Задачи по коммутативной алгебре

[caxap]

Проверьте, пожалуйста.

Задача 1.1. Доказать, что объём параллелепипеда, натянутого на базис $(e_1,...,e_n)$ решётки $L\subset E^n$ не зависит от базиса. ($E^n$ -- евклидово пространство. Решётка -- это множество векторов с целыми координатами.)

Этот объём равен корню грамиана на векторах базиса. Матрица Грама -- это матрица скалярного умножения, поэтому преобразуется как любая билинейная форма, т. е. если $C$ -- матрица перехода из базиса $e$ в $e'$, то $G(e_1',...,e_n')=C^\top G(e_1,...,e_n) C$, тогда $\det G(e_1',...,e_n')=(\det C)^2 \det G(e_1,...,e_n)$, поэтому $\det G(e_1',...,e_n')=\det G(e_1,...,e_n)\iff \det C=\pm 1$. Но $C\in\operatorname{GL}_n(\mathbb Z)$, поэтому $\det C=\pm 1$ (я решал уже эту задачу тут).


Вот тут я не понял ответ к задаче. Задача вроде простая:

Задача 1.7. Найти прообразы элементов $[1]_3\in\mathbb Z_3$ и $[1]_5\in\mathbb Z_5$ при изоморфизме $\varphi: \mathbb Z_{15}\to \mathbb Z_{3}\oplus \mathbb Z_{5}$, $[a]_{15}\mapsto([a]_3,[a]_5)$.

Мой ответ: $[1]_{15}$, ибо $\varphi([1]_{15})=([1]_3,[1]_5)$. Но в учебнике ответ такой: $[10]_{15},[6]_{15}$. Также смущает, что их два.


Задача 1.2. Доказать, что подгруппа $L\subset E^n$ дискретна $\iff$ её пересечение с некоторой окрестностью нуля состоит только из нуля. (Подмножество $E^n$ дискретно, если в каждом ограниченном подмножестве $E^n$ имеется конечное число его элементов.)

$\fbox{\Rightarrow}$ Предположим обратное (в каждой окрестности нуля $>1$ точки из $L$). Возьмём окрестность $U$ нуля. Будем сжимать окрестность, на каждом шагу освобождая хотя бы одну точку (кроме нуля), пока это возможно. По предположению мы никогда не остановимся, поэтому освободится бесконечное число точек, а значит, в $U$ имеется бесконечное число точек из $L$, что противоречит дискретности $L$.

$\fbox{\Leftarrow}$ Предположим обратное ($L$ не дискретна). Тогда найдётся какое-то ограниченное подмножество $E^n$, где содержится бесконечное число точек из $L$. Это значит, что там найдутся сколь угодно близкие точки $a$ и $b$. Тогда $a-b$ попадёт в некоторую маленькую окрестность нуля, и для любой окрестности нуля всегда можно взять такие близкие точки, что их разность упадёт в эту окрестность. Следовательно, не существует окрестности, в которую входит только нуль.

[bnovikov]

Я думаю, что задача 1.7 состоит из двух подзадач, и ее условие нужно читать так:

1) Найти прообраз элемента $([1]_3, [0]_5)$ при изоморфизме... .

2) Найти прообраз элемента $([0]_3, [1]_5)$ при изоморфизме... .

[caxap]

bnovikov
Аа, тогда ясно. Спасибо.

[Dan B-Yallay]

Почему прообразом $([1]_3, [0]_5)$ будет $[10]_{15}$ а не $[5]_{15}$?

[caxap]

Потому что $[5]_3=[2]_3$

[caxap]

Задача 1.6. Доказать, что группа $\mathbb Z$ не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп.

Не решил. Хотя бы одна из подгрупп должна быть бесконечной; вся прямая сумма должна быть циклической. Есть и другие разбросанные мысли, но соединить их в доказательство не выходит...

-- 25 май 2011, 12:01 --

Может попробовать доказать, что если циклическая группа разложена в прямую сумму, то все множители циклические? (Если это верно, конечно.) Тогда мы получим, что либо $\mathbb Z\simeq \mathbb Z_m\oplus\mathbb Z$, либо $\mathbb Z\simeq \mathbb Z\oplus \mathbb Z$ и показываем, что это невозможно. Если это верный путь, то как можно доказать 1-е предложение?

