Книги по математике для средней школы

[alex1910]

ewert в сообщении #472079 писал(а):

alex1910 в сообщении #472077 писал(а):

доказывается геометрически без всякого жульничества: первое - так как катет короче гипотенузы, которая короче стягивающей эту гип. дуги (не важно, если не определена длина дуги, главное, что кратчайщее расстояние - прямая);

Очень даже важно. До тех пор, пока не определено понятие длины кривой вообще -- даже и сам термин "кратчайшее" вполне бессмысленен.

alex1910 в сообщении #472077 писал(а):

надеюсь, Вы согласны, что площадь сектора можно посчитать без жульничества и без интегрирования

Нет, разумеется. Т.е. посчитать на эмпирическом уровне строгости можно, разумеется. Но вот связать эту площадь с длиной, которой и вообще-то пока что нет (как и самой площади, кстати) -- это вряд ли.

Для сравнения -- приведу Вам полный аналог Вашей аргументации.

"Известно, что дважды два -- четыре. Мы, правда, не знаем пока, что такое два... Но зато насчёт четвёрки -- какой крутой вывод!"

Согласно аксиомам (или их следствиям - зависит от системы аксиом) евкл. геометрии, евкл. пространство - метрическое, и расстояние между двумя точками - это и есть то "кратчайшее расстояние";
любая непрерывная кривая, соединяющая две точки, если для нее вообще определена длина, длиннее отрезка с концами в этих точках. Так что достаточно постулировать, что у окружности существует длина. Только не надо спрашивать, что такое "непрерывная кривая", если настаиваете, забейте на первый абзац и читайте со второго.

А вообще, любая замк. выпуклая ломаная, вписанная в окружность, короче любой замк. выпуклой ломаной, целиком содержащей окружность внутри - доказывается элементарно.
После чего можно и определить длину окружности известным образом, что и делается классе в 8-м, в отдельных местах без жульничества.

Точно так же и площадь круга считается - хоть из принципа Кавальери (да, это эмпирическое интегрирование, если хотите, но и при "строгом интегрировании" постулируется, что площадь - это интеграл, так что, в Вашем понимании, любое вычисление площади криволинейной фигуры - жульничество); хоть как предел вписанных многоугольников (aka метод исчерпывания).

Не хотите считать площади - сравнивайте длину дуги и касательной.


Да, к слову 2 = 1+1, по определению. А если начать ловить блох - можно до оснований математики дойти, чтобы пару чисел перемножить.

[ewert]

alex1910 в сообщении #472088 писал(а):

любая непрерывная кривая, соединяющая две точки, если для нее вообще определена длина, длиннее отрезка с концами в этих точках.

Вовсе нет. До тех пор, пока длина не определена -- Ваше утверждение не истинно и не ложно, а попросту бессмысленно. Определять длину как нечто, всего лишь большее чего-то там -- вполне нелепо.

[Munin]

ewert в сообщении #472079 писал(а):

связать эту площадь с длиной, которой и вообще-то пока что нет (как и самой площади, кстати)

Вы переучились. Длину и площадь вводят в средних классах школы. Достаточно строго. Без претензий определить их в полном объёме, как эти понятия используются в математике, но достаточно, чтобы можно было говорить о длинах ломаных и дуг окружности, и площадях многоугольников и секторов, а также фигур, полученных из конечного числа многоугольников и секторов. Даже объёмы вводятся, достаточно полно, чтобы говорить об объёме конуса.

[alex1910]

alex1910 в сообщении #472077 писал(а):

Разумеется, перед этим придется доказать, что
(exp(x)-1)/x --> 0 при (x --> 0).

Перестаю с Вами, ewert, спорить - уже дошел до кондиции, нолики с единичками путаю.

[ewert]

Munin в сообщении #472101 писал(а):

Вы переучились. Длину и площадь вводят в средних классах школы. Достаточно строго.

Недостаточно.

Т.е. на интуитивном уровне -- вполне достаточно. Но я ведь против этого и не возражал. А вот если задаться вопросом, что из чего, собственно, в точности следует и откуда вообще ноги растут -- то совершенно недостаточно.

Тут попыхтеть по любому придётся; и размахиваниями руками не обойдёшься. В крайнем случае удастся сочинить какую-нибудь экстравагантную аксиоматику, но какой будет толк с её лаконичности, если она не будет подкреплена соображениями непосредственного здравого смысла.

Фактически естественные логические пируэты тут совсем другие. Исторически сложилось так (и совершенно правильно сложилось, и это типично), что ученикам говорят: "Ну вот, детишки; вы все прекрасно понимаете, что такое длина ваще; а тут вам вот и синус. А что это всё в точности означает -- вам потом, потом расскажуть, когда дело дойдёт до интегрального исчисления и т.д.".

И правда, потом действительно рассказывают (ну насколько у кого руки доходят, разумеется; но это уж другой вопрос). Притом вполне честно, ибо нормальная теория длины ни на какие синусы -- ни разу не опирается.

Так вот и надо чётко осознавать -- где какая логическая последовательность, что из чего следует и где какие умолчания. Прятать же по-страусиному голову в песок -- не вполне спортивно.

-- Сб июл 30, 2011 01:33:59 --

alex1910 в сообщении #472104 писал(а):

уже дошел до кондиции, нолики с единичками путаю.

