Обсуждение категорий.

[dydx]

mclaudt
Парадоксы - это отдельная тема. Я имел в виду непротиворечивую часть бестипового $\lambda$-исчисления.

[mclaudt]

dydx в сообщении #469735 писал(а):

Я имел в виду непротиворечивую часть бестипового $\lambda$-исчисления.

А эта непротиворечивая часть не требует разве аксиоматики теории множеств? Или она вводит свои базовые понятия?

[dydx]

mclaudt
Причем тут теория множеств вообще? Я Вас не понял.

[mclaudt]

dydx в сообщении #469742 писал(а):

Причем тут теория множеств вообще?

Тот непротиворечивый чёрчевский кусок, нужна ли ему аксиоматика и базовые понятия теории множеств? Или это самостоятельная конструкция со своими аксиомами и базовыми понятиями?

Если второе (а именно оно и есть, судя по всему), то правильно ли упоминать термин "морфизм" (понятие теории категорий, использующей аксиоматику теории множеств) для построения модели этого бестипового лямбда-исчисления? Я знаю, что так делают, мне просто казалось, что все теории надобно для начала привести под одну аксиоматику, прежде чем понятия одной применять для моделирования другой.

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #469106 писал(а):

Кстати, by extension, функторы важнее категорий, а естественные преобразования важнее функторов

Кстати, часто можно услышать про "естественные отображения", "естественные изоморфизмы". Например, слышал такое: соответствие между множеством $\mathcal P(X)$ всех подмножеств множества $X$ и множеством $2^X$ отображений двухэлементного множества в $X$ естественное. Ещё можно услышать, что вект. пр-во естественно изоморфно своему двойному сопряжённому, а одинарному сопряжённому -- нет. Но ведь естественные преобразования определены для функторов! Я ещё не до конца осознал, что такое естественные преобразования и с чем их едят. Вот со вторым примёром я более-менее разобрался по учебникам: на самом деле там имеется в виду естественное преобразование между функторами $\mathrm{id}$ и $**$. А вот с первым -- не понятно. И вообще непонятно, почему говорят о естественнном преобразовании объектов, когда надо говорить о функторах.

И ещё. Кострикин пишет, что естественные преобразования интуитивно -- это преобразования, не зависящие от нашего произвола. Напр. для $V\simeq V^*$ нужен произвол: выбор базиса. Но ведь и для любого отображения нужен произвол: тот же изоморфизм $V\simeq V^{**}$ не с неба свалился, мы его сами придумали (не знаю, как точнее выразиться).

-- 21 июл 2011, 19:54 --

Ещё вспомнил пример: естественное отображение группы $G$ на факторгруппу $G/H$ (элемент $\mapsto$ его класс). Почему оно естественное и как это описать категорно (через функторы) ?

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #470314 писал(а):

$\mathcal P(X)$ всех подмножеств множества $X$ и множеством $2^X$ отображений двухэлементного множества в $X$ естественное.

Наоборот: отображений $X$ в $2 = \{0, 1\}$. И таки да, обычно подразумевается функториальность по всем объектам, обозначенным одинаковыми символами с разных сторон стрелки.

С $V$ и $V^*$, я сам некоторое время назад задавался этим вопросом: http://math.stackexchange.com/questions ... ot-natural

caxap в сообщении #470314 писал(а):

Ещё вспомнил пример: естественное отображение группы $G$ на факторгруппу $G/H$ (элемент $\mapsto$ его класс).

Вроде бы $G \times H \to G/H$, функториальность по обоим объектам, естественность проверяется, как обычно, прогонкой. Не, бред какой-то <_<

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #470352 писал(а):

И таки да, обычно подразумевается функториальность по всем объектам, обозначенным одинаковыми символами с разных сторон стрелки.

А поподробней можно? И что такое "функториальность по всем объектам"?

А вот, скажем, множество $X^3$ (напр. $(1,2,3)$) и $X\times X^2$ (напр. $(1,(2,3))$). Они естественно изоморфны? И если да, то между какими функторами этот изоморфизм?

----------------

Судя по названию темы и разделу, в котором она лежит, тут можно задавать любые вопросы про категории. Я, наверное, тут всех доканаю. Извините заранее.

