2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение18.05.2011, 22:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #447399 писал(а):
А что вы думаете о моём интеграле? :-)

Что он -- красив. Хотя и понятия не имею (и иметь не хочу), какое отношение он имеет к исходной задачке. Но это и не важно. Самое главное -- что и топикстартеру это тоже неинтересно, совершенно точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение18.05.2011, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #447405 писал(а):
Что он -- красив. Хотя и понятия не имею (и иметь не хочу), какое отношение он имеет к исходной задачке. Но это и не важно.

Поскольку прямое и непосредственное, то это важно.

-- 18.05.2011 23:53:04 --

ewert в сообщении #447405 писал(а):
Самое главное -- что и топикстартеру это тоже неинтересно, совершенно точно.

Ну, он-то, возможно, и не сможет оценить, а вот на вас я надеялся...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение18.05.2011, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
А я считаю, что мой ответ самый лучший. При увеличении радиуса на $\Delta r$ объём цилиндра увеличивается на $\pi r^2\cdot \Delta r + 2\pi r\cdot r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$, то есть на крышечку и утолщение боковой стороны.

Имеем $\dfrac{dV}{dr}=3\pi r^2;\,\, V(0)=0$
Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R 3\pi r^2 dr$
Вотъ

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 01:15 
Заблокирован


18/05/11

28
Итак, по первому пункту пока имеем следующие варианты ответов:

1. $V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$ (ewert);

2. $\displaystyle V_c=\int\limits_{-r\sqrt{2}}^{r\sqrt{2}}dx\int\limits_{\lvert x\rvert-r\sqrt{2}}^{-\lvert x\rvert+r\sqrt{2}}dy\int\limits_{-\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}^{+\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}dz$ (munin);

3. $\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$ (creator777);

4. $$V(R)=\int\limits_0^R 3\pi r^2 dr$ (gris).

Никого не забыл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 03:36 
Заблокирован


18/05/11

28
gris в сообщении #447416 писал(а):
А я считаю, что мой ответ самый лучший. При увеличении радиуса на $\Delta r$ объём цилиндра увеличивается на $\pi r^2\cdot \Delta r + 2\pi r\cdot r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$, то есть на крышечку и утолщение боковой стороны.

Имеем $\dfrac{dV}{dr}=3\pi r^2;\,\, V(0)=0$
Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R 3\pi r^2 dr$
Вотъ


Небольшое-такое уточнение попрошу:

А если высота цилиндра равна трети радиуса основания, то:

1. На сколько увеличивается объем цилиндра при увеличении радиуса на $\Delta r$?

2. Какова будет интегральная формула объема такого цилиндра?

3. Чему будет равна производная объема, как функции, такого цилиндра?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 06:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
У такого цилиндра формула вычисляется из $\Delta V=\pi r^2\cdot \dfrac13\Delta r + 2\pi r\cdot \dfrac13 r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$

$\dfrac{dV}{dr}=3\cdot \dfrac13\pi r^2;\,\, V(0)=0$

Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R \pi r^2 dr$

То есть третий пункт будет выглядеть так:

$$V(R)=3\int\limits_0^R \pi r^2 dr$

Для соответствия формулировке надо переименовать переменные, что я делал, отвечая на вопрос в первый раз. Здесь мы действительно сталкиваемся с проблемой. Если решать дифур, как обычно, то интеграла просто не будет. А если оставить интеграл, то одна и та же переменная $r$ будет и в пределе интегрирования, и в самом интеграле, что не корректно.

Вот пример: найти $$F=\int\limits_r^r r\,dr$, если все четыре $r$ это четыре разных переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 07:28 
Заблокирован


18/05/11

28
gris в сообщении #447457 писал(а):
У такого цилиндра формула вычисляется из $\Delta V=\pi r^2\cdot \dfrac13\Delta r + 2\pi r\cdot \dfrac13 r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$
$\dfrac{dV}{dr}=3\cdot \dfrac13\pi r^2;\,\, V(0)=0$
Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R \pi r^2 dr$


Я не буду обозначать, где именно Вы ошибаетесь, потому, что отношусь к Вам с уважением - догадайтесь сами:

В предыдущем посте Вы что-то писали о "крышечке и утолщении боковой стороны". Хочу обратить Ваше внимание на то, что "крышечка" у этого "нового" цилиндра осталась, а "утолщение боковой стороны" исчезло вообще, т.е. стало равно нулю...(?)


Будьте так добры: расскажите предназначение двух буковок $R;r$.

Цитата:
То есть третий пункт будет выглядеть так:

$$V(R)=3\int\limits_0^R \pi r^2 dr$


Что-то я "в упор" не вижу высоты, равной одной третьей радиуса...

Цитата:
Для соответствия формулировке надо переименовать переменные, что я делал, отвечая на вопрос в первый раз. Здесь мы действительно сталкиваемся с проблемой. Если решать дифур, как обычно, то интеграла просто не будет. А если оставить интеграл, то одна и та же переменная $r$ будет и в пределе интегрирования, и в самом интеграле, что не корректно.

Вот пример: найти $$F=\int\limits_r^r r\,dr$, если все четыре $r$ это четыре разных переменных.


Чем Вам не нравится моя формула по первому пункту? В ней есть некорректности или ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 08:15 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
creator777 в сообщении #447464 писал(а):

Чем Вам не нравится моя формула по первому пункту? В ней есть некорректности или ошибки?

Есть некорректности или ошибки...

creator777 в сообщении #447015 писал(а):
1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.
Выразить $V_c$ в виде интеграла.


