Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #447399 писал(а):

А что вы думаете о моём интеграле?

Что он -- красив. Хотя и понятия не имею (и иметь не хочу), какое отношение он имеет к исходной задачке. Но это и не важно. Самое главное -- что и топикстартеру это тоже неинтересно, совершенно точно.

[Munin]

ewert в сообщении #447405 писал(а):

Что он -- красив. Хотя и понятия не имею (и иметь не хочу), какое отношение он имеет к исходной задачке. Но это и не важно.

Поскольку прямое и непосредственное, то это важно.

-- 18.05.2011 23:53:04 --

ewert в сообщении #447405 писал(а):

Самое главное -- что и топикстартеру это тоже неинтересно, совершенно точно.

Ну, он-то, возможно, и не сможет оценить, а вот на вас я надеялся...

[gris]

А я считаю, что мой ответ самый лучший. При увеличении радиуса на $\Delta r$ объём цилиндра увеличивается на $\pi r^2\cdot \Delta r + 2\pi r\cdot r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$, то есть на крышечку и утолщение боковой стороны.

Имеем $\dfrac{dV}{dr}=3\pi r^2;\,\, V(0)=0$
Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R 3\pi r^2 dr$
Вотъ

[creator777]

Итак, по первому пункту пока имеем следующие варианты ответов:

1. $V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$ (ewert);

2. $\displaystyle V_c=\int\limits_{-r\sqrt{2}}^{r\sqrt{2}}dx\int\limits_{\lvert x\rvert-r\sqrt{2}}^{-\lvert x\rvert+r\sqrt{2}}dy\int\limits_{-\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}^{+\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}dz$ (munin);

3. $\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$ (creator777);

4. $$V(R)=\int\limits_0^R 3\pi r^2 dr$ (gris).

Никого не забыл?

[creator777]

gris в сообщении #447416 писал(а):

А я считаю, что мой ответ самый лучший. При увеличении радиуса на $\Delta r$ объём цилиндра увеличивается на $\pi r^2\cdot \Delta r + 2\pi r\cdot r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$, то есть на крышечку и утолщение боковой стороны.

Имеем $\dfrac{dV}{dr}=3\pi r^2;\,\, V(0)=0$
Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R 3\pi r^2 dr$
Вотъ

Небольшое-такое уточнение попрошу:

А если высота цилиндра равна трети радиуса основания, то:

1. На сколько увеличивается объем цилиндра при увеличении радиуса на $\Delta r$?

2. Какова будет интегральная формула объема такого цилиндра?

3. Чему будет равна производная объема, как функции, такого цилиндра?

[gris]

У такого цилиндра формула вычисляется из $\Delta V=\pi r^2\cdot \dfrac13\Delta r + 2\pi r\cdot \dfrac13 r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$

$\dfrac{dV}{dr}=3\cdot \dfrac13\pi r^2;\,\, V(0)=0$

Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R \pi r^2 dr$

То есть третий пункт будет выглядеть так:

$$V(R)=3\int\limits_0^R \pi r^2 dr$

Для соответствия формулировке надо переименовать переменные, что я делал, отвечая на вопрос в первый раз. Здесь мы действительно сталкиваемся с проблемой. Если решать дифур, как обычно, то интеграла просто не будет. А если оставить интеграл, то одна и та же переменная $r$ будет и в пределе интегрирования, и в самом интеграле, что не корректно.

Вот пример: найти $$F=\int\limits_r^r r\,dr$, если все четыре $r$ это четыре разных переменных.

[creator777]

gris в сообщении #447457 писал(а):

У такого цилиндра формула вычисляется из $\Delta V=\pi r^2\cdot \dfrac13\Delta r + 2\pi r\cdot \dfrac13 r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$
$\dfrac{dV}{dr}=3\cdot \dfrac13\pi r^2;\,\, V(0)=0$
Из этого уравнения и начального условия получаем $$V(R)=\int\limits_0^R \pi r^2 dr$

Я не буду обозначать, где именно Вы ошибаетесь, потому, что отношусь к Вам с уважением - догадайтесь сами:

В предыдущем посте Вы что-то писали о "крышечке и утолщении боковой стороны". Хочу обратить Ваше внимание на то, что "крышечка" у этого "нового" цилиндра осталась, а "утолщение боковой стороны" исчезло вообще, т.е. стало равно нулю...(?)


Будьте так добры: расскажите предназначение двух буковок $R;r$.

Цитата:

То есть третий пункт будет выглядеть так:

$$V(R)=3\int\limits_0^R \pi r^2 dr$

Что-то я "в упор" не вижу высоты, равной одной третьей радиуса...

Цитата:

Для соответствия формулировке надо переименовать переменные, что я делал, отвечая на вопрос в первый раз. Здесь мы действительно сталкиваемся с проблемой. Если решать дифур, как обычно, то интеграла просто не будет. А если оставить интеграл, то одна и та же переменная $r$ будет и в пределе интегрирования, и в самом интеграле, что не корректно.

Вот пример: найти $$F=\int\limits_r^r r\,dr$, если все четыре $r$ это четыре разных переменных.

Чем Вам не нравится моя формула по первому пункту? В ней есть некорректности или ошибки?

[Лукомор]

creator777 в сообщении #447464 писал(а):

Чем Вам не нравится моя формула по первому пункту? В ней есть некорректности или ошибки?

Есть некорректности или ошибки...

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.
Выразить $V_c$ в виде интеграла.

