема 2. Число разностей d в ПСВ по модулю р

Поскольку любое число является разностью в обычном смысле, значит слово "разность" употребляется здесь в необычном смысле, значит термин не определен.
Определите, пожалуйста, строго + учитывая Ваш опыт написания текстов прошу привести эмпирический пример, - так станет понятнее.