Сколько нужно цифр для записи всех чисел от 1 до 999999

[Whitaker]

Сколько и каких цифр понадобится, чтобы написать все числа от 1 до 999 999 включительно?
Я решил эту задачку и ответ у меня получился. Если кто-нибудь решит её напишите пожалуйста только ответ так как мне бы хотелось проверить свой ответ
Заранее благодарю!

[Vince Diesel]

Напишите свой.

[JMH]

Чесла записывать нужно только целые? В какой системе счисления?

P.S. Строго говоря, достаточно двух цифр: 0 и 1.

[Zealint]

Похожая тема, только там шестёрки считали.

[PAV]

Цифр с 1 по 9 нужно по 600000, а нулей - 488889.

[Whitaker]

PAV в сообщении #461984 писал(а):

Цифр с 1 по 9 нужно по 600000, а нулей - 488889.

Да да большое спасибо Вам PAV у меня точно также получилось.

[Whitaker]

Я решил эту задачу, но мое решение довольно таки трудное и громоздкое в отличие от решения, приведённое в книге. В книге дано следующее решение.
Дополним все числа впереди нулями до 6-значных и еще включим число 000 000. Чисел всего будет ровно $10^6$, для их записи потребуется $6\cdot 10^6$ цифр, а поскольку все 10 цифр равноправны и должны входить одинаковое число раз, каждая будет употреблена $6\cdot 10^5$ раз. Но нулей будет 488 889.

Может ли кто-нибудь объяснить что почему все цифры должны входить одинаковое число раз?
Честно говоря, я не понял почему это так.
P.S. Тут написано, что число нулей в k-значном числе будет $9\cdot(k-1)\cdot10^{k-2}$
Почему это так?

[ИСН]

Всех цифр поровну, потому что если поменять местами любую цифру и любую другую, получится тоже число из нашей кучи. Есть такое слово - биекция.
А последнюю Вашу фразу я игнорирую как недостоверную, потому что, например, 123456 - это очевидным образом k-значное число, в котором нулей не столько.

[Whitaker]

ИСН в сообщении #462200 писал(а):

А последнюю Вашу фразу я игнорирую как недостоверную, потому что, например, 123456 - это очевидным образом k-значное число, в котором нулей не столько.

Тут имеется в виду, что нулей среди всех k-значных ровно $9\cdot(k-1)\cdot10^{k-2}$.

ИСН в сообщении #462200 писал(а):

Всех цифр поровну, потому что если поменять местами любую цифру и любую другую, получится тоже число из нашей кучи..

И что? Я Вас не понял.

[ИСН]

Ёлки, ну заменили мы все двойки - на единицы, а единицы - на двойки. Получилась какая-то другая куча чисел. Если в нашей куче было (ну, допустим) единиц больше, чем двоек, то здесь - наоборот, двоек больше. Но постойте, числа-то те же самые. Это же наша куча! Так кого в ней больше?

[Whitaker]

Я понял то, что всех цифр поровну.
Но я не понял почему нулей среди всех k-значных ровно $9\cdot(k-1)\cdot10^{k-2}$.
Может кто-нибудь это объяснить?

[PAV]

Ну смотрите: есть $k$ позиций, на старшей должен стоять не-ноль - отсюда $9$, далее берем одну из оставшихся $k-1$ позиций, ставим на нее ноль, а оставшиеся $k-2$ позиции заполняем любыми цифрами. И так делаем для каждой из $k-1$ позиции.

Хотя я считал немного иначе (но может быть это окажется то же самое). То, что любой ненулевой цифры нужно по $600\,000$ - это очевидно. Для нуля же рассуждаем отдельно для каждой позиции. Последняя: перед ней можно поставить любую комбинацию цифр, кроме нулевой, это $99\,999$ вариантов. Предпоследняя: после нее можно поставить любую цифру, а перед ней - любую комбинацию четырех цифр, кроме опять всех нулей, это дает $99\,990$ вариантов. И так далее, в итоге получается общий результат:

$$ 99\,999+99\,990+99\,900+99\,000+90\,000=488\,889 $$

А можно подсчитать количество всех цифр во всех числах, это несложно, и вычесть число всех не-нулей $9\cdot 600\,000$
Я использовал это для дополнительной проверки того, что не ошибся.