Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[photon]

(Решение задачи № 7)

У меня получилось за два взвешивания:первым взвешиванием кладем по 4 монеты. Если в равновесии, то вторым взвешиванием сравниваем оставшуюся с любыми двумя другими, если нет, то на более лёгкую чашу докладываем оставшуюся монету

Задача №8.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Xaositect тут]

Об имени его поют Жуки.
Фамилию воспел в романе гений,
И сам две буквы от нее несущий.
«Э» вместо «Фу» подставь и все поймешь.
Формат ответа: Фамилия Имя на русском языке

[Xaositect]

photon
Тоже хотелось бы обоснования минимальности.

(Решение задачи №8)

Фуко Мишель. (песня "Michelle" группы Beatles, роман "Маятник Фуко" за авторством У. Эко)

Задача №9.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Lyosha тут]

На шахматной доске на всех полях обеих диагоналей стоят фишки. Фишку можно поставить на пустое поле или убрать с поля, если на соседних с ним по вертикали и горизонтали полях есть ровно 2 фишки. Можно ли с помощью таких ходов прийти к позиции, где фишки стоят на всех полях, кроме 4 угловых и 4 центральных?

[Zealint]

cepesh в сообщении #465566 писал(а):

Zealint
Принимаете решение?

Да, Xaositect решил задачу №6 верно.
Также photon верно решил задачу №4.

[photon]

(минимальность в задаче №7)

Zealint в сообщении #465630 писал(а):

Тоже хотелось бы обоснования минимальности.

Меньше, чем за два, не получится: если при первом взвешивании на весах равное количество монет на правой и левой чаше, то при равновесии мы определяем, что фальшивая монета, среди оставшихся, но ничего не можем сказать о соотношении масс настоящей и фальшивой монет, если весы не в равновесии, то мы можем сказать, на какой чаше весов тяжелая монета, но ничего не можем сказать о соотношении масс.

Если мы изначально выкладываем неравное количество монет на чаши весов, то, очевидно, однозначного результата не получим, если тяжелая монета попадет на чашу с бОльшим количеством монет.

[Xaositect]

photon
Верно

[photon]

Xaositect в сообщении #465618 писал(а):

(Решение задачи №8)

Фуко Мишель. (песня "Michelle" группы Beatles, роман "Маятник Фуко" за авторством У. Эко)

Верно

[Lunatik]

Xaositect в сообщении #465618 писал(а):

Можно ли с помощью таких ходов прийти к позиции, где фишки стоят на всех полях, кроме 4 угловых и 4 центральных?

Имеется в виду "на всех полях диагонали"?

[Xaositect]

Lunatik в сообщении #465921 писал(а):

Имеется в виду "на всех полях диагонали"?

Нет, совсем на всех.

[Lyosha]

(Решение Задачи №9)

Нет,нельзя.Периметр области на которой стоят фишки всегда остаётся постоянным при любых ходах.Периметр исходной позиции(если принять длину стороны одной клетки за $1$) равен $56$.Периметр искомой позиции равен $40$.

Задача №10.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Zealint тут]

пусть $a_1$,$a_2$,...,$a_7$—целые числа, а $b_1$,$b_2$,...,$b_7$—те же самые числа взятые в другом порядке.Доказать,что число

$$(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)$$

является чётным.

[Zealint]

(Решение задачи №10)

Если я правильно понял фразу "в другом порядке", то
у нас $b_i=a_{8-i}$, то есть предлагается убедиться, что число

$$(a_1-a_7)(a_2-a_6)(a_3-a_5)\underline{(a_4-a_4)}(a_5-a_3)(a_6-a_2)(a_7-a_1)=0$$

является чётным. Действительно!

Либо пусть автор пояснит: что такое "другой порядок"?...

Задача №11
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут]

Какое минимальное число шахматных коней и как нужно расположить на стандартной штахматной доске, чтобы они били все поля доски? (Клетка, на которой стоит конь, уже считается битой). Обоснуйте минимальность.

-- Чт июл 07, 2011 06:43:52 --

(Другое решение задачи №10)

На всякий случай. Пусть $p$ - перестановка чисел от 1 до 7.
Если требуется показать, что произведение $\prod_i (a_i-a_{p_i})$ нечетно, какова бы ни была перестановка $p$, то достаточно показать, что хотя бы один множитель будет чётным.

Предположим, что это не так. Пусть все множители $(a_i-a_{p_i})$ являются нечётными. Тогда сумма всех множителей $\sum_i (a_i-a_{p_i})$ тоже должна быть нечётной (так как у нас сумма нечётного числа нечётных чисел)! Но она равна нулю. Противоречие показывает, что хотя бы один множитель будет чётным, а вместе с ним и всё произведение.

[photon]

(Еще одно решение задачи №10)

На всякий случай.

Если произведение $(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)$ является нечетным, то каждый из множителей является нечетным. Для этого для всех $i$, $a_i$ и $b_i$ должны быть разной чётности. Пусть $k$ чисел из $a_1...a_7$ являются чётными, тогда $7-k$ - нечетными. Тогда и $k$ чисел из $b_1...b_7$ являются чётными и $7-k$ - нечетными, но из условия, что $a_i$ и $b_i$ должны быть разной чётности, получаем, что $k$ чисел из $b_1...b_7$ являются нечётными и $7-k$ - четными. Тогда $k$ и $7-k$ должны быть одной четности, но это невозможно, следовательно, начальное предположение нечетности произведения $(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)$ - ошибочно, то есть произведение является чётным, ч.т.д.

Задача №12
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил lim0n тут]



Формат ответа: фраза на русском языке

[photon]

(Решение задачи №11)

Побить все поля можно расставив 12 коней, как показано на рисунке:


Побить все поля 11-ю конями невозможно, поскольку ни одна пара из 12, отмеченных на рисунке ниже полей, не может быть побита одним конем:

Задача №13
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Правильно решил и оформил VAL тут. venco первому пришла в голову правильная мысль, но он не оформил ее как ответ, а лишь усомнился в корректности условия]

Таблицу $n\times n$ заполнить числами $-1, 0, +1$ таким образом, чтобы суммы чисел, расположенных в каждой вертикали, каждой горизонтали и двух главных диагоналях были различны.

[venco]

(влез photon и спрятал в тег off)

photon в сообщении #465989 писал(а):

Задача №13
Таблицу $n\times n$ заполнить числами $-1, 0, +1$ таким образом, чтобы суммы чисел, расположенных в каждой вертикали, каждой горизонтали и двух главных диагоналях были различны.

Это как? Всего возможных значений сумм $2n+1$ (от $-n$ до $n$), a требуется найти $2n+2$ различных.

[Zealint]

photon в сообщении #465989 писал(а):

(Решение задачи №11)

Побить все поля можно расставив 12 коней, как показано на рисунке:


Побить все поля 11-ю конями невозможно, поскольку ни одна пара из 12, отмеченных на рисунке ниже полей, не может быть побита одним конем:

(Не верно д-во минимальности)

В правом нижнем углу можно поставить коня так, чтобы он бил две клетки. Конь в позиции f3.

[photon]

Zealint в сообщении #465995 писал(а):

(Не верно д-во минимальности)

В правом нижнем углу можно поставить коня так, чтобы он бил две клетки. Конь в позиции f3.

(Ой, промахнулся, должно быть)