Червоточины

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #454279 писал(а):

Вот как это можно сделать, я и пытаюсь понять.

Ну, одно линейное пространство на другое изоморфное вы можете отобразить бескоординатно? А здесь то же самое, просто целая функция таких отображений. Точнее, струя первого порядка.

вздымщик Цыпа в сообщении #454279 писал(а):

Связность — это же ведь дополнительная структура на многообразии, из него самого никак не вытекающая.

Смотря о каком многообразии речь. В гладкое и риманово многообразие связность входит как обязательная составляющая.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #454539 писал(а):

В гладкое и риманово многообразие связность входит как обязательная составляющая.

Там другая дополнительная структура есть — метрический тензор, а связность определяется требованием равенства нулю ковариантной производной метрического тензора. В любом случае без дополнительных структур не обойтись.

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #454583 писал(а):

Там другая дополнительная структура есть — метрический тензор

В римановом да. В гладком нет. Только аффинная связность и есть.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #454822 писал(а):

В гладком нет. Только аффинная связность и есть.

Возьмем ковариантное дифференцирование $\nabla_\alpha$ на многообразии и произвольное тензорное поле $T_{\alpha\beta}^\gamma$. Построим отображение $\bar\nabla_\alpha V^\gamma = \nabla_\alpha V^\gamma + T_{\alpha\beta}^\gamma V^\beta$. Легко прверить, что $\bar\nabla_\alpha$ — тоже ковариантное дифференцирование. Итак, имеем одно и то же многообразие и сколько угодно разных ковариантных дифференцирований на нем и, сооветственно, связностей. Так которая из них определяется самим многообразием и входит в него как обязательная составляющая?

[Morkonwen]

Просто попробую :
может та для которой
$\bar\nabla_\alpha g^{\beta \gamma} ==\bar\nabla_\alpha g_{\beta \gamma} == 0$

$g^{\beta \gamma}$-метрический тензор.
Это вроде очень харктерное свойство.

[вздымщик Цыпа]

Morkonwen в сообщении #455031 писал(а):

Просто попробую :
та для которой
$\bar\nabla_\alpha g^{\beta \gamma} ==\bar\nabla_\alpha g_{\beta \gamma} == 0$

Это да, но метрический тензор — доп. структура на многообразии. См. несколько сообщений выше.

[Morkonwen]

вздымщик Цыпа в сообщении #455037 писал(а):

См. несколько сообщений выше.

Ой да действительно. Ну я правда мало что там понял =) А чем различаются многообразия сами по себе между собой кроме топологии(?) ?? Если не вводить метрический тензор.

[Someone]

Morkonwen в сообщении #455039 писал(а):

Ой да действительно. Ну я правда мало что там понял =) А чем различаются многообразия сами по себе между собой кроме топологии(?) ?? Если не вводить метрический тензор.

Ничем. Топология - это самый нижний уровень. Затем можно вводить гладкую структуру, которая не обязана быть единственной, даже если ограничиться бесконечной гладкостью.

вздымщик Цыпа в сообщении #455025 писал(а):

Итак, имеем одно и то же многообразие и сколько угодно разных ковариантных дифференцирований на нем и, соответственно, связностей. Так которая из них определяется самим многообразием и входит в него как обязательная составляющая?

Никакая. Выбирайте любую. Получится многообразие со связностью.

Morkonwen в сообщении #455031 писал(а):

Просто попробую :
может та для которой
$\bar\nabla_\alpha g^{\beta \gamma} ==\bar\nabla_\alpha g_{\beta \gamma} == 0$

$g^{\beta \gamma}$-метрический тензор.
Это вроде очень харктерное свойство.

Требуется ещё условие отсутствия кручения. Если разрешить кручение, то связностей много и с метрическим тензором.

[Morkonwen]

Someone в сообщении #455113 писал(а):

Требуется ещё условие отсутствия кручения. Если разрешить кручение, то связностей много и с метрическим тензором.

Это условие означает, что при переносе по малому замкнутому контуру вектор совмещается с самим собой?

[вздымщик Цыпа]

Someone в сообщении #455113 писал(а):

Никакая. Выбирайте любую.