Простой и глупый вопрос: зачем нужны мономорфизмы (эпи-, биморфизмы)? В смысле, зачем их в теорию категорий ввели (причём, отобрав эти термины у алгебраистов, которые ими называли соотв. инъективные, сюръективные и биективные гомоморфизмы) и где они себя ярко проявляют? До недавнего времени такого вопроса у меня не было: я наивно думал, что эти простые с категорной точки зрения понятия в конкретных категориях в точности соответствуют классическому алгебраическому смыслу. Однако, нет: например, вложение колец $\mathbb Z\to\mathbb Q$ -- несюръективный эпиморфизм. Более того, как я понял, случай, когда мономорфизмы = инъект. морфизм (аналогично с эпи-, би-) довольно исключительны (множества, вект. пространства -- я больше и не знаю) и в "большинстве" категорий первых больше. Поэтому я не понимаю смысл введения моно- (эпи-, би-). Ведь можно было ввести их только в конкретных категориях как соотв. инъективные (...) морфизмы. Тогда получим, в частности, полное согласование с использованием этих терминов в классических алгебраических категориях (группы, кольца...). Я не могу представить, зачем мономорфизмы (эпи-, би-) в категорном смысле могут вообще понадобиться в алгебре.

----------------

Kallikanzarid в сообщении #469598 писал(а):

Из нестандартных могу посоветовать The Joy of Cats.

Начал читать. Нравится. Особенно подход с множествами, классами, конгломератами.

Это ж как хорошо можно сделать: можно ввести "множества 0-го порядка" (= обычные множества), "множества 1-го порядка" (= классы), "множества 2-го порядка" (= конгломераты) и т. д. Когда создаются слишком большие множества, что приводит к парадоксу, мы рассматриваем это множество как множество следующего порядка. Так, в частности, можно строить теорию категорию и спокойно определять "категорию всех категорий" и т. п. Вопрос: есть ли какая-нибудь попытка такой аксиоматизации теории множеств? И если да, то почему о ней нигде не слышно?

(Оффтоп)

Лично для меня удивителен такой парадокс. Наиболее популярная аксиоматизация теории множеств -- ZF(C). Но в обычных учебниках математики часто можно услышать слово "класс", когда автор говорит об очень большой совокупности. Ещё, довольно интуитивно признаваема идея существования универсального множества; не знаю, как в ZFC, но в NBG, по-моему, это просто класс всех множеств. И т.д. -- с наивной точки зрения NBG лучше. Но почему-то популярна ZFC. Вот такой парадокс. Чем его объяснить?

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #470610 писал(а):

Вопрос: есть ли какая-нибудь попытка такой аксиоматизации теории множеств? И если да, то почему о ней нигде не слышно?

Были "Новые начала" Рассела, но они не прижились - ZF оказалась проще. Такая иерархия никому не была нужна, пока не оказалось, что многие важные категории в ZF не влезают.

-- Пт июл 22, 2011 23:24:00 --

caxap в сообщении #470610 писал(а):

где они себя ярко проявляют?

http://en.wikipedia.org/wiki/Epimorphism#Terminology - правда, источники не цитируются :)

-- Пт июл 22, 2011 23:27:12 --

caxap в сообщении #470610 писал(а):

И т.д. -- с наивной точки зрения NBG лучше. Но почему-то популярна ZFC. Вот такой парадокс. Чем его объяснить?

В обычной математике NBG не нужна, а ZF исторически появилась раньше. Не особенно переживайте: обеим теориям еще нет и 90 лет :)

-- Пт июл 22, 2011 23:37:03 --

caxap в сообщении #470610 писал(а):

А поподробней можно? И что такое "функториальность по всем объектам"?

Пример из статьи по лемме Йонеды (http://www.maths.gla.ac.uk/~tl/categories/yoneda.ps):
Для любой локально малой категории $\mathcal{C}$ имеется биекция

$$[\mathcal{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}](H_A, X) \cong X,$$

естественная по $A \in \mathcal{C}$ и $X \in [\mathcal{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$. Это значит, что первый (би)функтор сопоставляет $\langle A, X \rangle$ множество $[\mathcal{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}](H_A, X)$, а второй сопоставляет $\langle A, X \rangle$ множество $X$. Действие этих функторов на морфизмы - обычное.

