Второй ребёнок в теории вероятностей.

[Лукомор]

Lukin в сообщении #469588 писал(а):

остается только $\{GR,GG\}$.

Таким образом, из каждых четырёх случаев: в двух случаях Ваш ассистент сообщает что выпал герб (ГГ и ГР), а два других случая (РР и ГР) - отсеивает....

[Lukin]

Первый вариант, ассистент бросил пару монет и если $RR$ перебрасывает, пока не будет или $GR$ или $RG$ или $GG$. Вероятность $GR$ или $RG$ равна $\frac{1}{2}$, а вероятность $P(GG)=\frac{1}{4}$ . После чего он сообщает, что одна из монет выпала гербом. Вероятность, заглянув за ширму обнаружить $GG$ будет меньше ($P=\frac{1}{3}$), чем вероятность обнаружить $GR$ или $RG$ ($P=\frac{2}{3}$).
Вариант второй. Ассистент бросает монету и если выпало $R$ перебрасывает. Если выпало $G$ оставляет и бросает вторую (или эту же) монету, после чего говорит, что на одной из монет $G$. В данном случае вероятности обнаружить $GG$ и $GR$ равны $\frac{1}{2}$.
В каком случае ассистент жульничает я не знаю, по моему обе процедуры приемлемы и не противоречат условиям, где о процедуре отсеивания ничего не сказано.

[Лукомор]

Lukin в сообщении #469600 писал(а):

В каком случае ассистент жульничает я не знаю, по моему обе процедуры приемлемы и не противоречат условиям, где о процедуре отсеивания ничего не сказано.

Обе процедуры приемлемы, но относятся к разным задачам.
Первый вариант отвечает на вопрос:"Какова вероятность выпадения двух гербов, при условии, что выпал хотя бы один герб (любой, но хотя бы один)???" . Действительно $P=\frac13$
Второй вариант отвечает на вопрос:"Какова вероятность выпадения двух гербов, при условии, что одна (конкретная: первая, вторая, золотая, помеченная крестиком и.т.п ) из двух монет выпала гербом???". Действительно: $P=\frac12$
Теперь осталось внимательно прочитать условие двух исходных задач (про детей), с которых началась данная ветка, и убедиться, что первой задаче соответствует второй из двух предложенных Вами вариантов.
И, соответственно, второй задаче соответствует первый из двух предложенных Вами вариантов..

[Lukin]

В целом я согласен с Вашим ответом и в дальнейшем спорить не намерен.


Выскажу напоследок небольшое замечание, не оспаривая уже данный ответ.
Вы предполагаете, что из вопроса можно извлечь информацию о процедуре отбора.
Вы предполагаете, что если задан вопрос: "Какова вероятность выпадения двух гербов, при условии, что выпал хотя бы один герб (любой, но хотя бы один)???", то непременно имела место процедура отбора, которую я назову для краткости рискованной: кидаем монету второй раз, даже если первый раз выпало $R$, если $RR$ то начинаем сначала.
Соответсвеннно, предполагается, что если задан вопрос: "Какова вероятность выпадения двух гербов, при условии, что одна (конкретная: первая, вторая, золотая, помеченная крестиком и.т.п ) из двух монет выпала гербом???", то непременно имела место процедура, которую я назову для краткости безопасной: кидаем монету, если $R$, то начинаем сначала, если $G$ кидаем второй раз и заканчиваем.
Можно кидать сразу две монеты, но этот вариант не соответствует вопросу о детях. Мы знаем, что одновременно, даже близнецы не рождаются.
Поэтому представим такую ситуацию.
Ассистент добивается либо первым, либо вторым способом любой комбинации, кроме $RR$ и уходит. Приходит второй ассистент и видит, либо два герба, либо, герб и решку.
Т.к. он не знает, какова была процедура отбора, какой вопрос он должен задать ?
Допустим была рискованная процедура, а он задает второй вопрос. Или процедура была безопасной, а он задал первый вопрос. Разве можно сказать, что он сжульничал ? Не думаю. Зато отвечающий попытается извлечь из вопроса информацию о процедуре, не предполагая, что сам вопрос может ей не соответствовать.

[gris]

А представьте, что монеты отличаются свойством выпадать гербом в 90% случаев. Тут уже все вероятности будут другими.
А вообще все эти процедурные тонкости можно трактовать по-разному и вероятностные пространства строить по разному, чему пример известная задача о шкатулочках, по которой так и не найдено удовлетворяющего хотя бы 67% участников дискуссии.
Я вот о Байесе последнее время часто думаю. Не о самой формуле, а о принципе.
Цитата "всё это можно изложить более просто" запала в голову.

