Пределы. Правило Лопиталя.

[kats]

и куча благодарностей!!!пожалуйста

[незваный гость]

kats писал(а):

с меня пиво,если напишешь!!!

не буду. Я уже научился, Ваш черед.

[kats]

незваный гость писал(а):

:evil:
Вас пытаются научить технике, а не трюкам. А техника — это Лопиталь и дифференцирование. Трюки, увы, работают не всегда. Так что, засучили рукава и…

ну пожалуйста!!!оч надо!!!я весь вечер над ним просижу!!!технику я то знаю!!!

[RIP]

Предлагаю модификацию метода. Заменить $\ctg^2x=\frac1{\sin^2x}-1$. Тогда числитель совсем простой будет.

[незваный гость]

Ладно, еще трюк — перейдите к двойному аргументу в синусах и косинусах. Лопиталя, оно, конешно, не изменит, но вот в производных будете меньше путаться.

[kats]

буду знать!!!

[Lion]

kats писал(а):

Lion писал(а):

По-моему, нужно пролопиталить только 2 раза: попробуйте продифференцировать один раз, выделить из получившейся дроби целую часть, потом оставшуюся дробь опять продифференцировать, и в полученной дроби разделить числитель и знаменатель на $x^2$. Ну а потом можно воспользоваться замечательными пределами...
P.S. Но вообще-то эта задача решается куда проще без Лопиталя...

целую часть я то выделил,продифферинцировал,но вот опять фигня какая то,на x² нет смысла делить

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

а еще больше меня смущает ответ 2/3 который там дан!!:( хотя зацикливаться на нем не стоит

Если Вы все сделаете правильно, то в результате получите такое выражение: $1-\frac{2\sin^2x}{\sin^2x + 2x\sin 2x+x^2\cos 2x}$. Поделив числитель и знаменатель на $x^2$, получите в пределе как раз 2/3.

[RIP]

Lion писал(а):

Если Вы все сделаете правильно, то в результате получите такое выражение: $1-\frac{2\sin^2x}{\sin^2x + 2x\sin x+x^2\cos 2x}$. Поделив числитель и знаменатель на $x^2$, получите в пределе как раз 2/3.

Только в знаменателе будет $\sin^2x + 2x\sin 2x+x^2\cos 2x$

[Lion]

Спасибо, сейчас поправлю...

[kats]

все,Спасибо всем!!!ток решил и догнал что к чему!!!вы меня выручили!!!благгдарю

[RIP]

Вот хорошая задачка для экзамена. Вычислить с помощью правила Лопиталя:D

$$\lim_{x\to0}\frac{\tg\sin x-\sin\tg x}{\arcsin\arctg x-\arctg\arcsin x}$$

[Lion]

Да, классная задача. Жаль, что и без Лопиталя надо считать о-о-очень долго.

[незваный гость]

Вспоминалось.

Мне почему-то, глядя на этот предел, вспоминается старое правило Го: «будем резать, будем жить». То есть, хочется не в лоб считать, а разбивая на части. И еще хочется ответ на вопрос: Пусть даны $f(x)$ и $g(x)$, разлагаемые в ряд Тейлора, $f(0) = g(0) = 0$. При каких условиях $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(g(x))-g(f(x))}{f^{-1}(g^{-1}(x))-g^{-1}(f^{-1}(x))} = 1$. То есть, насколько $\sin x$ и $\tg x$ важны?

[worm2]

Как минимум должно быть h'(0)=1, где h() = f(g()).
А лопиталить придётся 7 раз. Я попытался, сбился со счёта.

[незваный гость]

worm2 писал(а):

Как минимум должно быть h'(0)=1, где h() = f(g()).

$h'(0) = f'(0)g'(0) = 1$. Интересно.