Итак, «подвал» страницы 90.
«Часто встречаются теории первого порядка, в которых равенство
может быть определено. Это значит, что в такой теории К имеется формула
со свободными переменными и , для которой, если
обозначить через
, формулы (6), (7) выводимы в К.»
— это формула вида где и только имеющиеся в формуле предметные переменные или и выделенные переменные с которыми мы собрались работать и в формуле могут быть и другие переменные? Дальше идет странный для меня оборот речи «если обозначить через ». Если посмотреть в определение на странице 86, то там «Будем для сокращения писать вместо », но тогда и есть ? Но это приводит к проблеме в следующем куске текста:«При этом только следует условиться считать, что если
и
— термы, не свободные соответственно для
и
в
, то
служит сокращенным обозначением не для
, а для некоторой формулы
, которая получена из
подходящим переименованием связанных переменных (см. следствие 2.22) таким образом, чтобы
и
оказались свободными соответственно для
и
в
.»
Если речь идет о том, что формула является формулой , то как и могут быть не свободны соответственно для и в ? «Для таких теорий К могут быть доказаны предложения, аналогичные предложениям 2.25 и 2.26, в предположении, что (7) является теоремой в К для соответствующих типов формул
. (Предоставляется читателю в качестве упражнения.)
В теориях первого порядка с равенством для выражений вида «существует один и только один предмет
такой, что...» можно использовать следующее
Определение.
означает
.»
Благодаря предыдущему замечанию Xaositect,
вопрос с последним определением полностью прояснился. Спасибо!