Книги по математике для средней школы

[ewert]

NaOH в сообщении #471905 писал(а):

Ищу учебник, где всё подробно написано, например, где будет дано нормальное определение логарифма,

Вот нормальное, точное и полное определение:

"Логарифмом называется функция, обратная к показательной."

Со всеми вытекающими отсюда последствиями. Куда уж подробнее?...

Правда, с одной оговоркой: нужно знать, что показательная функция непрерывна; а этот вопрос (и вообще что такое показательная функция) -- сравнительно тонкий. В отличие от логарифма потом.

[alex1910]

ewert в сообщении #471928 писал(а):

NaOH в сообщении #471905 писал(а):

Ищу учебник, где всё подробно написано, например, где будет дано нормальное определение логарифма,

Вот нормальное, точное и полное определение:

"Логарифмом называется функция, обратная к показательной."

Со всеми вытекающими отсюда последствиями. Куда уж подробнее?...

Правда, с одной оговоркой: нужно знать, что показательная функция непрерывна; а этот вопрос (и вообще что такое показательная функция) -- сравнительно тонкий. В отличие от логарифма потом.

Ну, или, логарифмом называется непрерывная функция f, не равная тождественно нулю, такая, что
f(xy)=f(x)+f(y).

[alcoholist]

ewert в сообщении #471928 писал(а):

показательная функция непрерывна

монотонна:))

alex1910 в сообщении #471936 писал(а):

Ну, или, логарифмом называется непрерывная функция f, не равная тождественно нулю, такая, что
f(xy)=f(x)+f(y)

не забыть еще область определения упомянуть и нормировку на основание $f(a)=1$;
хотя через обратную к показательной -- правильнее.

[ewert]

alcoholist в сообщении #471941 писал(а):

монотонна:))

Нет. В том смысле, что монотонность (в рациональных точках) можно считать очевидной. А вот за непрерывность приходится немножко побороться. Между тем без непрерывности было бы непонятно, что является областью определения логарифма.

[NaOH]

Спасибо большое за разъеснения. Но что по-поводу литературы, какую всё-же посоветуете ?

[alex1910]

alcoholist в сообщении #471941 писал(а):

ewert в сообщении #471928 писал(а):

показательная функция непрерывна

монотонна:))

alex1910 в сообщении #471936 писал(а):

Ну, или, логарифмом называется непрерывная функция f, не равная тождественно нулю, такая, что
f(xy)=f(x)+f(y)

не забыть еще область определения упомянуть и нормировку на основание $f(a)=1$;
хотя через обратную к показательной -- правильнее.

Нормировка не нужна - такая функция единственна с точностью до коэфициента пропорциональности. Область определения - максимально возможная, какая может быть при таком уравнении. Разумеется, логарифм - это не вся функция, а только ее "правая ветка".

Логарифм нужен для того, чтобы произведение в сумму переводить, а не решать "показательные уравнения", так что такое определение не менее, если не более, осмысленно, чем школьное (и, разумеется, ему эквивалентно).

[alcoholist]

alex1910 в сообщении #472008 писал(а):

Нормировка не нужна - такая функция единственна с точностью до коэфициента пропорциональности

это и есть нормировка

[alex1910]

alcoholist в сообщении #472019 писал(а):

alex1910 в сообщении #472008 писал(а):

Нормировка не нужна - такая функция единственна с точностью до коэфициента пропорциональности

это и есть нормировка

Разумеется, но:

1. надо доказать (легко), что функция, в этом смысле, единственна;
2. то, что в некоторой точке функция обращается в единицу следует из условия, в этом смысл "нафиг не надо" добавлять в условие то, что из него следует.

[alcoholist]

(Оффтоп)

alex1910 в сообщении #472008 писал(а):

Логарифм нужен для того, чтобы произведение в сумму переводить

т.е. это-таки изоморфизм компоненты единицы мультипликативной группы поля $\mathbb{R}$ на аддитивную группу этого же поля...

[alex1910]

alcoholist в сообщении #472021 писал(а):

(Оффтоп)

alex1910 в сообщении #472008 писал(а):

Логарифм нужен для того, чтобы произведение в сумму переводить

т.е. это-таки изоморфизм компоненты единицы мультипликативной группы поля $\mathbb{R}$ на аддитивную группу этого же поля...

