Пределы. Правило Лопиталя.

[jak321]

bot писал(а):

Прежде всего заменяем $x^2$ на $x$:

$\lim\limits_{x\to\ 0 } \frac {1-\cos{x^2}} {x^2-\sin{x^2}} =\lim\limits_{x\to\ 0^{+} } \frac {1-\cos x} {x-\sin x} $

А теперь и без маркиза де Лопиталя ясно, что предел бесконечен, поскольку в числителе стоит величина второго порядка малости, а в знаменателе - третьего. Можно и знак уточнить: $+\infty$.

Всё хорошо, только Mathcad говорит $\lim\limits_{x\to\ 0 } \frac {1-\cos{x^2}} {x^2-\sin{x^2}} =0 $ ??? . В задании просили маркиза де Лопиталя позвать.

[bot]

jak321 писал(а):

Всё хорошо, только Mathcad говорит предел 0 ???

Я не пользую Mathcad и не знаю, может ли он ошибаться, скорее это ошибка пользователя.
Вы числитель со знаменателем не попутали или $x$ не отправили в $\infty$?

[jak321]

Проверял предел просто тупым вычислением, где вместо x подставлял число близкое к 0. Уже при пятом знаке после запятой появляется 0.

[bot]

Ну, хорошо, давайте позовём маркиза, только для упрощения я всё же первый шаг сделаю без него:

$\lim\limits_{x\to\ 0 } \frac {1-\cos{x^2}} {x^2-\sin{x^2}} =\lim\limits_{x\to\ 0^{+} } \frac {1-\cos x} {x-\sin x} = $

$\lim\limits_{x\to\ 0^{+} } \frac {\sin x} {1-\cos x} = \lim\limits_{x\to\ 0^{+} } \frac {\cos x} {\sin x} = +\infty$

P.S. Вы можете проделать то же самое без первого шага, но тогда Вам придётся при каждом применении правила Лопиталя сокращать множитель $2x$, только и всего. Результат, разумеется, будет тем же.

[jak321]

Спасибо. Всёравно, при любых преобразованиях в итоге приходил к этому. Только Mathcad смущал.

[незваный гость]

jak321 писал(а):

Только Mathcad смущал.

А Вы уверены, что Вы правильно записали все в MathCAD? Синтаксис пакетов частенько отличается от общепринятого.