Задачи по коммутативной алгебре

[caxap]

Ясно. Спасибо за помощь! А задачи 1.1 и 1.2 можете посмотреть?

[nnosipov]

С задачами 1.1 и 1.2 у Вас всё в порядке.

[caxap]

Спасибо ещё раз

[caxap]

В учебнике написано

Цитата:

Так как $\mathbb Z[i]\simeq \mathbb Z[t]/(t^2+1)$ *, то $\mathbb Z[i]/(p)\,{\color{blue}\simeq}\, \mathbb Z[t]/(t^2+1,p)\,{\color{blue}\simeq}\,\mathbb Z_p[t]/(t^2+1)$.

Не понимаю синих изоморфизмов. Как $(\mathbb Z[t]/(t^2+1))/(p)$ превратилось в $\mathbb Z[t]/(t^2+1,p)$ ? По-второму я знаю, что $\mathbb Z[t]/(p)=\mathbb Z_p[t]$, но тут же другой случай... вот если бы было $(\mathbb Z[t]/(p))/(t^2+1)$, тогда понимаю. То есть почему то $(t^2+1)$ и $(p)$ автор переставил, но почему -- я не понимаю.

_________
* Тут $(S)$ обозначает идеал, порождённый множеством $S$. Кстати, нет ли какого-нибудь другого общепринятого обозначения? Просто скобки уже перегружены выше некуда. Угловые скобки тоже уже заняты за "обычным" порождением (линейная оболочка и т. п.).

[caxap]

Задача 1.10. Доказать, что для любого простого $p\neq 2$ группа $\mathbb Z_{p^k}^*$ циклическая. (Указание: доказать, что элемент $[p+1]_{p^k}$ этой группы имеет порядок $p^{k-1}$.)

Не могу даже доказать то, что требуется в указании. Есть соблазн применить теорему Ферма--Эйлера, но она не помогает: $(p+1)^{p^{k-1}(p-1)}\equiv 1\pmod {p^k}$, но отсюда не следует, что $(p+1)^{p^{k-1}}\equiv 1$ И даже, если докажем последнее сравнение, то это не значит, что $p^{k-1}$ является порядком -- вдруг он просто кратен порядку?

[nnosipov]

Это из какой книжки Вы взяли задачу 1.10? Обычно факт цикличности группы $\matbb{Z}_{p^k}^*$ выводят из теоремы о существовании первообразного корня по модулю $p$ (теорема Гаусса). Кстати, при $k=1$ указание, мягко говоря, не очень указывает.

[caxap]

nnosipov
Винберг "Курс алгебры" (Гл. 9, $\S$1). (Пока все задачи, что я по алгебре публикую -- из него. Цитата из позапрошлого сообщения тоже оттуда.) Я думаю, раз задача привелась, то её можно решить известными средствами. Вот даже подсказка дана.

(Оффтоп)

Про первообразные корни я уже слышал (у Винберга же, в примере было): это порождающий элемент группы $C_n$ корней $n$-й степени из единицы. Так как $C_n\simeq \mathbb Z_n$, то, наверное, можно более общо сказать -- что это порождающий элемент циклической группы. А что такое "первообразный корень по модулю $p$"?)

[nnosipov]

caxap в сообщении #451575 писал(а):

nnosipov
Винберг "Курс алгебры" (Гл. 9, $\S$1). (Пока все задачи, что я по алгебре публикую -- из него. Цитата из позапрошлого сообщения тоже оттуда.) Я думаю, раз задача привелась, то её можно решить известными средствами. Вот даже подсказка дана.

(Оффтоп)

Про первообразные корни я уже слышал (у Винберга же, в примере было): это порождающий элемент группы $C_n$ корней $n$-й степени из единицы. Так как $C_n\simeq \mathbb Z_n$, то, наверное, можно более общо сказать -- что это порождающий элемент циклической группы. А что такое "первообразный корень по модулю $p$"?)

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #451565 писал(а):

Кстати, при $k=1$ указание, мягко говоря, не очень указывает.

При $k=1$ задачу можно доказать, используя теорему о том, что если порядок группы равен её экспоненте, то эта группа циклическая.

Первообразный корень по модулю $p$ --- это так в элементарной теории чисел называют порождающий элемент циклической группы $\mathbb{Z}_p^*$ (точнее, любое целое число $g$ такое, что $[g]_p$ есть порождающий элемент $\mathbb{Z}_p^*$). Но то, что эта группа действительно циклическая --- надо ещё доказать (это и есть теорема Гаусса). Так же как и то, что порядок этой группы равен её экспоненте. Это хорошее упражнение, начните с него. А потом уже и для произвольного $k$ сделайте.

[caxap]

nnosipov в сообщении #451584 писал(а):

Так же как и то, что порядок этой группы равен её экспоненте. Это хорошее упражнение, начните с него.

Я уже его проработал. Если $\exp \mathbb Z_p^*=m$, то $x^m=1$ для всех $x\in \mathbb Z_p^*$, но $\mathbb Z_p$ -- поле, поэтому в нём уравнение $x^m=1$ имеет не более $m$ различных решений $x$, поэтому $m\le |\mathbb Z_p^*|\le m$. Для произвольного $k$ уже не выйдет, т. к. $\mathbb Z^*_{p^k}$ перестанет быть полем.

-- 29 май 2011, 17:40 --

Может как-нибудь доказать, что $\mathbb Z_{p^k}^*\simeq \mathbb Z_{p^{k-1}}\oplus \mathbb Z_{p-1}$? Отсюда, т. к. $p^{k-1}\perp (p-1)$, будет следовать, что $\mathbb Z_{p^{k-1}}\oplus \mathbb Z_{p-1}\simeq \mathbb Z_{p^{k-1}(p-1)}$.