В Вашем вопросе $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$,
то есть радиус является аргументом этой функции.

creator777 в сообщении #447394 писал(а):

Вместо того, чтоб спокойненько ответить на первый пункт:

$\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$

А в Вашем ответе на Ваш вопрос
аргументом является не радиус, а высота...

Это есть некорректность или ошибка...

[gris]

Ваша формула чисто формально вроде бы корректна, но она является одной из многих справедливых для задачи.
Утолщение боковой стороны (поверхности) у меня не исчезло. Оно равно $\Delta BP= 2\pi r\cdot \dfrac13 r\cdot \Delta r+o(\Delta r)$.
При вычислении приращения объёма крышечки я использовал равенство $\Delta H=\dfrac13 \cdot \Delta r$ (это насчёт цилиндра с высотой в треть радиуса).

А насчёт $R$ я согласен, поэтому лучше формулу переписать в виде $$V(r)=\int\limits_0^r 3\pi R^2 dR$ (это для первоначального цилиндра. Ну или уж не побоюсь и напишу

$$V_c=\int\limits_0^r 3\pi r^2 dr$

Тема, конечно, затрагивает очень тонкие и глубокие вопросы, которые я сам чувствую интуитивно, но не могу формализовать. Однако, без конкретного намёка на то, что Вы там задумали, разговор напоминает самое красивое представление единички:

$1=1\times 1$

$$1=\int\limits_0^1 \,dx$

$1=e^{2\pi i}$

$1=1:1+0$

Все формулы верны, красивы и за каждой кроется громадный кусок теории.
Но какой смысл выбирать из них лучшую или предлагать сотню других?

Посредством Вашего вопроса Вы хотите привлечь внимание к какой-то нетривиальной проблеме. Ну так скажите, к какой? А то создаётся ложное (?) впечатление, что это просто пустопрожняя болтовня.

[Лукомор]

creator777 в сообщении #447436 писал(а):

Никого не забыл?

Можете меня добавить в коллекцию:
$V(r)=\pi \int\limits_0^R R^2 dr$

[Ales]

Смысл интегрирования в том, чтобы не решать такие задачи.

[creator777]

Лукомор в сообщении #447467 писал(а):

creator777 в сообщении #447464 писал(а):

В Вашем вопросе $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$,
то есть радиус является аргументом этой функции.

creator777 в сообщении #447394 писал(а):

Вместо того, чтоб спокойненько ответить на первый пункт:

$\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$

А в Вашем ответе на Ваш вопрос
аргументом является не радиус, а высота...

Это есть некорректность или ошибка...

Радиус - аргумент. Высота - переменная интегрирования...

Чёта у Вас какие-то пробелы в знаниях теории...

-- Чт май 19, 2011 13:38:05 --

Ales в сообщении #447481 писал(а):

Смысл интегрирования в том, чтобы не решать такие задачи.

Вы невнимательно читаете. Здесь уже был отмечен факт существования людей, которые скрывают своё незнание умничаньем...

-- Чт май 19, 2011 13:39:37 --

Лукомор в сообщении #447469 писал(а):

creator777 в сообщении #447436 писал(а):

Никого не забыл?

Можете меня добавить в коллекцию:
$V(r)=\pi \int\limits_0^R R^2 dr$

Опять какая-то новая буква, отсутствующая в условии задачи. Объясните её смысл!

[Лукомор]

creator777 в сообщении #447506 писал(а):

Радиус - аргумент. Высота - переменная интегрирования...

Опять какая-то новая буква, отсутствующая в условии задачи...

creator777 в сообщении #447506 писал(а):

Радиус - аргумент. Высота - переменная интегрирования...

А коль у Вас две переменных - радиус и высота, так извольте интегрировать дважды: по одной переменной и по второй!
А пока Вы тест не прошли...

-- Чт май 19, 2011 12:28:52 --

creator777 в сообщении #447506 писал(а):

Опять какая-то новая буква, отсутствующая в условии задачи. Объясните её смысл!

Смысл простой:
Это высота, равная радиусу, который равен высоте...

[creator777]

Лукомор в сообщении #447513 писал(а):

А коль у Вас две переменных - радиус и высота, так извольте интегрировать дважды: по одной переменной и по второй!
А пока Вы тест не прошли...

Вот ведь как всё запущено...

Переменных две, а аргумент - один!!! И проинтегрировать достаточно один раз!

-- Чт май 19, 2011 14:50:00 --

gris в сообщении #447468 писал(а):

Все формулы верны, красивы и за каждой кроется громадный кусок теории.
Но какой смысл выбирать из них лучшую или предлагать сотню других?

Посредством Вашего вопроса Вы хотите привлечь внимание к какой-то нетривиальной проблеме. Ну так скажите, к какой? А то создаётся ложное (?) впечатление, что это просто пустопрожняя болтовня.

Пять баллов! Именно это и есть цель! Только Вы "вычислили" меня рановато...

Давайте что-нибудь по второму и третьему пунктикам...

-- Чт май 19, 2011 14:56:24 --

А что Вы скажете по этому поводу:

$\displaystyle\int f'(x)dx=f(x);\,\,\, \int f'(x) \partial x=f(x)+C$

[serval]

Цитата:

Переменных две, а аргумент - один!!!

Какой-то бред.
Пусть $m$ - число аргументов подинтегральной функции, а $n$ - число переменных интегрирования.
Как может быть $m>n$ я понимаю, а вот как может быть $n>m$ - совсем не понимаю. Как проинтегрировать функцию по тому, от чего она не зависит?