Обсуждение категорий.

[Kallikanzarid]

Обсуждение категорий, отделённое отсюда. /AKM

caxap в сообщении #469074 писал(а):

У меня очередное потрясение было сегодня: я кажись осознал, почему морфизмы важнее объектов (в смысле теории категорий).

Потому что категорию можно полностью описать в терминах морфизмов, или глубже? :)

[Xenia1996]

Kallikanzarid в сообщении #469076 писал(а):

caxap в сообщении #469074 писал(а):

У меня очередное потрясение было сегодня: я кажись осознал, почему морфизмы важнее объектов (в смысле теории категорий).

Потому что категорию можно полностью описать в терминах морфизмов, или глубже? :)

Вы же не только со мной делитесь. Здесь присутствуют люди, познания которых на порядки превышают мои.
Так что, губже, пожалуйста.

Пардон! Думала, что отвечаю сахару

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #469076 писал(а):

Потому что категорию можно полностью описать в терминах морфизмов, или глубже? :)

Ну типа да. Просто вчера зачем-то (уже не помню зачем) обратился к Хелемскому "Лекции по функану". И опять встретил: "морфизмы важнее объектов". Потом вечером, перед сном стал размышлять над этим и... постепенно приходило понимание и осознание того факта. Я не стал писать в прошлом сообщении все мои вчерашние мысли, это очень долго и пространно и в двух словах не уложишь.

(Выдержки мыслей)

Когда мы решаем какую-то задачу, нас интересуют фигурирующие в ней объекты. Но мы всегда оговариваем, насколько мы к этим объектам будем присматриваться (то есть насколько объекты должны различаться, чтобы мы их считали различными). Основой для этого всего может служить категория из этих объектов. Так вот, морфизмы этой категории как раз и определяют степень присматривания*. Морфизмы категории определяют разбиение его объектов на классы изоморфных, объекты которых мы (в данной задаче) не различаем. В категории важны не сами объекты, а эти классы "существенно различных" объектов.** Но эти классы однозначно определяются своими морфизмами! То есть именно морфизмы определяют категорию, а объекты -- это так, бантики.

Пример. Пусть мы работаем в теории полей. Для нас разные модели поля вещественных чисел (напр. точки на прямой или беск. последовательности нулей и единиц) одинаковы. Как же нам абстрагироваться от этих мелких деталей. Мы хотим иметь какое-то "абстрактное поле вещественных чисел", а всё то -- просто его модели. Так вот, это абстрактное поле однозначно определяется своими связями (тут: гомоморфизмы полей) с другими полями. То есть в некотором смысле, важней не то, что $\mathbb R$ можно понимать как точки на прямой или последовательности 0 и 1, а то, как это поле связано с другими полями. Морфизмы объекта важнее самого объекта.

Кстати, понятие категории можно вообще определить без объектов (в какой-то книжке я это видел). Так менее наглядно, но более фундаментально.

_____________
* Ну то бишь, если если что-то выглядит как утка, плавает как утка и крякает как утка, то это утка.
** Именно эти классы определяют истинное "содержание" категории. Все категории с таким содержанием (в том числе скелет категории: категории, получающейся, если мы оставим по одному объекту из каждого класса изоморфности) эквиваленты.

(Что-то мне подсказывает...)

...что рано или поздно основания математики с теории множеств перекачуют на теорию категорий. Даже Манин в "Математике как метафора" писал, что, возможно, следует не теорию категорий строить на теории множеств*, а наоборот.

_____________
* Получается это, насколько я понимаю, плохо: при наивном изложении постоянно натыкаются на а-ля "парадокс Рассела". Приходится придумывать какие-то "малые категории" и т. п.

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #469085 писал(а):

Кстати, понятие категории можно вообще определить без объектов (в какой-то книжке я это видел). Так менее наглядно, но более фундаментально.

Ну да, Маклейн делает это сразу же.

caxap в сообщении #469085 писал(а):

...что рано или поздно основания математики с теории множеств перекачуют на теорию категорий.

Это было бы интересно, но при этом неизбежно встанет проблема, из чего мы будем собирать модели. С одной стороны, теория множеств порой выбешивает меня тем, что в ней я могу взять два множества из совершенно разных теорий, никак не связанных друг с другом, и рассмотреть их пересечение, которое может оказаться непустым. Но с другой стороны, теория множеств как никакая другая пригодна для построения моделей теорий, и чтобы придумать ей замену, нужно придумать другую аксиоматическую теорию, достаточную для того, чтобы развить теорию топосов. Я слышал об ETCC и ETCS, но не знакомился с ними.