-- 29 май 2011, 17:42 --

Последняя идея -- доказать $\exp \mathbb Z_{p^k}^*=p^{k-1}(p-1)$. (Я знаю, что экспонента равна наибольшему инвариантному множителю, но, наверное, это не поможет.)

[nnosipov]

caxap в сообщении #451617 писал(а):

nnosipov в сообщении #451584 писал(а):

Так же как и то, что порядок этой группы равен её экспоненте. Это хорошее упражнение, начните с него.

Я уже его проработал. Если $\exp \mathbb Z_p^*=m$, то $x^m=1$ для всех $x\in \mathbb Z_p^*$, но $\mathbb Z_p$ -- поле, поэтому в нём уравнение $x^m=1$ имеет не более $m$ различных решений $x$, поэтому $m\le |\mathbb Z_p^*|\le m$. Для произвольного $k$ уже не выйдет, т. к. $\mathbb Z^*_{p^k}$ перестанет быть полем.

Да, всё верно. Немного теории многочленов плюс теоретико-групповые конструкции --- и дело сделано. (Но Гаусс изящно без всего этого обошёлся.) Что делать в случае $k>1$? В теории чисел просто предъявляют порождающий элемент группы $\mathbb{Z}_{p^k}$. А что делают в теории групп? Боюсь, что то же самое.

А, вот теперь понятно указание. Ну что же, Вы на правильном пути.

[caxap]

nnosipov в сообщении #451633 писал(а):

Ну что же, Вы на правильном пути.

Если честно, я не продвинулся дальше того, что уже написал

[nnosipov]

caxap в сообщении #451644 писал(а):

nnosipov в сообщении #451633 писал(а):

Ну что же, Вы на правильном пути.

Если честно, я не продвинулся дальше того, что уже написал

Как у Вас дела в решении задачи 1.10? Винберг предлагает такой путь решения: 1) найти в $\mathbb{Z}_{p^k}$ элемент порядка $p-1$; 2) доказать, что элемент $[p+1]_{p^k}$ имеет порядок $p^{k-1}$; 3) сварганить из этих двух элементов элемент порядка $(p-1)p^{k-1}$.

[caxap]

nnosipov
Не выходит 1). Пробовал также брать конкретные $\mathbb Z_{p^k}^*$, но закономерности не увидел.

[Joker_vD]

caxap в сообщении #451432 писал(а):

В учебнике написано

Цитата:

Так как $\mathbb Z[i]\simeq \mathbb Z[t]/(t^2+1)$ *, то $\mathbb Z[i]/(p)\,{\color{blue}\simeq}\, \mathbb Z[t]/(t^2+1,p)\,{\color{blue}\simeq}\,\mathbb Z_p[t]/(t^2+1)$.

Не понимаю синих изоморфизмов. Как $(\mathbb Z[t]/(t^2+1))/(p)$ превратилось в $\mathbb Z[t]/(t^2+1,p)$ ? По-второму я знаю, что $\mathbb Z[t]/(p)=\mathbb Z_p[t]$, но тут же другой случай... вот если бы было $(\mathbb Z[t]/(p))/(t^2+1)$, тогда понимаю. То есть почему то $(t^2+1)$ и $(p)$ автор переставил, но почему -- я не понимаю.

_________
* Тут $(S)$ обозначает идеал, порождённый множеством $S$. Кстати, нет ли какого-нибудь другого общепринятого обозначения? Просто скобки уже перегружены выше некуда. Угловые скобки тоже уже заняты за "обычным" порождением (линейная оболочка и т. п.).

Нет, другого обозначения под идеал вроде нету, по крайней мере, я не встречал.

Теперь по изоморфизмам: я буду рассматривать общий случай. Итак, коммутативное кольцо с единицей $A$, даны $a,b\in A$, пусть $\alpha\colon A \to A/(a)$ — естественный изоморфизм $\alpha(x) = \overline{x}$, где $\ovelrine{x} = x + (a) \in A/(a)$.

Рассмотрим гомоморфизм $f\colon A \xrightarrow{\text{на}} (A/(a))/(\overline b)$ и отыщем его ядро $\ker f = \{x \in A \mid \overline x \in (\overline b) \}$:

\begin{multline*}\overline x \in (\overline b) \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon \overline x = \overline b \overline y \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon \alpha(x) = \alpha(b) \alpha(y) \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon \alpha(x - by) = 0 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon x - by \in \ker\alpha = (a) \Longleftrightarrow \exists y,z \in A\colon x - by = az \Longleftrightarrow \exists y,z \in A\colon x = az + by \Longleftrightarrow x \in (a,b). \end{multline*}

Таким образом, $\ker f = (a,b)$, и по теореме о гомеоморфизме $f$ индуцирует изоморфизм $(A/(a))/(\overline b) \cong A/(a,b)$.

[caxap]

Joker_vD
Спасибо за разъяснения!

(Оффтоп)

А вообще, это должно быть всё очевидно? То есть подразумевается, что читатель, который только две страницы назад узнал слово "идеал", должен воспринять "синие" изоморфизмы как очевидные? (Мне даже понадобилось минут 10, чтобы осознать ваш разобранный текст. Это плохо? Я занимаюсь по учебникам дома сам и поэтому, к сожалению, не могу оценить свой уровень (нету массовки, как в университете, с кем можно сравниться). Вот, скажем, те задачки, что я публикую (например 1.10) -- они какие по сложности (троешные, 4-шные, 5-шные)?)