Вот и я об этом же.

Morkonwen в сообщении #455151 писал(а):

Это условие означает, что при переносе по малому замкнутому контуру вектор совмещается с самим собой?

Нет, для этого еще и нулевая кривизна нужна. Но при ненулевом кручении он совмещается еще хуже. Если правильно помню, то разница будет второго порядка малости, против третьего при нулевом кручении.

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #455025 писал(а):

Итак, имеем одно и то же многообразие и сколько угодно разных ковариантных дифференцирований на нем и, сооветственно, связностей. Так которая из них определяется самим многообразием и входит в него как обязательная составляющая?

Любая заранее оговорённая. Все остальные отличаются от неё на то самое тензорное поле.

вздымщик Цыпа в сообщении #455348 писал(а):

Вот и я об этом же.

И что в этом плохого?

Morkonwen в сообщении #455151 писал(а):

Это условие означает, что при переносе по малому замкнутому контуру вектор совмещается с самим собой?

При ненулевом кручении, кажется, вектор перестаёт совмещаться сам с собой при переносе взад-вперёд по одной линии. Но это я плохо помню.

[Morkonwen]

А что тогда значит нулевое кручение?

-- Вт июн 07, 2011 21:36:33 --

Munin в сообщении #455405 писал(а):

При ненулевом кручении, кажется, вектор перестаёт совмещаться сам с собой при переносе взад-вперёд по одной линии. Но это я плохо помню.

Если это так, то можно мою интуицию по диф геометрии смело отправлять в мусорку(он впрочем и не развита особо - не жалко)

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #455405 писал(а):

И что в этом плохого?

Ничего плохого. Просто вот это:

Munin в сообщении #454822 писал(а):

вздымщик Цыпа в сообщении #454583 писал(а):

Там другая дополнительная структура есть — метрический тензор

В римановом да. В гладком нет. Только аффинная связность и есть.

звучало так, как будто для гладкого многообразия ничего выбирать не надо, а связность в нем уже как-то определена. Ну да ладно.

Munin в сообщении #455405 писал(а):

При ненулевом кручении, кажется, вектор перестаёт совмещаться сам с собой при переносе взад-вперёд по одной линии.

Не-не, это точно не так.

-- Вт июн 07, 2011 21:48:24 --

Morkonwen в сообщении #455406 писал(а):

А что тогда значит нулевое кручение?

Буквально следующее: $\nabla_\alpha\nabla_\beta f = \nabla_\beta\nabla_\alpha f$ для любого скалярного поля $f$. Как это выглядит геометрически пожалуй пояснить затрудняюсь.

[Someone]

[1] Д.Громол, В.Клингенберг, В.Мейер. Риманова геометрия в целом. "Мир", Москва, 1971.

Morkonwen в сообщении #455151 писал(а):

Someone в сообщении #455113 писал(а):

Требуется ещё условие отсутствия кручения. Если разрешить кручение, то связностей много и с метрическим тензором.

Это условие означает, что при переносе по малому замкнутому контуру вектор совмещается с самим собой?

Нет, так будет, если тензор кривизны равен нулю.
Связь тензора кривизны с параллельным переносом по замкнутому контуру поясняется в [1], § 2.6, замечание (iii).

Morkonwen в сообщении #455406 писал(а):

А что тогда значит нулевое кручение?

[1], § 2.2, замечание (iii):

Цитата:

Нам не известно вполне удовлетворительное геометрическое истолкование тензора кручения.

Условие отсутствия кручения очень просто выражается в координатной форме и означает симметрию символов Кристоффеля: $\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$.

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #455414 писал(а):

звучало так, как будто для гладкого многообразия ничего выбирать не надо, а связность в нем уже как-то определена. Ну да ладно.

Надо выбирать связность, чтобы задать многообразие. И да, она в нём как-то определена, когда такое многообразие уже дано.

Someone в сообщении #455427 писал(а):

Цитата:

Нам не известно вполне удовлетворительное геометрическое истолкование тензора кручения.

Всё-таки не всё так плохо. На римановом языке, возможно, есть затруднения, но на языке касательного расслоения - проще. Жаль, что я плохо помню.