Задачи по коммутативной алгебре

[caxap]

nnosipov в сообщении #456607 писал(а):

любое конечное поле $F$ содержит в качестве подполя одно (и ровно одно) из полей $\mathbb{F}_p$ ($p$ --- это характеристика $F$).

Я довольно смутно себе представляю "абстрактные" поля $\mathbb F_n$. Но, думаю, достаточно взять в $\mathbb F_n$ подгруппу $\langle 1\rangle=\{0,1,2,\ldots,p-1\}$, где $2:=1+1$, $3:=1+1+1$ и т. д., а $p:=\operatorname{char}\mathbb F_n$. Она будет подполем (есть 0, 1, замкнуто относительно сложения и умножения), т. е. $\langle 1\rangle=\mathbb F_p$. $p$ простое, т. к. иначе $p=ab=0$, т. е. есть делители нуля, а значит $\mathbb F_p$ не поле. Так?

[Sonic86]

caxap в сообщении #456904 писал(а):

nnosipov в сообщении #456607 писал(а):
любое конечное поле $F$ содержит в качестве подполя одно (и ровно одно) из полей $\mathbb{F}_p$ ($p$ --- это характеристика $F$).

Я довольно смутно себе представляю "абстрактные" поля $\mathbb F_n$. Но, думаю, достаточно взять в $\mathbb F_n$ подгруппу $\langle 1\rangle=\{0,1,2,\ldots,p-1\}$, где $2:=1+1$, $3:=1+1+1$ и т. д., а $p:=\operatorname{char}\mathbb F_n$. Она будет подполем (есть 0, 1, замкнуто относительно сложения и умножения), т. е. $\langle 1\rangle=\mathbb F_p$. $p$ простое, т. к. иначе $p=ab=0$, т. е. есть делители нуля, а значит $\mathbb F_p$ не поле. Так?

Да.
Лучше сразу наперед узнать, что $\mathbb{F}_n = \mathbb{F}_{p^r} \cong \mathbb{Z}_p [x]/(g(x))$, где $g(x)$ - неприводимый многочлен над $\mathbb{Z}_p$ степени $r$. Соответственно, все элементы имеют вид $a_{r-1}x^{r-1}+...+r_0, r_0 \in \mathbb{Z}_p$. Есть и другие способы представления элементов этих полей. Подробнее - в книжке Лидл Нидеррайтер Конечные поля.

[caxap]

Сенкью.

[nnosipov]

caxap в сообщении #456636 писал(а):

А можно как нибудь доказать $(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}$ по простому и средствами алгебры?

Всё-таки совсем просто, наверное, не получится. Рассуждение с помощью леммы Гаусса мне кажется достаточно простым. Есть ещё рассуждение по Золотарёву, в котором больше алгебры, но здесь придётся весь квадратичный закон взаимности доказывать (и не только для символа Лежандра, но и для символа Якоби), см., например, статью Прасолова в "Мат. просвещении", 4-й выпуск. В целом, вычислить $(2/p)$ существенно сложнее, чем $(-1/p)$.

[Sonic86]

Вычисление $\left( \frac{2}{p} \right)$ с помощью леммы Гаусса есть и в Бухшатбе.