Книги по математике для средней школы

[NaOH]

Здравствуйте,

Не нашёл раздел КНИГИ поэтому написал сюда.

Посоветуйте, пожалуйста, книги по математике для средней школы с углубленным изучением математики, для поступающих в вузы на математику. Просто книг много и не везде написано доступным языком или же плохого качества в основном без доказательств, а просто сухие факты.

[Gortaur]

А Вы о чем хотите почитать и на каком языке? Обычно абитуриентам советуют Ткачука, но это именно для поступления. В ВУЗах по математике дают более абстрактные вещи, чем в школе или при поступлении, поэтому важно понять, что Вы хотите.

[NaOH]

Gortaur в сообщении #471788 писал(а):

А Вы о чем хотите почитать и на каком языке? Обычно абитуриентам советуют Ткачука, но это именно для поступления. В ВУЗах по математике дают более абстрактные вещи, чем в школе или при поступлении, поэтому важно понять, что Вы хотите.

Язык - русский, английский без разницы.
Хотелось бы затронуть весь курс средней школы, только, чтобы было показано как выводят каждую формулу и доказывают каждый факт. Если написано, что $ cos(x)' = -sin(x) $, то приводят доказательство, или, например, если написано, что

$$\[ {\text{z}}^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} = ({\text{z}} - {\text{y}})\left[ {{\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} {\text{y}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{3}}} {\text{y}}^{\text{2}} + \cdot \cdot \cdot + {\text{zy}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} + {\text{y}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} } \right]. \]$$

то не просто пишут, что это частный случай Бинома Ньютона, а показано, как эту формулу выводить.

[Kallikanzarid]

NaOH в сообщении #471799 писал(а):

Если написано, что $ cos(x)' = -sin(x) $, то приводят доказательство

В зависимости от того, сколько у вас времени, вы можете просто изучить первые два семестра анализа.

[Gortaur]

Ну да, по крайней мере предел функции надо изучить. Про обоснование производных и интегралов это первый год матана, а вот эту формулу надо
1. написать без ужосов этих;
2. открыть скобки и посмотреть, какие члены останутся после взаимоуничтожения. Это считается вполне строгим доказательством.

[Kallikanzarid]

Я поясню: я сейчас напишу полное доказательства формулы производной косинуса, а вы скажите, что вам там непонятно/незнакомо.

$$\left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{x = x_0} \cos(x) = \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{h = 0}\cos(x_0 + h) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos x_0}{h} =$$$$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x_0 \cos h - \sin x_0 \sin h - \cos x_0 }{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x_0 (\cos h - 1) - \sin x_0 \sin h }{h}.$$

Покажем, что первое слагаемое в пределе даст ноль. Действительно,

$$\lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2 \sin^2 \frac{h}{2}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \lim_{h \to 0}\sin \frac{h}{2} = 0$$

в силу первого замечательного предела ($\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 0$) и непрерывности синуса. Таким образом,

$$\left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{x = x_0} \cos(x) = -\sin x_0 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = - \sin x_0,$$

опять же, в силу первого замечательного предела.

Это полное (надеюсь) доказательство. Как видите, чтобы его записать, уже нужно хорошо знать свойства предела функции, поэтому его и не проходят в школе. Если вы поступаете в этом году, лучше узнайте, какие вам предстоит решать задачи при поступлении, и подготовьтесь к их решению. Если же вы движемы исключительно любопытством и у вас достаточно свободного времени, то попробуйте почитать, например, первый том Кудрявцева.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #471812 писал(а):

я сейчас напишу полное доказательства формулы производной синуса,

Оно, может, и было бы полным, если б Вы там не напортачили в выражении после первого знака равенства и потом с тригонометрией для косинуса минус один.

[Kallikanzarid]

Тригонометрию поправил, а что там с первым знаком равенства?

-- Чт июл 28, 2011 23:36:45 --

Проверьте еще заодно, везде ли я дал достаточные обоснования для равенств, а то с пределами иногда бывает :) Хотя тут функции все непрерывные, с пределами поэтому можно обходиться достаточно свободно.

(Оффтоп)

Еще бы доказать формулу производной полинома и вспомнить признаки сходимости рядов и интегралов, а то я под середину магистратуры уже забыл почти весь классический анализ

[Gortaur]

Kallikanzarid
С первым знаком, похоже, Вы справились.

(Оффтоп)

Признаки вспомните ) а что там с производной полинома?

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #471817 писал(а):

Тригонометрию поправил,

но пока что не до конца, между прочим

Kallikanzarid в сообщении #471817 писал(а):

а что там с первым знаком равенства?

Помилуйте, что это за зверь-то такой:

Kallikanzarid в сообщении #471812 писал(а):

$= \left. \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{h = 0}\cos(x_0 + h) $

?

Мало того, что это выражение попросту не нужно, так оно ещё и вполне бессмысленно.

-- Чт июл 28, 2011 20:45:58 --

Kallikanzarid в сообщении #471817 писал(а):

Еще бы доказать формулу производной полинома

Тривиально: через бином Ньютона. Или ещё проще -- по индукции через производную произведения.

