Первый замечательный предел - так ли замечателен?

[Gortaur]

MaximVD
Почему бы не взять интеграл для арксинуса?

[MaximVD]

Gortaur
Наверное, можно и арксинус определять через интеграл. Правда, синус тогда сначала можно определить только на $[-\pi/2; \pi/2]$ и, как мне кажется, чтобы его доопределить везде, потребует заодно и арккосинус определять через интеграл, а потом ещё возиться с тем, чтобы всё это хорошо состыковалось. Но, возможно, я неправ.
Я этот метод определения тригонометрических функций на лекциях услышал. Лектор сначала определял арктангенс, возможно такой метод чем-то лучше, чем через арксинус. Хотя, вполне вероятно, что это просто предпочтение лектора.

[olenellus]

Очень интересно, MaximVD. Кажется, по неочевидности Ваш способ переплюнул даже способ Бурбаки :) Буду знать.

[_hum_]

olenellus в сообщении #472913 писал(а):

Дайте, пожалуйста, если не трудно, список аксиом, а так же определения длин и углов, из этой теории. А то я невежда... У меня есть с собой только "Начала" Эвклида дореволюционного времени, но там строгостью даже не пахнет.

Ну, например, [url =http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиоматика_Гильберта]wiki/Аксиоматика_Гильберта[/url].

[Azog]

olenellus в сообщении #472913 писал(а):

Дайте, пожалуйста, если не трудно, список аксиом, а так же определения длин и углов, из этой теории. А то я невежда... У меня есть с собой только "Начала" Эвклида дореволюционного времени, но там строгостью даже не пахнет.

Книжку Погорелова или Кисилева посмотрите. Это учебники. В хороших :) школах длину вводят не как метрику, а как некоторый параметр который можно сравнивать. То есть если есть некоторый эталонный отрезок длины 1, то можно построить нарисовав последовательно несколько таких отрезок длины 10. С отрезками рациональной длины, тоже все честно, но ровно настолько, насколько честно вводятся натуральные числа. Рассказывать про аксиомы Пеано в школе - не совсем хорошо, все-таки. Про отрезки иррациональной длины хорошие учителя честно ссылаются на теорию пределов, которую-де в школе не учат, а плохие несут несусветную чушь. Ну это в среднем, разумеется. Вообще, доказательство замечательного предела как ввикипедии Вполне честное, во всяком случае укладывается в здравый смысл.

Вообще, боюсь, что если рассказывать детям\студентам математику от самых оснований абсолютно честно, то Вы своих подопечных сделаете неврастениками. Иногда приходится верить на слово.

[Maslov]

(Оффтоп)

MaximVD в сообщении #472973 писал(а):

Можно строго определить $\sin$ и без экспонент и рядов. Правда этот способ ну очень некрасивый и неестественный, да к тому же требует знание несобственных интегралов, но всё же. Для любого $x \in \mathbb{R}$ определим арктангенс по следующей формуле:

$$ \arctg(x) = \int_0^x \frac{dt}{t^2 + 1}, $$

После этого немного повозившись можно определить тангенс, а на основе тангенса ещё повозившись можно корректно определить синус.

Как это ни странно, именно так меня учили в школе, и все было довольно красиво и естественно:) Правда, это была ленинградская ФМШ №239.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #473027 писал(а):

Как это ни странно, именно так меня учили в школе, и все было довольно красиво и естественно:) Правда, это была ленинградская ФМШ №239.

Вот это жесть!

[Padawan]

Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями

[myra_panama]

Padawan в сообщении #473054 писал(а):

Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями

Вопрос: Как можно доказывать 'при этих формулировок' первый замечательный предел? По моему основной вопрос состоит в этом. Товарищ olenellus без жульничество хочеть доказать это?Кстати этого (доказательство) я тоже хочу увидеть

[Maslov]

Padawan в сообщении #473054 писал(а):

Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями

Да куча есть разных способов. У Э.Ландау в "Введении в дифференциальное и интегральное исчисление" тригонометрические функции определяются через ряды:

$$ \sin x = \sum\limits_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m} {(2m+1)!} x ^{2m+1}$$

При таком подходе первый замечательный предел вообще в одно действие получается.

[Gortaur]

Словом, было описано несколько формальных методов:

1. через гомоморфизм и теорию групп;

2. через интеграл;

3. через ряды.

4. через ДУ.

Вопроса тоже четыре:

1. какой метод быстрее + полезнее для студентов?

2. какой из них конструктивен?

3. в каком из них легче найти первый замечательный?

4. где мотивация для введения синуса через такую ж... , черт возьми? Арнольда на вас нет (

[Sonic86]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #473112 писал(а):

4. где мотивация для введения синуса через такую ж... , черт возьми? Арнольда на вас нет (

Немного аналогичный пример - площадь круга. В обычной школе мы о ней узнаем в 8-м классе, а если честно через матан со строгими определениями и выводами, то о числе $\pi$ узнаем лишь на 2-м курсе.
Если преподавать школьникам в массе, то нужен 1-й метод, если идеальным математикам - то 2-й метод.

[Toucan]

Переехали в "Вопросы преподавания".

[olenellus]

Maslov в сообщении #473080 писал(а):

При таком подходе первый замечательный предел вообще в одно действие получается.

Об этом я и писал. Только Ландау сразу "угадал" нужный ряд, а можно было его "вычленить" из экспоненты более-менее естественным путём. И, если идти по этому пути, то ничего замечательного в первом замечательном пределе, действительно, нет.

Padawan в сообщении #473054 писал(а):

Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями

В этом случае, наверно, предел можно доказать, вылив воду из чайника: решить уравнение рядами (доказав, что там всё сходится), ну а дальше мы уже знаем.

Gortaur в сообщении #473112 писал(а):

1. какой метод быстрее + полезнее для студентов?

Вам шашечки или ехать? С ближним прицелом полезнее для студентов первого курса через школьную геометрию. Ведь им дифференцировать синусы-косинусы надо уже прямо сейчас - на физике. Быстрее всего через ряды (или аналитическое продолжение экспоненты, для наглядности). С дальним прицелом полезнее через теорию групп, мне кажется.

-- Ср авг 03, 2011 11:28:23 --

_hum_ в сообщении #472994 писал(а):

Ну, например, [url =http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиоматика_Гильберта]wiki/Аксиоматика_Гильберта[/url].

Да, надо бы мне почитать эвклидову геометрию внимательнее. Вот и Munin в другой теме примерно о том же говорит, что и Вы.

Но, как я понял, напрямую функции из геометрии в анализ засовывать нельзя. Поэтому Ваше предложение (или мои фантазии о Вашем предложении) сводится к нахождению таких функций (пары), что их алгебраические свойства совпадают с таковыми для синуса и косинуса в геометрии. При этом надо ещё доказать, что эти функции существуют (если мы их явно через ряды не выпишем, что сведёт этот случай к другому, и геометрическое доказательство сделает ненужным).

[Евгений Машеров]

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность)

Первый Замечательный Предел оттого так называется, что о нём рассказывают в самом начале курса. И поэтому в доказательстве ограничиваются тем, что школьники к этому времени выучили. Жертвуя строгостью, которую они не оценят.