Задачи по коммутативной алгебре

[Joker_vD]

Ну, тут, наверное, интуиция должна работать — к примеру, я факторизацию представляю себе как, хм, "слипание" элементов. Сначала с нулем слипся $(t^2+1)$, потом $(p)$. Интуиция: можно склеивать и в обратном порядке... а можно и вообще одновременно.

[caxap]

Joker_vD
Но там же каждая следующая факторизация происходит по множеству элементов предыдущего множества. Например, $\mathbb Z/(4)=\{[0]_4,[1]_4,[2]_4,[3]_4\}$, затем делаем факторизацию не по $(2)$, а по $([2]_4)$ и получаем что-то изоморфное $\mathbb Z_2$. Но ведь нельзя написать $(\mathbb Z/(4))/(2)$, ведь $2\notin \mathbb Z/(4)$. Т. е. с этой точки зрения уже не очевидно (по крайней мере мне), что факторизация в разном порядке приведут к одному (с точностью до изоморфизма) кольцу. Более того, не понятно, как вообще можно переставлять идеалы, по которым факторизуют и тем более их сливать -- они же разной "природы".

Вот в том примере из учебника пишется $(t^2+1,p)$ -- и что это ? $t^2+1$ многочлен, а $p$ число. Как их можно вместе писать?..

[nnosipov]

caxap в сообщении #452025 писал(а):

nnosipov
Не выходит 1). Пробовал также брать конкретные $\mathbb Z_{p^k}^*$, но закономерности не увидел.

Здесь надо взять первообразный корень $g$ по модулю $p$ и из него сконструировать элемент группы $\mathbb Z_{p^k}^*$ порядка $p-1$. Это несложно, нужно только догадаться. (Кстати, Вы можете даже из этого $g$ изготовить сразу элемент порядка $(p-1)p^{k-1}$, как это обычно и делается в курсах элементарной теории чисел. Но у Винберга рецепт именно тот, что я описал выше.)

[Joker_vD]

Хочу обратить внимание, что ничего наподобие $(\mathbb Z/(4))/(2)$ в вашем учебнике и не написано. Далее, $(t^2+1, p)$ — это множество всех элементов вида $(t^2+1)a + pb$, где $a,b \in \mathbb Z[t]$. Кстати, число — вполне себе многочлен.

Ну и насчет перестановки — есть несколько замечательных лемм. Одна из них утверждает, что ядро любого гомоморфизма колец — идеал, а образ — подкольцо. Вторая: что прообраз идеала при гомоморфизме тоже идеал. И третья: что существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между теми идеалами $\mathfrak b$ в $A$, которые содержат $\mathfrak a$, и идеалами $\overline{\mathfrak b}$ в $A/{\mathfrak a}$.

[caxap]

nnosipov в сообщении #452010 писал(а):

1) найти в $\mathbb{Z}_{p^k}$ элемент порядка $p-1$; 2) доказать, что элемент $[p+1]_{p^k}$ имеет порядок $p^{k-1}$; 3) сварганить из этих двух элементов элемент порядка $(p-1)p^{k-1}$.

1) $g^{p^{k-1}}$, где $\overline g$ -- порождающий элемент $\mathbb Z_p^*$.

$g\equiv g^p\equiv g^{p^{k-1}}=:a\pmod p$, поэтому $\overline{a}$ тоже порождает $\mathbb Z_p^*$. Но $a^{p-1}=g^{\varphi(p^k)}\equiv 1\pmod {p^k}$ по теореме Ферма--Эйлера. Надо доказать, что $a^m\not\equiv 1\pmod {p^k}$ при $m<p-1$. Пусть это не так, тогда $\exists\,m:a^m\equiv 1\pmod{p^k}\iff p^k\mid a^m-1$, но $p\mid p^k$, поэтому $p\mid a^m-1\iff a^m\equiv 1\pmod p$. Но мы знаем, что $a^m\not\equiv 1\pmod {p}$ при $m<p-1$. Противоречие. Получили, что $\overline a$ имеет порядок $p-1$ в $\mathbb Z_{p^k}^*$.

2) Не соображу

[nnosipov]

п. 1) Всё верно. В п. 2) можно попробовать индукцию по $k$. Вообще, можно доказать следующий полезный и более общий факт: если $a \neq b$ и $a \equiv b \not\equiv 0 \pmod{p}$, то $\nu_p(a^k-b^k)=\nu_p(a-b)+\nu_p(k)$ для любого натурального $k$. (Здесь $\nu_p(m)$ --- показатель, с которым простое число $p$ входит в каноническое разложение $m$.)

[caxap]

С прошлой задачей так и не справился. Оставил на будущее. Надеюсь, эта задачка проще:

Задача. Доказать, что многочлен $x^4+1$ приводим над любым конечным полем. (Указание: доказать, что хотя бы один из элементов $-1,2,2$ является квадратом в этом поле.)

Мысли.
Пусть дано поле $\mathbb F_n$. Раз это поле, то $\mathbb F_n^*$ -- циклическая. $(-1)$ является квадратом $\iff$ в $\mathbb F_n^*$ есть подгруппа 4-го порядка $\iff 4\mid n-1$. Если так, то всё хорошо: $(-1)=:a^2$, $x^4+1=x^4-a^2=(x^2-a)(x^2+a)$.

Пусть $4\nmid n-1$. Тут не знаю как действовать

[nnosipov]

Во-первых, достаточно рассмотреть случай, когда $n=p$ --- простое (и нечётное, ибо случай $p=2$ можно рассмотреть отдельно). Во-вторых, разложите $x^4+1$ над полем $\mathbb{C}$, потом покомбинируйте линейные сомножители, а затем Вы поймёте, зачем дано такое указание: либо $-1$, либо $2$, либо $-2$ есть квадрат в поле $\mathbb{F}_p$ (а это, кстати, опять элементарная теория чисел).