Да это-то как раз не важно, это вполне естественно. Я вот хоть и обратил внимание, но решил, что нет смысла обращать.

[NaOH]

мат-ламер в сообщении #472070 писал(а):

NaOH в сообщении #471799 писал(а):

Хотелось бы затронуть весь курс средней школы, только, чтобы было показано как выводят каждую формулу и доказывают каждый факт. Если написано, что $ cos(x)' = -sin(x) $, то приводят доказательство, или, например, если написано, что

$$\[ {\text{z}}^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} = ({\text{z}} - {\text{y}})\left[ {{\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} {\text{y}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{3}}} {\text{y}}^{\text{2}} + \cdot \cdot \cdot + {\text{zy}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} + {\text{y}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} } \right]. \]$$

то не просто пишут, что это частный случай Бинома Ньютона, а показано, как эту формулу выводить.

А самому мозгами пораскинуть (конечно, если собираетесь поступать в ВУЗ "на математику")? Если собираетесь поступать на мат. факультеты, то такие вещи надо уметь самому доказывать. В частности формулу для производной от косинуса легко вывести из формулы производной от синуса.

Я с вами полностью согласен. Эти примеры - первое, что пришло мне в голову, и ими я хотел показать, что учебник должен быть по максимуму подробным. Пример с биномом не самый удачный конечно). Просто посоветуйте учебник по математике, где по-возможности всё подробно раписано и главное доступным( на ваш взгляд ) языком.
Краткий список тем: Полиномы, пределы, дифференцирование, интегрирование, графики(построение, преобразование), логарифмы, тригонометрия, ряды и прогрессии.
В интернете конено полно информации, но хотелось бы всё-таки приобрести книгу, чтобы постоянно не лезть в интернет и не тратить много времени на поиски нужного.

[Kallikanzarid]

alex1910 в сообщении #472088 писал(а):

Согласно аксиомам (или их следствиям - зависит от системы аксиом) евкл. геометрии, евкл. пространство - метрическое, и расстояние между двумя точками - это и есть то "кратчайшее расстояние";

Без римановости не пойдет, хотите с римановостью - уже другое дело, можно будет без проблем определить длины кусочно-гладких (и спрямляемых) кривых.

-- Сб июл 30, 2011 16:50:07 --

Munin в сообщении #472101 писал(а):

Длину и площадь вводят в средних классах школы.

И какова длина графика функции $\chi_\mathbb{Q}$? А графика канторовой лестницы? Средние классы, блин <_<

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #472162 писал(а):

Без римановости не пойдет, хотите с римановостью - уже другое дело, можно будет без проблем определить длины кусочно-гладких (и спрямляемых) кривых.

Что за "римановость"-то такая?...

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #472169 писал(а):

Что за "римановость"-то такая?...

Мы должны рассматривать евклидово пространство как риманово многообразие, чтобы ввести понятие геодезической.

-- Сб июл 30, 2011 17:35:08 --

Хотя вроде бы для спрямляемых кривых можно определить длину и без этого.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #472174 писал(а):

Хотя вроде бы для спрямляемых кривых можно определить длину и без этого.

Вот именно. Только её надо именно определять. А в школе до этого не доходят.

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #472162 писал(а):

И какова длина графика функции ? А графика канторовой лестницы? Средние классы, блин <_<

Вы пробовали читать всё, а не кусочки? Длину вводят для некоторых объектов. Для канторовой лестницы не вводят. Но для дуги окружности - вводят, и успешно.

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #472162 писал(а):

Без римановости не пойдет

без "римановости", но с финслеровостью -- легко пойдет, как сангрия в сиесту:)

[мат-ламер]

Недавно прочёл вспоминание одного товарища, который учился в математической школе (достаточно давно). Профессор на уроке геометрии определил длину окружности как предел вписанных периметров многоугольников (количество сторон удваивается на каждом шаге) при условии, что длина максимальной стороны многоугольника стремится к нулю. Но тут нашёлся один умник, заявивший, что всё это ерунда. Возник спор и умник привёл изумлённому профессору контрпример. Хорошо, для длины окружности определение несложно и исправить. Но если надо правильно определить площадь поверхности для произвольной (в каком смысле не уточняю, но достаточно гладкой) области, то тут надо быть аккуратным.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #472290 писал(а):

Профессор на уроке геометрии определил длину окружности как предел вписанных периметров многоугольников (количество сторон удваивается на каждом шаге) при условии, что длина максимальной стороны многоугольника стремится к нулю. Но тут нашёлся один умник, заявивший, что всё это ерунда. Возник спор и умник привёл изумлённому профессору контрпример.

Интересно, какой может быть контрпример к определению.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #472347 писал(а):

мат-ламер в сообщении #472290 писал(а):

Профессор на уроке геометрии определил длину окружности как предел вписанных периметров многоугольников (количество сторон удваивается на каждом шаге) при условии, что длина максимальной стороны многоугольника стремится к нулю. Но тут нашёлся один умник, заявивший, что всё это ерунда. Возник спор и умник привёл изумлённому профессору контрпример.

Интересно, какой может быть контрпример к определению.

Если не делать дополнительных предположений, то весь вписанный многоугольник может располагаться вблизи одной точки. Вот если бы предполагали равенство сторон вписаного многоугольника, тогда этот эффект невозможен.