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #470627 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Epimorphism#Terminology - правда, источники не цитируются :)

Не нашёл ответа на свой вопрос. У меня английский хромает, но вроде бы там написано то, что я уже написал: категористы украли у алгебраистов термины "мономорфизм" и "эпиморфизм" чтобы обобщить их классические смыслы (ин. и сюр. гомоморфизм) на произвольные категории. Но вышло плохо: обычно в категориях моно- (эпиморфизмов) в новом смысле "больше", чем в старом. Ну так непонятно: зачем было их вообще изобретать? Ну сказали бы "мономорфизм -- это морфизм $\varphi$ в конкретной категории $(C,\square)$ такой, что $\square \varphi$ инъективен" (аналогично с эпи). Есть ещё регулярные и экстремальные моно и эпи: они ещё приближены к классическому смыслу (например, с ними уже можно получить согласование в категории топологических пространств). Но неужели это вопрос жизни и смерти: расширить понятия инъективного и сюръективного гомоморфизма на все категории, если видно, что получается плохо, даже если сильно усложнить определение?! Да и кому эти "инъективные гомоморфизмы" нужны в произвольных неконкретных категориях? В крайнем случае, если и понадобятся, можно так и сказать: пусть $m$ -- морфизм, сокращаемый слева.

Это же вроде ещё бурбаки учили: наиболее популярные термины должны иметь самое короткое название. Я лично не помню, чтобы в алгебре понадобился "гомоморфизм, сокращаемый слева (справа)". Инъективные и сюр. гомоморфизмы требуются постоянно, напр. первые можно рассматривать как вложения.

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #470636 писал(а):

Не нашёл ответа на свой вопрос.

Его и нет :) Термин прижился, но оказался плохим - вот и вся история.

Поправка: я неправильно процитировал статью, там должно быть справа не $X$, а $X(A)$.

[caxap]

Ясно. Ещё два вопроса.

Вопрос 1. Я встречал два определения сбалансированных категорий:
1) Категория, в которой каждый биморфизм (= моно+эпи) является изоморфизмом.
2) Конкретная категория, в которой каждый биективный морфизм является изоморфизмом.

В конкретных категориях эти определения совпадают? То есть верно ли, что в конкретных категориях биморфизмы являются в точности биективными морфизмами? Я знаю, что биект. морфизмы являются биморфизмами, но наоборот -- не знаю.

Вопрсо 2. В Lang "Algebra" (2002) мономорфизмы определяются только для абелевых категорий как морфизм $m$, делающий диаграмму $0\to M\xrightarrow{m} N$ точной. Двойственно определяется эпиморфизм.

В абелевых категориях это определение совпадает с обычным (моно -- сокращаемый слева, эпи -- справа)?

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #470708 писал(а):

Вопрос 1.

Не знаю

caxap в сообщении #470708 писал(а):

Вопрсо 2.

Не знаю, но ответ, скорее всего, будет использовать равенство $\operatorname{eq}(f, g) = \ker(f - g)$ и другие свойства абелевых категорий (я пытался доказать, пользуясь лишь преаддитивностью, но не получилось, и я это дело забросил )

[bnovikov]

caxap в сообщении #470708 писал(а):

То есть верно ли, что в конкретных категориях биморфизмы являются в точности биективными морфизмами?

Нет, неверно. Морфизм $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ -- биморфизм.

[caxap]

Спасибо.

На второй вопрос я, кажется, нашёл ответ. Есть теорема Фрейда--Митчелла: каждая малая* абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей. А для модулей ленговские определения в точности соответствуют категорным.

__________
* Насколько я понимаю, это условие вызвано лишь ограничением теории множеств. Хотя может оно и существенно...

[Kallikanzarid]

Цитата:

2) Вопрос про подобъкты (факторобъекты аналогично). Маклейн пишет, что для групп, колец и некоторых других категорий подобъектам соответствуют подгруппы, подкольца и т.п. в обычном смысле -- но не в категории Top. А там что? Есть ли другие исключения, кроме Top (для факторобъектов в том числе)?

Только что дошло: в категории $\mathbf{Top}$ мономорфизмами будут в точности непрерывные инъекции, а подобъектами, соответственно, классы факторизующися друг через друга инъекций. Однако это накладыват недостаточно сильные условия на топологию подобъектов! Действительно, в этом случае подобъектами будут, если я не ошибаюсь, подмножества со всевозможными топологиями, более сильными, чем соответствующие топологии подпространств! Это нам все портит.