[Mihajlo]

Набираюсь смелости поставить точку в этой дискуссии. Текст спорной задачи:
У Сидорова двое детей. Точно известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что у Сидорова оба мальчики?
Упоминаемый в самом первом посте автор даёт 1/3. Этого результата придерживаются почти все участники форума в т.ч. и --mS--, с чем я решительно не согласен. Вот мой вариант решения. Всего два допустимых случая:
Случай 1. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является первым у Сидорова. Тогда вторым ребёнком может быть М или Д.
Случай 2. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является вторым у Сидорова. Тогда первым ребёнком может быть М или Д.
Никакой иной третий случай, удовлетворяющий условию задачи, не существует. Решение аналогично решению задачи о монетах:
Монету подбрасывали два раза. В одном из бросков выпал герб. Какова вероятность, что выпали оба герба?
Решение этой задачи я уже приводил. Результат этой задачи и о детях Сидорова 1/2.

[Лукомор]

gris в сообщении #469691 писал(а):

А представьте, что монеты отличаются свойством выпадать гербом в 90% случаев. Тут уже все вероятности будут другими.

И тогда вся интрига пропадёт!
Если аккуратно выписать формулы в общем виде, обозначив, например, $P_1$ вероятность выпадения гербом одной монеты, $P_2$ вероятность выпадения гербом другой монеты, причём в наиболее общем случае $P_1\neq P_2$, то сразу ошибки Mihajlo вылезут наружу...

-- Ср июл 20, 2011 08:09:35 --

(Оффтоп)

gris в сообщении #469691 писал(а):

чему пример известная задача о шкатулочках

Я что-то пропустил?!
Ссылочкой не порадуете?..

-- Ср июл 20, 2011 08:11:34 --

(Оффтоп)

gris в сообщении #469691 писал(а):

Цитата "всё это можно изложить более просто" запала в голову.

Откуда цитата?

-- Ср июл 20, 2011 08:12:22 --

(Оффтоп)

gris в сообщении #469691 писал(а):

Я вот о Байесе последнее время часто думаю. Не о самой формуле, а о принципе.

"Хотите поговорить об этом?!"

[Александрович]

Mihajlo в сообщении #469708 писал(а):

Монету подбрасывали два раза. В одном из бросков выпал герб. Какова вероятность, что выпали оба герба?
Решение этой задачи я уже приводил. Результат этой задачи и о детях Сидорова 1/2.

Подбросил 1000 раз по два раза. В одном из бросков выпал герб в 744 случаях. Из них два герба в 243 случаях. Искомая вероятность - 0,326613....

[Лукомор]

Lukin в сообщении #469683 писал(а):

Приходит второй ассистент и видит, либо два герба, либо, герб и решку.
Т.к. он не знает, какова была процедура отбора, какой вопрос он должен задать ?

Он должен прежде всего задать вопрос:"А для чего всё это нужно?"
Ведь ясно, что чем больше мы будем вмешиваться в ход эксперимента, тем больше будет ошибка полученного в ходе эксперимента значения измеряемой величины, в данном случае - частоты наступления некоторого события в серии опытов.
1. Вы сами-то попробуйте посчитать вероятность при соблюдении всех сформулированных вами условий...
Два ассистента, два способа, ну и.т.д.
2. А сначала сформулируйте:"Вероятность какого события Вы получите по Вашему методу?!"
Вот только не говорите, что это "вероятность выпадения двух гербов, при условии, что выпал хотя бы один герб".
Это не есть правда.

-- Ср июл 20, 2011 12:47:09 --

Александрович в сообщении #469837 писал(а):

Подбросил 1000 раз по два раза. В одном из бросков выпал герб в 744 случаях. Из них два герба в 243 случаях. Искомая вероятность - 0,326613....

Выглядит вполне правдоподобно...
Единственное замечание: жаль что нет данных о том, сколько было вариантов ГР, и сколько было РГ.
Или вы их подбрасывали одновременно - парами?!

-- Ср июл 20, 2011 13:02:59 --

Mihajlo в сообщении #469708 писал(а):

Случай 1. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является первым у Сидорова. Тогда вторым ребёнком может быть М или Д.
Случай 2. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является вторым у Сидорова. Тогда первым ребёнком может быть М или Д.
Никакой иной третий случай, удовлетворяющий условию задачи, не существует.