[nnosipov]

caxap в сообщении #449959 писал(а):

Задача 1.6. Доказать, что группа $\mathbb Z$ не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп.

Не решил. Хотя бы одна из подгрупп должна быть бесконечной; вся прямая сумма должна быть циклической. Есть и другие разбросанные мысли, но соединить их в доказательство не выходит...

-- 25 май 2011, 12:01 --

Может попробовать доказать, что если циклическая группа разложена в прямую сумму, то все множители циклические? (Если это верно, конечно.) Тогда мы получим, что либо $\mathbb Z\simeq \mathbb Z_m\oplus\mathbb Z$, либо $\mathbb Z\simeq \mathbb Z\oplus \mathbb Z$ и показываем, что это невозможно. Если это верный путь, то как можно доказать 1-е предложение?

Ну это же очень просто. Как Вы думаете, какие подгруппы могут быть у циклической группы?

[caxap]

nnosipov в сообщении #450111 писал(а):

Как Вы думаете, какие подгруппы могут быть у циклической группы?

$\simeq \mathbb Z_n,\mathbb Z$

[nnosipov]

caxap в сообщении #450115 писал(а):

$\simeq \mathbb Z_n,\mathbb Z$

А что такое $\mathbb Z_n$?

[caxap]

$=\mathbb Z/n\mathbb Z$ -- группа вычетов по модулю $n$.

[nnosipov]

caxap в сообщении #450122 писал(а):

$=\mathbb Z/n\mathbb Z$ -- группа вычетов по модулю $n$.

Эта группа из чего состоит? Из классов вычетов. А $\mathbb{Z}$ состоит из чисел. Какая же это подгруппа? Подумайте ещё раз. (Ответ у Вас уже мелькнул.)

[caxap]

Ой, пардон. Любая подгруппа $\mathbb Z$ имеет вид $m\mathbb Z$, $m\in \mathbb Z_{+}$.
$m\mathbb Z\simeq \mathbb Z$.

Я пытаюсь понять, к чему вы меня ведёте, но не понимаю... Нам же надо разложить $\mathbb Z$ в прямую сумму двух групп (точнее показать, что этого нельзя сделать). Причём тут подгруппы?

[nnosipov]

Ну вот, действительно, любая подгруппа $\mathbb{Z}$ есть $m\mathbb{Z}$ для некоторого целого $m$. Может ли сумма двух таких подгрупп быть прямой?

-- Ср май 25, 2011 22:26:48 --

caxap в сообщении #450131 писал(а):

Ой, пардон. Любая подгруппа $\mathbb Z$ имеет вид $m\mathbb Z$, $m\in \mathbb Z_{+}$.
$m\mathbb Z\simeq \mathbb Z$.

Я пытаюсь понять, к чему вы меня ведёте, но не понимаю... Нам же надо разложить $\mathbb Z$ в прямую сумму двух групп (точнее показать, что этого нельзя сделать). Причём тут подгруппы?

В условии задачи у Вас фигурируют именно подгруппы. Иначе пришлось бы говорить об изоморфизме.

[caxap]

nnosipov в сообщении #450135 писал(а):

Может ли сумма двух таких подгрупп быть прямой?

Нет. Пересечение $m\mathbb Z$ и $n\mathbb Z$ всегда бесконечно (они будут пересекаться в точках, кратных НОК $m,n$).

nnosipov в сообщении #450135 писал(а):

В условии задачи у Вас фигурируют именно подгруппы.

Ааа. Я читать разучился совсем. Я думал там требуется доказать, что $\mathbb Z$ нельзя разложить (в смысле изоморфизма) в прямую сумму произвольных групп. Кстати, а это утверждение верно?

[nnosipov]

caxap в сообщении #450144 писал(а):

Я думал там требуется доказать, что $\mathbb Z$ нельзя разложить (в смысле изоморфизма) в прямую сумму произвольных групп. Кстати, а это утверждение верно?

Фактически это то же утверждение, что мы только что доказали. (Есть два определения прямого произведении групп --- "внутреннее" и "внешнее". Посмотрите у Кострикина, там неплохо написано.)