Математическая логика (по Мендельсону)

[Виктор Викторов]

Cинтаксический подход позволяет «увидеть» равенство с точностью до эквивалентности. Для тождественности (identity) нужна нормальная модель. Но любая модель предполагает область интерпретации, а «Поскольку семантические понятия носят теоретико-множественный характер, а теория множеств, по причине парадоксов, представляется в известной степени шаткой основой для исследований в области математической логики, то многие логики считают более надежным синтаксический подход, состоящий в изучении формальных аксиоматических теорий с применением лишь довольно слабых арифметических методов.» Страниц 65 примечание.
Но Френкель рассматривает вариант введения отношения равенства между множествами с помощью функционального исчисления первого порядка с равенством. «Относительно того, какое место в нашей системе занимает отношение равенства, можно занять одну из следующих трех позиций. a) Отношение равенства считается принадлежащим к лежащей в основе логике. В нашем случае в качестве лежащей в основе теории может быть, очевидно, взято функциональное исчисление первого порядка с равенством.» Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 43. Но как это сделать? Ведь для тождественности нам не хватит синтаксического подхода. Причем во втором издании (Френкель к этому времени умер и равенством занимался Azriel Levy) этот кусок был расширен:
«One of the most fundamental notions of mathematics is the notion of equality. One can adopt any one of the following three attitudes towards equality.
a) The equality symbol is understood to denote identity and is thus regarded as belonging to the underlying logic. In our case the underlying discipline is taken to be the first-order predicate calculus with equality. The basic properties of equality, which from the point of view of the present attitude are logical truths, are as follows.
(i) Reflexivity: (For every $x$) $x = x$.
(ii) Symmetry: If $x = y$ then $y = x$.
(iii) Transitivity: If $x = y$ and $y = z$ then $x = z$.
(iv) Substitutivity: For every statement $\mathscr P(x)$, if $\mathscr P(x)$ holds and $x = x'$ then $\mathscr P(x')$ also holds.»
Abraham A. Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Levy "Foundations of set theory" Second revised edition. 1973. Страница 25.

[Xaositect]

Логика первого порядка с равенством описывает тождественность. Помимо моделей с тождественностью она еще описывает модели с "кластерами" равных элементов. Тут уже вопрос философский - если объекты ведут себя одинаково по отношению ко всем рассматриваемым предикатам - можно ли считать их различными?

[Виктор Викторов]

Уходя от философии, будем считать, что работаем с тождественностью. В случае необходимости будем переходить к нормальной модели. Учитывая это, вопрос о сравнении множеств: можно ли считать, что либо два множества неравны, либо мы говорим об одном и том же множестве? Как известно, обычное словоупотребление «два равных множества».

[Виктор Викторов]

Может ли формула $\exists x \mathscr A(x)$ быть общезначимой? Несомненно, да. Например, если общезначима формула $\forall x\mathscr A(x)$.

А если формула $\forall x\mathscr A(x)$ не является общезначимой? Тогда существует интерпретация, в которой существует последовательность, на которой формула $\mathscr A(x)$ ложна. Тогда можно рассмотреть другую интерпретацию с областью только из тех элементов, на которых $\mathscr A(x)$ ложна. Но тогда в этой второй интерпретации ложна и $\exists x \mathscr A(x)$. И следовательно формула $\exists x \mathscr A(x)$ не будет общезначимой.

Правильны ли мои рассуждения, что формула $\exists x \mathscr A(x)$ общезначима только при условии общезначимости формулы $\forall x\mathscr A(x)$?

[Виктор Викторов]

Мысль о том, что формула $\exists x \mathscr A(x)$ общезначима только при условии общезначимости формулы $\forall x\mathscr A(x)$ смотрится почти очевидной. Но в самом конце страницы 93 в предложении 2.29 находим: «Предположим, что $\vdash \exists_1 u \mathscr A(u, y_1, \cdots, y_n)$.» Но вряли имеется в виду, что $\mathscr A(u, y_1, \cdots, y_n)$ общезначима.

[epros]

Виктор Викторов в сообщении #473003 писал(а):

Мысль о том, что формула $\exists x \mathscr A(x)$ общезначима только при условии общезначимости формулы $\forall x\mathscr A(x)$ смотрится почти очевидной.

Это так удивительно ... Впрочем, в общезначимости я мало что понимаю.

[Виктор Викторов]

Разобрался на англоязычном сайте.

(Оффтоп)

Тупость (моя) – сестра таланта!

Виктор Викторов в сообщении #473003 писал(а):

Мысль о том, что формула $\exists x \mathscr A(x)$ общезначима только при условии общезначимости формулы $\forall x\mathscr A(x)$ смотрится почти очевидной. Но в самом конце страницы 93 в предложении 2.29 находим: «Предположим, что $\vdash \exists_1 u \mathscr A(u, y_1, \cdots, y_n)$.» Но вряли имеется в виду, что $\mathscr A(u, y_1, \cdots, y_n)$ общезначима.

Почти очевидно, но ошибочно. $\exists u (u=y)$ -- общезначима. Ведь по любой области элемент равен самому себе. А $\forall u (u=y)$ не является общезначимой.