И таки да, обычно подразумевается функториальность по всем объектам, обозначенным одинаковыми символами с разных сторон стрелки.
А поподробней можно? И что такое "функториальность по всем объектам"?
А вот, скажем, множество
(напр.
) и
(напр.
). Они естественно изоморфны? И если да, то между какими функторами этот изоморфизм?
----------------
Судя по названию темы и разделу, в котором она лежит, тут можно задавать любые вопросы про категории. Я, наверное, тут всех доканаю. Извините заранее.Простой и глупый вопрос: зачем нужны мономорфизмы (эпи-, биморфизмы)? В смысле, зачем их в теорию категорий ввели (причём, отобрав эти термины у алгебраистов, которые ими называли соотв. инъективные, сюръективные и биективные гомоморфизмы) и где они себя ярко проявляют? До недавнего времени такого вопроса у меня не было: я наивно думал, что эти простые с категорной точки зрения понятия в конкретных категориях в точности соответствуют классическому алгебраическому смыслу. Однако, нет: например, вложение колец
-- несюръективный эпиморфизм. Более того, как я понял, случай, когда мономорфизмы = инъект. морфизм (аналогично с эпи-, би-) довольно исключительны (множества, вект. пространства -- я больше и не знаю) и в "большинстве" категорий первых больше. Поэтому я не понимаю смысл введения моно- (эпи-, би-). Ведь можно было ввести их
только в конкретных категориях как соотв. инъективные (...) морфизмы. Тогда получим, в частности, полное согласование с использованием этих терминов в классических алгебраических категориях (группы, кольца...). Я не могу представить, зачем мономорфизмы (эпи-, би-) в категорном смысле могут вообще понадобиться в алгебре.
----------------
Из нестандартных могу посоветовать The Joy of Cats.
Начал читать. Нравится. Особенно подход с множествами, классами, конгломератами.
Это ж как хорошо можно сделать: можно ввести "множества 0-го порядка" (= обычные множества), "множества 1-го порядка" (= классы), "множества 2-го порядка" (= конгломераты) и т. д. Когда создаются слишком большие множества, что приводит к парадоксу, мы рассматриваем это множество как множество следующего порядка. Так, в частности, можно строить теорию категорию и спокойно определять "категорию всех категорий" и т. п. Вопрос: есть ли какая-нибудь попытка такой аксиоматизации теории множеств? И если да, то почему о ней нигде не слышно?
(Оффтоп)
Лично для меня удивителен такой парадокс. Наиболее популярная аксиоматизация теории множеств -- ZF(C). Но в обычных учебниках математики часто можно услышать слово "класс", когда автор говорит об очень большой совокупности. Ещё, довольно интуитивно признаваема идея существования универсального множества; не знаю, как в ZFC, но в NBG, по-моему, это просто класс всех множеств. И т.д. -- с наивной точки зрения NBG лучше. Но почему-то популярна ZFC. Вот такой парадокс. Чем его объяснить?