[caxap]

nnosipov в сообщении #456570 писал(а):

Во-первых, достаточно рассмотреть случай, когда $n=p$ --- простое

Почему?..

nnosipov в сообщении #456570 писал(а):

Во-вторых, разложите $x^4+1$ над полем $\mathbb{C}$

А причём тут $\mathbb C$ ?.. Не понимаю Ведь $\mathbb C$ не является "расширением" $\mathbb F_p$.
Я всё равно последовал вашему совету, покомбинировал линейные множители, но просветления не наступило. Вот, к примеру, комбинируем

$$\left(x-\exp \frac{i\,\pi}4\right)\left(x-\exp \frac{i\,3\pi}4\right)=x^2-x\left(\exp \frac{i\,\pi}4+\exp \frac{i\,3\pi}4\right)-1$$

Из этого надо сделать вывод, что $-1$ является квадратом в $\mathbb C$ ? Да это и так ясно, там всё -- квадрат.

--------------
Может можно как-нибудь развить зачатки моего решения? Пока поверю, что достаточно рассмотреть только $\mathbb F_p$ с простым $p$. Тогда $p\equiv 1,3\pmod 4$. Если $p\equiv 1$, то $(-1)$ -- квадрат и многочлен приводим. Вроде бы только осталось рассмотреть случай $p\equiv 3$...

-- 10 июн 2011, 20:58 --

Ещё маленький вопрос по доказательству из учебника

Винберг Э. Б. писал(а):

Теорема. Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
Доказательство. [...] пусть $u$ -- наименьший по норме ненулевой элемент идеала $I$ [...]

А с чего следует, что такое $u$ будет единственным? (Там потом доказывается, что любой элемент делится на $u$ и поэтому идеал состоит из кратных $u$, поэтому он главный. То есть используется единственность $u$.)

[nnosipov]

1. Дело в том, что любое конечное поле $F$ содержит в качестве подполя одно (и ровно одно) из полей $\mathbb{F}_p$ ($p$ --- это характеристика $F$), поэтому если докажем приводимость $x^4+1$ над $\mathbb{F}_p$, то этот многочлен будет приводим и над $F$.

2. Опыты с разложением над $\mathbb{C}$ могли бы привести к разложениям

$$ x^4+1=(x^2-x\sqrt{2}+1)(x^2+x\sqrt{2}+1), \quad x^4+1=(x^2-x\sqrt{-2}-1)(x^2+x\sqrt{-2}-1) $$

(разумеется, эти разложения можно получить и как-нибудь по-другому). Отсюда видно, почему хотелось бы, чтобы либо $2$, либо $-2$ было бы квадратом. А дальше --- теория чисел с символами Лежандра $(2/p)$ и $(-2/p)$ (см. классический учебник Виноградова).

-- Сб июн 11, 2011 00:05:59 --

caxap в сообщении #456598 писал(а):

То есть используется единственность $u$.

Нет, единственность не используется. Разве главный идеал порождается единственным своим элементом? Всякий порождающий элемент $u$ можно заменить на $u\varepsilon$, где $\varepsilon$ --- единица.

[caxap]

1. Ясно. Только мне эта теорема неизвестна. Сейчас попробую её доказать...

2. Ясно. Рассмотрим $p$ по модулю $8$. Из-за простоты имеем $p\equiv 1,3,5,7\pmod 8$. При $p\equiv 1\pmod 4\iff p\equiv 1,5\pmod 8$ имеется корень из $-1$ (писал выше). При $p\equiv 7\pmod 8$ будет корень из $2$, т. к. $(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}=1$. При $p\equiv 3\pmod 8$ будет корень из $-2$, т. к.

$$\left(\frac{-2}p\right)=\left(\frac{-1}p\right)\left(\frac{2}p\right)=(-1)^{(p-1)/2}(-1)^{(p^2-1)/8}=(-1)(-1)=1\,.$$

Так?

А можно как нибудь доказать $(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}$ по простому и средствами алгебры?

-------------

nnosipov в сообщении #456607 писал(а):

Нет, единственность не используется.

Да-да-да, кажись дошло . (Только вы, наверное, хотели сказать $\varepsilon$ -- обратимый элемент?) Действительно, если есть идеал $uA$, то он совпадёт с $u\varepsilon A$, где $\varepsilon$ обратим, ибо любой элемент $ua$ ($a\in A$) из первого множества можно представить как $(u\varepsilon)(\varepsilon^{-1}a)$, $\varepsilon^{-1}a\in A$.

[Joker_vD]

caxap в сообщении #456636 писал(а):

Только вы, наверное, хотели сказать -- обратимый элемент?

В английском языке единичный элемент называется "identity", а обратимый — "unit". Насколько мне известно, в коммутативной алгебре использование слова "единица" и для "unit", и для "identity" весьма распространено, так как обычно не влечет неясностей, что имеется в виду. Для "identity" еще употребляют "единичный элемент".

[nnosipov]

caxap в сообщении #456636 писал(а):

Только вы, наверное, хотели сказать $\varepsilon$ -- обратимый элемент?

Обратимые элементы принято называть единицами (не путать с единицей кольца).

caxap в сообщении #456636 писал(а):

А можно как нибудь доказать $(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}$ по простому и средствами алгебры?

Надо подумать.

-- Сб июн 11, 2011 02:06:00 --

caxap в сообщении #456636 писал(а):

Так?

Да.

[Leox]

Не в тему - название топика не совсем правильное - предлагаемые задачи скорее из курса алгебры или абстрактной алгебры.. коммутативная алгебра немного другие задачи рассматривает..

[caxap]

(Оффтоп)

Leox
Так называется соответствующая глава в учебнике.