ИМХО, самое интересное в теории категорий - то, что ее аксиомы получаются лишь небольшим (но не незначительным!) ослаблением аксиом группоида: по сути, "моноид-оид" - это и есть категория. И этого ослабления оказалось достаточно, чтобы описать все интересующие нас математические теории.

[Someone]

(Оффтоп)

caxap в сообщении #469085 писал(а):

...что рано или поздно основания математики с теории множеств перекачуют на теорию категорий.

Может быть, перекочуют. А может быть и нет.

caxap в сообщении #469085 писал(а):

Даже Манин в "Математике как метафора" писал, что, возможно, следует не теорию категорий строить на теории множеств*, а наоборот.

Не замечал, чтобы теорию категорий строили на теории множеств. Я её всегда воспринимал как вполне самостоятельную.

caxap в сообщении #469085 писал(а):

* Получается это, насколько я понимаю, плохо: при наивном изложении постоянно натыкаются на а-ля "парадокс Рассела". Приходится придумывать какие-то "малые категории" и т. п.

Я где-то встречал модели теории категорий, построенные в теории множеств с дополнительной аксиомой существования очень больших кардиналов (типа сильно недостижимых; точнее не помню).

[Kallikanzarid]

Someone в сообщении #469095 писал(а):

Не замечал, чтобы теорию категорий строили на теории множеств. Я её всегда воспринимал как вполне самостоятельную.

Увы, объекты и морфизмы должны образовывать классы. Убрав это и рассматривая теорию категорий как теорию первого порядка, вы не сможете ее нигде применять, иначе как с помощью теоретико-множественных моделей.

Someone в сообщении #469095 писал(а):

Я где-то встречал модели теории категорий, построенные в теории множеств с дополнительной аксиомой существования очень больших кардиналов (типа сильно недостижимых; точнее не помню).

Это эквивалентная существованию недостижимых кардиналов аксиома универсума: для любого множества существует содержащий его универсум Гротендика.

[Kallikanzarid]

Xenia1996 в сообщении #469081 писал(а):

Вы же не только со мной делитесь. Здесь присутствуют люди, познания которых на порядки превышают мои.
Так что, губже, пожалуйста.

Объекты - фактически, просто ярлыки, которые показывают, какие морфизмы можно композировать друг с другом. Более того, сами они находятся в однозначном соответствии со своими тождественными морфизмами. Поэтому мы можем легко переформулировать определение категории, не упоминая объекты вообще - но тогда аксиомы будут сложнее, да и приложения по историческим причинам гораздо более заботятся именно об объектах.

Кстати, by extension, функторы важнее категорий, а естественные преобразования важнее функторов

[Gortaur]

(Оффтоп)

Запрос литературы по теории категорий здесь будет оффтопом?

[AKM]

(Оффтоп)

Gortaur,

мы (некоторые модераторы) что, такими педантами себя зарекомендовали?
Думаю, оффтопом будет, скорее, запрос "будет ли оффтопом такой-то запрос".

С литературой и здесь теория категорий (для чего используется?), и здесь Учебник по теории категорий скуповато.

[Gortaur]

AKM
Вы так со мной не шутите а вообще педант скорее я в этой ситуации. С литераторуй скуповато, но во втором разделе ссылки есть.

@all:
что посоветуете почитать по теории категорий? насколько я понимаю, основные красоты связаны с теорией множеств, групп, алегбраической топологией и др. Есть ли попытки описания теор. вера и стох. процессов, которые привели к интересным выводам?

[Kallikanzarid]

Gortaur в сообщении #469460 писал(а):

Запрос литературы по теории категорий здесь будет оффтопом?

Посмотрите лучше на math.SE, там много умных дяденек с литературой :) Из нестандартных могу посоветовать The Joy of Cats.

[dydx]

Например, бестиповое $\lambda$-исчисление -- категория, где только одни морфизмы. А исчислением этим можно всю математику заформализовать. Поэтому да, морфизмы важнее.

[Kallikanzarid]

dydx
Вы типа троллите? :)))))

[dydx]

Kallikanzarid
У Вас троллефобия, везде видите троллей? Или у Вас какое-то свое понимание этого термина? А может Вы меня троллите? Ведь это же самый распространенный прием троллей -- объявить собеседника троллем или намекнуть на это.

[mclaudt]

dydx в сообщении #469611 писал(а):

Например, бестиповое $\lambda$-исчисление -- категория, где только одни морфизмы. А исчислением этим можно всю математику заформализовать.

В какой известной вам формализации математики с помощью бестипового $\lambda$-исчисления удается полностью уйти от парадоксов, на которые наткнулся Чёрч? И как она сожительствует с аксиомой фундирования?