[Kallikanzarid]

(Убогая) попытка доказательства в гладком инфинитезимальном анализе: для любого $x \neq 0$ бесконечно малого $\delta$ имеем

$$\cos(x + \delta) = \cos x \cos \delta - \sin x \sin \delta = \cos x(1 + a\delta) - b \delta \sin x,$$

где $a, b$ - единственные числа, удовлетворяющие (по аксиоме Кока-Ловера) равенствам

$$\cos \delta = \cos 0 + a\delta,\quad \sin \delta = \sin 0 + b \delta$$

соответственно. Достаточно показать, что $a = 0$, а $b = 1$. Тут я впадаю в ступор, так как эту теорию знаю лишь крайне поверхностно

-- Пт июл 29, 2011 00:03:24 --

ewert в сообщении #471822 писал(а):

но пока что не до конца, между прочим

Еще минус потерял

ewert в сообщении #471822 писал(а):

Помилуйте, что это за зверь-то такой:

Ыыы

ewert в сообщении #471822 писал(а):

Тривиально: через бином Ньютона. Или ещё проще -- по индукции через производную произведения.

Попробуем Буду писать $(x^n)'$, подразумевая $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(x \mapsto x^n)$. База - $x' = 1$. Шаг: пусть $(x^n)' = n x^{n-1}$. Тогда

$$(x^{n+1})' = (x^n x)' = (x^n)' x + x^n x' = n x^{n-1} x + x^n = (n+1) x^n.$$

Действительно, просто

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #471826 писал(а):

Тут я впадаю в ступор, так как эту теорию знаю лишь крайне поверхностно

А я так и вовсе не знаю. Но уже то, что Вы написали, выглядит крайним уродством даже по сравнению с занудствами классического анализа, которые некоторые так любят ругать.

[Kallikanzarid]

То же самое - для гладкого инфинитезимального: $(x + \delta)^n = x^n + n x^{n-1} \delta + \ldots + \delta^n$. Все слагаемые, кроме первых двух, равны нулю, откуда получаем искомое. Это с биномом Ньютона, его доказательство для ГИА не отличается от классического

-- Пт июл 29, 2011 00:10:09 --

ewert в сообщении #471828 писал(а):

Но уже то, что Вы написали, выглядит крайним уродством даже по сравнению с занудствами классического анализа, которые некоторые так любят ругать.

Почему оно выглядит уродством? ИМХО, довольно интересная идея. Я лично классический анализ уважаю

[NaOH]

Kallikanzarid в сообщении #471812 писал(а):

Я поясню: я сейчас напишу полное доказательства формулы производной косинуса, а вы скажите, что вам там непонятно/незнакомо.

$$\left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{x = x_0} \cos(x) = \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{h = 0}\cos(x_0 + h) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos x_0}{h} =$$$$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x_0 \cos h - \sin x_0 \sin h - \cos x_0 }{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x_0 (\cos h - 1) - \sin x_0 \sin h }{h}.$$

Покажем, что первое слагаемое в пределе даст ноль. Действительно,

$$\lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2 \sin^2 \frac{h}{2}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \lim_{h \to 0}\sin \frac{h}{2} = 0$$

в силу первого замечательного предела ($\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 0$) и непрерывности синуса. Таким образом,

$$\left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{x = x_0} \cos(x) = -\sin x_0 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = - \sin x_0,$$

опять же, в силу первого замечательного предела.

Это полное (надеюсь) доказательство. Как видите, чтобы его записать, уже нужно хорошо знать свойства предела функции, поэтому его и не проходят в школе. Если вы поступаете в этом году, лучше узнайте, какие вам предстоит решать задачи при поступлении, и подготовьтесь к их решению. Если же вы движемы исключительно любопытством и у вас достаточно свободного времени, то попробуйте почитать, например, первый том Кудрявцева.

Я это доказательство знаю и видел его я в учебнике за 11 класс (для школ с углубленным изучением математики), но этот учебник мне не очень понравился там моментами очень сухо написано и часто за объяснениями приходилось лезть в интернет. Единственное, что я так и не понял, почему

$$\left. \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \right|_{x = x_0} \cos(x) = -\sin x_0 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = - \sin x_0,$$

, а не равно 0, если $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 0$ и тогда получается, что $ -sin x_0 * 0 = 0$

Я умею дифференцировать и интегрировать на начальном уровне. Проблема в том, что в основном я зазубрил формулы и большинство я вывести просто не могу, а очень хотелось бы научиться. Ищу учебник, где всё подробно написано, например, где будет дано нормальное определение логарифма, где будет объяснено почему основание не может быть меньше 0. Вот краткий список тем : Полиномы, пределы, дифференцирование, интегрирование, графики(построение, преобразование), логарифмы, тригонометрия, ряды и прогрессии.

[Kallikanzarid]

NaOH в сообщении #471905 писал(а):

если $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 0$ и тогда получается, что $ -sin x_0 * 0 = 0$

Это моя опечатка - там должна единица стоять :)

NaOH в сообщении #471905 писал(а):

где будет объяснено почему основание не может быть меньше 0.

Попробуйте возвести отрицательное число в иррациональную степень