В Вашем вопросе $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$,
то есть радиус является аргументом этой функции.

creator777 в сообщении #447394 писал(а):
Вместо того, чтоб спокойненько ответить на первый пункт:

$\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$


А в Вашем ответе на Ваш вопрос
аргументом является не радиус, а высота...

Это есть некорректность или ошибка...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 08:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Ваша формула чисто формально вроде бы корректна, но она является одной из многих справедливых для задачи.
Утолщение боковой стороны (поверхности) у меня не исчезло. Оно равно $\Delta BP= 2\pi r\cdot \dfrac13 r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$.
При вычислении приращения объёма крышечки я использовал равенство $\Delta H=\dfrac13 \cdot \Delta r$ (это насчёт цилиндра с высотой в треть радиуса).

А насчёт $R$ я согласен, поэтому лучше формулу переписать в виде $$V(r)=\int\limits_0^r 3\pi R^2 dR$ (это для первоначального цилиндра. Ну или уж не побоюсь и напишу

$$V_c=\int\limits_0^r 3\pi r^2 dr$

Тема, конечно, затрагивает очень тонкие и глубокие вопросы, которые я сам чувствую интуитивно, но не могу формализовать. Однако, без конкретного намёка на то, что Вы там задумали, разговор напоминает самое красивое представление единички:

$1=1\times 1$

$$1=\int\limits_0^1 \,dx$

$1=e^{2\pi i}$

$1=1:1+0$

Все формулы верны, красивы и за каждой кроется громадный кусок теории.
Но какой смысл выбирать из них лучшую или предлагать сотню других?

Посредством Вашего вопроса Вы хотите привлечь внимание к какой-то нетривиальной проблеме. Ну так скажите, к какой? А то создаётся ложное (?) впечатление, что это просто пустопрожняя болтовня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 08:21 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
creator777 в сообщении #447436 писал(а):
Никого не забыл?

Можете меня добавить в коллекцию:
$V(r)=\pi \int\limits_0^R  R^2 dr$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 09:31 


20/12/09
1527
Смысл интегрирования в том, чтобы не решать такие задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 12:31 
Заблокирован


18/05/11

28
Лукомор в сообщении #447467 писал(а):
creator777 в сообщении #447464 писал(а):

В Вашем вопросе $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$,
то есть радиус является аргументом этой функции.

creator777 в сообщении #447394 писал(а):
Вместо того, чтоб спокойненько ответить на первый пункт:

$\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$


А в Вашем ответе на Ваш вопрос
аргументом является не радиус, а высота...

Это есть некорректность или ошибка...


Радиус - аргумент. Высота - переменная интегрирования...

Чёта у Вас какие-то пробелы в знаниях теории...

-- Чт май 19, 2011 13:38:05 --

Ales в сообщении #447481 писал(а):
Смысл интегрирования в том, чтобы не решать такие задачи.


Вы невнимательно читаете. Здесь уже был отмечен факт существования людей, которые скрывают своё незнание умничаньем...

-- Чт май 19, 2011 13:39:37 --

Лукомор в сообщении #447469 писал(а):
creator777 в сообщении #447436 писал(а):
Никого не забыл?

Можете меня добавить в коллекцию:
$V(r)=\pi \int\limits_0^R  R^2 dr$


Опять какая-то новая буква, отсутствующая в условии задачи. Объясните её смысл!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 13:17 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
creator777 в сообщении #447506 писал(а):
Радиус - аргумент. Высота - переменная интегрирования...

Опять какая-то новая буква, отсутствующая в условии задачи...

creator777 в сообщении #447506 писал(а):
Радиус - аргумент. Высота - переменная интегрирования...


А коль у Вас две переменных - радиус и высота, так извольте интегрировать дважды: по одной переменной и по второй!
А пока Вы тест не прошли... :-(

-- Чт май 19, 2011 12:28:52 --

creator777 в сообщении #447506 писал(а):
Опять какая-то новая буква, отсутствующая в условии задачи. Объясните её смысл!


Смысл простой:
Это высота, равная радиусу, который равен высоте... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 13:46 
Заблокирован


18/05/11

28
Лукомор в сообщении #447513 писал(а):
А коль у Вас две переменных - радиус и высота, так извольте интегрировать дважды: по одной переменной и по второй!
А пока Вы тест не прошли... :-(


Вот ведь как всё запущено...

Переменных две, а аргумент - один!!! И проинтегрировать достаточно один раз!

-- Чт май 19, 2011 14:50:00 --

gris в сообщении #447468 писал(а):
Все формулы верны, красивы и за каждой кроется громадный кусок теории.
Но какой смысл выбирать из них лучшую или предлагать сотню других?

Посредством Вашего вопроса Вы хотите привлечь внимание к какой-то нетривиальной проблеме. Ну так скажите, к какой? А то создаётся ложное (?) впечатление, что это просто пустопрожняя болтовня.


Пять баллов! Именно это и есть цель! Только Вы "вычислили" меня рановато...

Давайте что-нибудь по второму и третьему пунктикам...

-- Чт май 19, 2011 14:56:24 --

А что Вы скажете по этому поводу:

$\displaystyle\int f'(x)dx=f(x);\,\,\,  \int f'(x) \partial x=f(x)+C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1
Сообщение19.05.2011, 14:25 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Цитата:
Переменных две, а аргумент - один!!!

Какой-то бред.
Пусть $m$ - число аргументов подинтегральной функции, а $n$ - число переменных интегрирования.
Как может быть $m>n$ я понимаю, а вот как может быть $n>m$ - совсем не понимаю. Как проинтегрировать функцию по тому, от чего она не зависит?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group