Вы пробовали читать всё, а не кусочки? Длину вводят для некоторых объектов. Для канторовой лестницы не вводят. Но для дуги окружности - вводят, и успешно.
Ну и в "обыкновенном" анализе не всякая кривая спрямляема. Но мне вот что интересно. Давно в школе учился, забыл уже как там что было, но не сидит ли где там в кустах группа двумерных вращений при введении понятий длин отрезков на плоскости? А без этого площади тоже не определяются (площадь прямоугольника как произведение сторон, площадь прямоугольного треугольника как половина от оной и т. п.). А в этой группе уже и синусы спрятаны... то есть мы неявно синусы через синусы определяем... Да и с углами разве обходятся без этой группы и её параметров?
