Зачем же Америку-то открывать заново?
Вывожу по шагово.
I)аксиоматически принимает пространство однородным, изотропным и время однородным
Комментирую по шагам:
Кто принимает? Вы, наверное, хотели сказать: принимаем?
II) выделяем две инерциальные системы отсчёта 1 и 2 c осями x,y,z и x',y',z' соответсвенно. 1 считаем покоящейся, 2 - движущейся, причём так, что её всегда параллельны осям первой, а начало координат движется по оси x первой системы в сторону больших значений со скоростью u.
Здесь не заданы начальные условия движения: неизвестно расстояние между началами систем отсчёта для какого-либо момента времени

. Такая ситуация может возникнуть после интегрирования скорости, когда получается произвольная постоянная, которая и находится из начальных условий движения. Т.е. движение двух систем отсчёта не полностью определено. И ещё, Вы пропустили здесь слово «оси».
III) проверяем, чтo

. Для этого ставим в каждую систему кольцо. В системе 1 кольцо большего радиуса в системе 2 - меньшего. Радиусы подобраны так, что стоит кольцу 2 увеличиться хоть немного, или кольцу в 1 уменьшится хоть немного, то кольца столкнуться и сломаются.
расстраиваем ситуацию из системы 1: кольцо 1 неподвижно, кольцо 2 движется и соответственно увеличивается/уменьшается и кольца ломаются/не ломаются. Переходим в систему 2, в которой кольцо 1 движется и увеличивается/уменьшается и кольца не ломаются/ломаются. Видно, что если размеры колец меняются, то мы приходим к парадоксу: кольца и ломаются и не ломаются. Значит

Вы пишите: «ставим в каждую систему кольцо», как это? Системы движутся относительно друг друга со скоростью

по условию, но: «Радиусы подобраны так, что стоит кольцу 2 увеличиться хоть немного, или кольцу в 1 уменьшится хоть немного, то кольца столкнуться и сломаются». Эти кольца, что, движутся совместно как единое целое?
Далее: «расстраиваем ситуацию из системы 1: кольцо 1 неподвижно, кольцо 2 движется и соответственно увеличивается/уменьшается и кольца ломаются/не ломаются».
В каком смысле «расстраиваем ситуацию», в смысле «преступник четвертован на три неравные половины»? Вы, наверное, хотели сказать: «рассматриваем ситуацию»?
С какой стати кольца должны увеличиваться или уменьшаться, они что, резиновые? И вообще, зачем эта ахинея с кольцами, чтобы «доказать», что

? Так это и так очевидно, если оси двух систем

и

соответственно параллельны, а оси

и

совмещены. Вы, наверное, хотели этими кольцами утомить читателя, чтобы потом ему легче было морочить голову?
IV) Покажем, что

где

Рассмотрим

, тогда скажем

и если

или

не константы, то формулы перехода между системами координат меняются от точки к точке, что означает, что все точки особые. Что противоречит изотропности пространства. Чтобы пространство было изотропным то все частные производные f и g должны быт постоянными.
Промежуточные итоги: уравнения преобразования имеют вид

где

.
Далее, если мы рассматриваем равномерное движение, то его скорость в системе 1:

; а в системе 2:

Соответственно

.
В дальнейшем координаты y,y',z,z' будем опускать.
IV) Покажем, что

. Как Вы можете это показать, когда это так есть по определению равномерного движения? Это равносильно тому, что сказать: покажем, что:

. Вот показать, что

Вы обязаны потому, что в самом начале было сказано, что время аксиоматически принимается однородным, а здесь время в движущейся системе отсчёта почему-то зависит от координаты

. Но я внимательно прочитал всё до конца и не нашёл, где показано или доказано, что время должно зависеть от координаты

. Вы обманули читателя.
Далее, Вы приплели сюда уравнения в частных производных, чтобы «доказать» что пространство однородно и изотропно, а зачем? Ведь в самом начале было сказано, что однородность и изотропность пространства принимается аксиоматически. Затем, Ваши промежуточные итоги не отличаются от написанного ранее, кроме того, что коэффициент

вдруг, безо всяких объяснений превратился в коэффициент

. Вы, наверное, заметили, что обозначение коэффициента

совпадает с принятым обозначением скорости света

, и ни с того ни с сего заменили

на

. Вы в трезвом уме всё это писали? Затем, Вы подставили вместо

выражение

, так и не доказав, что

, хотя обещали что-то показать.
V) берём частицу, покоящуюся в системе 1, тогда её скорость v=0, а v'=-u значит

VI) берём частицу, покоящуюся в системе 2, тогда v=u v'=0 и

и значит

А это всё с какой стати?
VII)постулируем, что скорость света в любых ИСО одинакова и соответственном подставляем её в преобразования скорости: v=v'=c. Тогда

значит

и

таким образом преобразования скорости

преобразования же координат

Здесь вообще становится интересно. Частица не может иметь одну и ту же скорость относительно двух движущихся относительно друг друга систем отсчёта, но, стоит скорость частицы уподобить скорости света, так сразу скорость частицы приобретает такую способность.
Дальше комментировать бессмысленно.
Заметим, что в этом, так сказать «преобразовании» ничего не сказано ни об источнике света, ни о фронте световой волны.
Самая основная ошибка, связанная со скоростью света, заключается в том, что не различаются два различных понятия: 1. Скорость движения фронта световой волны относительно источника света, (она одна и та же во всех ИСО, связанных с источником света) и: 2. Скорость движения фронта световой волны относительно приёмника света и связанной с приёмником ИСО, с учётом того, что сам приёмник света может двигаться относительно источника света (эта скорость не может иметь всегда одно и то же значение). И в действительности, если скорость движения приёмника света относительно источника света может иметь различные значения, то и скорость движения приёмника света относительно фронта световой волны тоже может иметь различные значения.