(Оффтоп)

Не пугайте ТС

[ewert]

Про изоморфизмы -- это лирика. А вот что действительно практически любопытно: как разумнее доказывать, что показательная функция дифференцируема?... (ясно, что достаточно лишь в одной точке и при хотя бы одном основании)

[мат-ламер]

NaOH в сообщении #471799 писал(а):

Хотелось бы затронуть весь курс средней школы, только, чтобы было показано как выводят каждую формулу и доказывают каждый факт. Если написано, что $ cos(x)' = -sin(x) $, то приводят доказательство, или, например, если написано, что

$$\[ {\text{z}}^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} = ({\text{z}} - {\text{y}})\left[ {{\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} {\text{y}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{3}}} {\text{y}}^{\text{2}} + \cdot \cdot \cdot + {\text{zy}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} + {\text{y}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} } \right]. \]$$

то не просто пишут, что это частный случай Бинома Ньютона, а показано, как эту формулу выводить.

А самому мозгами пораскинуть (конечно, если собираетесь поступать в ВУЗ "на математику")? Если собираетесь поступать на мат. факультеты, то такие вещи надо уметь самому доказывать. В частности формулу для производной от косинуса легко вывести из формулы производной от синуса.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #472070 писал(а):

В частности формулу для производной от косинуса легко вывести из формулы производной от синуса.

Я хуже того скажу: этот переход просто обязан быть не более чем упражнением. В отличие от производной самого синуса (или самого косинуса, не важно), вывод которой практически никогда не обходится без некоторого жульничества. Ибо практически -- крайне мало кто озабочивается к этому моменту формально строгим обоснованием понятия длины кривой вообще и даже длины дуги окружности как частным случаем.

[alex1910]

ewert в сообщении #472068 писал(а):

Про изоморфизмы -- это лирика. А вот что действительно практически любопытно: как разумнее доказывать, что показательная функция дифференцируема?... (ясно, что достаточно лишь в одной точке и при хотя бы одном основании)

Не понял вопроса. А чем тупое вычисление предела отношения приращения функции к приращению аргумента не подходит? Заодно и производная найдется, а не только качественный факт дифференцируемости. Разумеется, перед этим придется доказать, что (exp(x)-1)/x --> 0 при (x --> 0).

UPD. К посту про производную синуса и жульничество.

Неравенство sin x < x < tg x доказывается геометрически без всякого жульничества: первое - так как катет короче гипотенузы, которая короче стягивающей эту гип. дуги (не важно, если не определена длина дуги, главное, что кратчайщее расстояние - прямая); второе - сравнением площадей (надеюсь, Вы согласны, что площадь сектора можно посчитать без жульничества и без интегрирования (но с предельным переходом, разумеется)) либо сравнением пары отрезков - тут чуть сложнее, чем с синусом, но тоже делается честно, причем без предельных переходов.

[ewert]

alex1910 в сообщении #472077 писал(а):

доказывается геометрически без всякого жульничества: первое - так как катет короче гипотенузы, которая короче стягивающей эту гип. дуги (не важно, если не определена длина дуги, главное, что кратчайщее расстояние - прямая);

Очень даже важно. До тех пор, пока не определено понятие длины кривой вообще -- даже и сам термин "кратчайшее" вполне бессмысленен.

alex1910 в сообщении #472077 писал(а):

надеюсь, Вы согласны, что площадь сектора можно посчитать без жульничества и без интегрирования

Нет, разумеется. Т.е. посчитать на эмпирическом уровне строгости можно, разумеется. Но вот связать эту площадь с длиной, которой и вообще-то пока что нет (как и самой площади, кстати) -- это вряд ли.

Для сравнения -- приведу Вам полный аналог Вашей аргументации.

"Известно, что дважды два -- четыре. Мы, правда, не знаем пока, что такое два... Но зато насчёт четвёрки -- какой крутой вывод!"

-- Сб июл 30, 2011 00:02:42 --

alex1910 в сообщении #472077 писал(а):

А чем тупое вычисление предела отношения приращения функции к приращению аргумента не подходит?

А откуда конкретно Вы этот предел (в смысле его существование, этого и достаточно) возьмёте-то?... -- ведь ровно в этом-то и вопрос.