Cинтаксический подход позволяет «увидеть» равенство с точностью до эквивалентности. Для тождественности (identity) нужна нормальная модель. Но любая модель предполагает область интерпретации, а «Поскольку семантические понятия носят теоретико-множественный характер, а теория множеств, по причине парадоксов, представляется в известной степени шаткой основой для исследований в области математической логики, то многие логики считают более надежным синтаксический подход, состоящий в изучении формальных аксиоматических теорий с применением лишь довольно слабых арифметических методов.» Страниц 65 примечание.
Но Френкель рассматривает вариант введения отношения равенства между множествами с помощью функционального исчисления первого порядка с равенством. «Относительно того, какое место в нашей системе занимает отношение
равенства, можно занять одну из следующих трех позиций. a) Отношение равенства считается принадлежащим
к лежащей в основе логике. В нашем случае в качестве лежащей в основе теории может быть, очевидно, взято
функциональное исчисление первого порядка с равенством.» Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 43. Но как это сделать? Ведь для тождественности нам не хватит синтаксического подхода. Причем во втором издании (Френкель к этому времени умер и равенством занимался Azriel Levy) этот кусок был расширен:
«One of the most fundamental notions of mathematics is the notion of equality. One can adopt any one of the following three attitudes towards equality.
a) The equality symbol is understood to denote identity and is thus regarded as
belonging to the underlying logic. In our case the underlying discipline is taken to be the
first-order predicate calculus with equality. The basic properties of equality, which from the point of view of the present attitude are logical truths, are as follows.
(i) Reflexivity: (For every
)
.
(ii) Symmetry: If
then
.
(iii) Transitivity: If
and
then
.
(iv) Substitutivity: For every statement
, if
holds and
then
also holds.»
Abraham A. Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Levy "Foundations of set theory" Second revised edition. 1973. Страница 25.