2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько нужно цифр для записи всех чисел от 1 до 999999
Сообщение24.06.2011, 19:35 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Сколько и каких цифр понадобится, чтобы написать все числа от 1 до 999 999 включительно?
Я решил эту задачку и ответ у меня получился. Если кто-нибудь решит её напишите пожалуйста только ответ так как мне бы хотелось проверить свой ответ
Заранее благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение24.06.2011, 20:00 
Заслуженный участник


25/02/11
1796
Напишите свой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение24.06.2011, 20:35 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Чесла записывать нужно только целые? В какой системе счисления?

P.S. Строго говоря, достаточно двух цифр: 0 и 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение24.06.2011, 21:16 


26/01/10
959
Похожая тема, только там шестёрки считали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение24.06.2011, 23:21 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Цифр с 1 по 9 нужно по 600000, а нулей - 488889.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение25.06.2011, 12:32 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
PAV в сообщении #461984 писал(а):
Цифр с 1 по 9 нужно по 600000, а нулей - 488889.

Да да большое спасибо Вам PAV у меня точно также получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение25.06.2011, 21:05 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Я решил эту задачу, но мое решение довольно таки трудное и громоздкое в отличие от решения, приведённое в книге. В книге дано следующее решение.
Дополним все числа впереди нулями до 6-значных и еще включим число 000 000. Чисел всего будет ровно $10^6$, для их записи потребуется $6\cdot 10^6$ цифр, а поскольку все 10 цифр равноправны и должны входить одинаковое число раз, каждая будет употреблена $6\cdot 10^5$ раз. Но нулей будет 488 889.

Может ли кто-нибудь объяснить что почему все цифры должны входить одинаковое число раз?
Честно говоря, я не понял почему это так.
P.S. Тут написано, что число нулей в k-значном числе будет $9\cdot(k-1)\cdot10^{k-2}$
Почему это так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение25.06.2011, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Всех цифр поровну, потому что если поменять местами любую цифру и любую другую, получится тоже число из нашей кучи. Есть такое слово - биекция.
А последнюю Вашу фразу я игнорирую как недостоверную, потому что, например, 123456 - это очевидным образом k-значное число, в котором нулей не столько.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение25.06.2011, 22:17 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
ИСН в сообщении #462200 писал(а):
А последнюю Вашу фразу я игнорирую как недостоверную, потому что, например, 123456 - это очевидным образом k-значное число, в котором нулей не столько.

Тут имеется в виду, что нулей среди всех k-значных ровно $9\cdot(k-1)\cdot10^{k-2}$.
ИСН в сообщении #462200 писал(а):
Всех цифр поровну, потому что если поменять местами любую цифру и любую другую, получится тоже число из нашей кучи..

И что? Я Вас не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение25.06.2011, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ёлки, ну заменили мы все двойки - на единицы, а единицы - на двойки. Получилась какая-то другая куча чисел. Если в нашей куче было (ну, допустим) единиц больше, чем двоек, то здесь - наоборот, двоек больше. Но постойте, числа-то те же самые. Это же наша куча! Так кого в ней больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение26.06.2011, 12:13 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Я понял то, что всех цифр поровну.
Но я не понял почему нулей среди всех k-значных ровно $9\cdot(k-1)\cdot10^{k-2}$.
Может кто-нибудь это объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка.
Сообщение26.06.2011, 19:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Ну смотрите: есть $k$ позиций, на старшей должен стоять не-ноль - отсюда $9$, далее берем одну из оставшихся $k-1$ позиций, ставим на нее ноль, а оставшиеся $k-2$ позиции заполняем любыми цифрами. И так делаем для каждой из $k-1$ позиции.

Хотя я считал немного иначе (но может быть это окажется то же самое). То, что любой ненулевой цифры нужно по $600\,000$ - это очевидно. Для нуля же рассуждаем отдельно для каждой позиции. Последняя: перед ней можно поставить любую комбинацию цифр, кроме нулевой, это $99\,999$ вариантов. Предпоследняя: после нее можно поставить любую цифру, а перед ней - любую комбинацию четырех цифр, кроме опять всех нулей, это дает $99\,990$ вариантов. И так далее, в итоге получается общий результат:
$$
99\,999+99\,990+99\,900+99\,000+90\,000=488\,889
$$

А можно подсчитать количество всех цифр во всех числах, это несложно, и вычесть число всех не-нулей $9\cdot 600\,000$
Я использовал это для дополнительной проверки того, что не ошибся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group