Существует и третий случай и четвёртый.
Случай 3. Ребёнок, о котором точно известно, что это девочка, является первым у Сидорова. Тогда вторым ребёнком может быть М.
Случай 4. Ребёнок, о котором точно известно, что это девочка, является вторым у Сидорова. Тогда первым ребёнком может быть М.
Рассматривать надо все возможные случаи!

[gris]

Лукомор, это был разговор о парадоксе Монти-Холла. Он неоднократно тут обсуждался. И с Вашим участием, кстати http://dxdy.ru/topic9362.html
Цитату я привел из учебника по ТВ по памяти, так как его под рукой нет.
Поговорить очень хочу, но сейчас напряг с инетом. Его почти всё время нету.
Так что в сентябре только

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #469844 писал(а):

Существует и третий случай и четвёртый.
Случай 3. Ребёнок, о котором точно известно, что это девочка...

Ни третьего, ни четвёртого случая не существует. Вариант о ребёнке, о котором точно известно, что это девочка, условию задачи не удовлетворяет. Условием задачи рассматриваются ТОЛЬКО такие ситуации, в которых точно известно, что один из ребят есть мальчик. А в отношении пола другого ребёнка можно гадать. Плясать мы обязаны именно от мальчика. И только от него.

Александрович в сообщении #469837 писал(а):

Подбросил 1000 раз по два раза. В одном из бросков выпал герб в 744 случаях. Из них два герба в 243 случаях. Искомая вероятность - 0,326613....

С уважением отношусь к практическим экспериментам. Число 744 совпадает с теоретическим решением. А вот число 243 вызывает сомнения. Непременно выберу момент и повторю сам лично этот опыт с отражением в таблице данных о том, сколько было вариантов ГР, и сколько было РГ, как рекомендует Лукомор.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #469973 писал(а):

Вариант о ребёнке, о котором точно известно, что это девочка, условию задачи не удовлетворяет. Условием задачи рассматриваются ТОЛЬКО такие ситуации, в которых точно известно, что один из ребят есть мальчик

(Оффтоп)

Хм-м... "Всех удовлетворяет, а его видите-ли не удовлетворяет!" (с) (из анекдота).

Вариант о ребёнке, о котором точно известно, что это "железно" девочка удовлетворяет условию.
Причём даже два варианта.
1. Если старший ребёнок "железно" девочка, то младший ребёнок - 100% мальчик.
2. Если младший ребёнок "железно" девочка, то старший ребёнок - 100% мальчик.
Оба этих случая рассматриваются условием задачи, поскольку в каждом из них "один из ребят есть мальчик".

(Оффтоп)

А вообще я вами горжусь, Mihajlo. Вы в точности повторяете ошибку Лейбница.
Но, если Лейбниц ошибся всего на $\Delta P=\frac13-\frac14=\frac1{12}$,
то вы улучшили его результат до $\Delta P=\frac12-\frac13=\frac16$, то есть в два раза.
Знай наших!

-- Чт июл 21, 2011 07:04:13 --
To gris

(Оффтоп)

gris в сообщении #469951 писал(а):

Лукомор, это был разговор о парадоксе Монти-Холла.

А, Вы об этом... Я с первого раза не угадал...

gris в сообщении #469951 писал(а):

Цитату я привел из учебника по ТВ по памяти, так как его под рукой нет.

Автора не подскажете?

[Mihajlo]

Господин Лукомор! Мне кажется, что наш спор не стоит и выеденного яйца, т.к. мы говорим об одном и том же. Если мальчик первый, то вторым может быть М или Д. Т.е. случай 1 имеет два варианта ММ и МД. Если мальчик второй, то первым может быть М или Д. Т.е. случай 2 имеет два варианта ММ и ДМ. Всего имеем 4 варианта. Ваши случаи 3 и 4 с железной девочкой в этих вариантах отражены полностью - она появляется то первой, то второй.

[Александрович]

Mihajlo в сообщении #470647 писал(а):

Всего имеем 4 варианта.

3.

[Mihajlo]

Александрович в сообщении #470678 писал(а):

Mihajlo в сообщении #470647 писал(а):
Всего имеем 4 варианта.
3.

Четыре!! Вы считаете ММ в первом и втором случае как один вариант. На самом деле это разные варианты. Один мальчик (М) уже есть. Второй может быть старше (с) или младше (м). Два варианта: М,Мм и Мс,М. Если этот довод найдёте неубедительным, тогда попробуйте найти ошибку в следущем доводе.
Коль один мальчик УЖЕ есть, то всё зависит от пола другого ребёнка, веротность того, что это М равна 1/2. Т.е. как ни крути 1/2! Где ошибка в фразе, набранной курсивом?