Непрерывность и предел

[bigarcus]

(Оффтоп)

Цитата:

подупачиться

Думаю просто Олег Эдуардович случайно вместо "р" напечатал "п", они рядышком на клавиатуре расположены.

-- Пн май 09, 2011 20:20:17 --

Цитата:

То Вы обнаруживаете математическую невинность, то собираетесь к Вербицкому на лекции.
То ли Вы не понимаете конкретных, "технических" вещей, то ли основания математики задумали поворошить.

Я обнаруживаю математическую невинность и собираюсь к Вербицкому на лекции.
Я не понимаю и конкретных вещей и оснований математики.

-- Пн май 09, 2011 20:23:38 --

Да, gris, пока что у меня не получается сразу сформулировать даже вопрос. И я представляю что на изменяющиеся сообщения не очень-то приятно отвечать. Спасибо что сориентировались!

[ewert]

(Оффтоп)

bigarcus в сообщении #444094 писал(а):

Думаю просто Олег Эдуардович случайно вместо "р" напечатал "п", они рядышком на клавиатуре расположены.

но мог просто и нецензурно выразиться, с него это станется (собственно, со всех нас это станется). Откуда и анекдот.

[Munin]

bigarcus в сообщении #444076 писал(а):

А как можно "просто" убегать на бесконечность?Число может быть или положительным, или отрицательным, а как оно может "просто" быть числом?

Одно число, конечно, не может быть "просто" (если это не нуль), но одно число и вообще убегать никуда не может! А последовательность чисел может очень многое. Рассмотрите, например, последовательность чисел $1,-2,3,-4,\ldots,(-1)^{n-1}n,\ldots$ Числа в ней нарастают по модулю, но не идут строем ни в сторону $+\infty,$ ни в сторону $-\infty.$ Такие числа и называют уходящими "просто на бесконечность". Они принадлежат "окрестностям бесконечности" вида $(-\infty,-C)\cup(C,+\infty)$ для некторых $C\in\mathbb{R}^{+}.$

bigarcus в сообщении #444076 писал(а):

А теперь что - разве ушли от термина "бесконечные малые величины" и заменили его как-то с помощью термина "предел"?

От термина не ушли, но его смысл теперь определяют (в смысле, дефинируют) именно через предел. По крайней мере, в классическом анализе. Понятие предела - более базовый кирпичик.

[bigarcus]

(Оффтоп)

Цитата:

но мог просто и нецензурно выразиться

Ой ли. Профессор МГУ, однако.

Спасибо, Munin, очень понятно объясняете!

[Виктор Викторов]

Munin в сообщении #444128 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444096 писал(а):

А, конкретно, что Вам не нра?

Языковая стилистика.

Кое-что о стилистике. С моей точки зрения идеален вариант Джона Келли «Отображение $f$ топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ называется непрерывным в точке $x\in X$ тогда и только тогда, когда [полный] прообраз каждой окрестности $f(x)$ при отображении $f$ является окрестностью точки $x$.» Джон Л. Келли «Общая Топология». Перевод с английского А. В. Архангельского. Издание второе. Москва «Наука» 1981. Страница 123.

Надо только иметь в виду что под окрестностью Келли разумеет «Подмножество $U$ топологического пространства $(X, F)$ называется окрестностью ($F$-окрестностью) точки $x$ тогда и только тогда, когда в $U$ лежит открытое множество, содержащее $x$. … Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.» Страница 62 той же книги. Но вдумайтесь сколько надо знать, чтобы переварить это определение.

А мое определение:
« Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если по каждому $ \varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для каждой точки $x$ из открытой окрестности точки $x_0$ открытого интервала $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, значение функции $f(x)$ имеет место быть в открытой окрестности точки $f(x_0)$ открытом интервале $( f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$»,
конечно, хуже. Но оно работает при минимуме знаний, раскрывая максимум возможностей. Школьник или студент, умеющий обращаться с элементарными функциями легко справится с этим определением и не заметит как он уже хорошо понимает что такое непрерывность функции в точке. Но можно и нужно идти дальше. Это определение можно и нужно испытывать на прочность. Например: А функция $\sqrt x$ непрерывна при $x=0{?}$ А дальше, ослабляя это определение, получаем все прелести предела функции в точке причем весьма естественным образом.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #444090 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #443214 писал(а):

но раз Вам охота подупачиться,

Только сейчас заметил, и не могу не оффтопнуться. Поскольку забавно. Это у Вас просто обычная очепятка -- или так и впрямь было задумано?...

я просто "п" и "р" перепутал

-- Вт май 10, 2011 11:46:25 --

ewert в сообщении #444105 писал(а):

нецензурно выразиться, с него это станется

я , конечно , могу и выразиться, но какие у Вас эта опечатка вызвала ассоциации -- ума не приложу, Вы ,видимо, более продвинутый чем я

-- Вт май 10, 2011 12:07:27 --

bigarcus в сообщении #443957 писал(а):

Oleg Zubelevich, то есть, лекции Вербицкого лучше не читать?

Про предел я там ляпов не нашел, хотя и изложение не традиционное. Читать, по-моему надо классические учебники. Зорич, Л. Шварц, Рудин, Никольский

[svv]

Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

Вот какие ассоциации: http://translate.google.com.ua/?hl=ru&tab=wT#pl|ru|dupa
Чем западнее, тем более известно это слово.

[Munin]

bigarcus в сообщении #444156 писал(а):

Спасибо, Munin, очень понятно объясняете!

Вот как-то другие высокомудрёные собеседники не замечают, что вам-то надо именно объяснять, о чём речь. А может, им просто охота поболтать о своём...

Виктор Викторов в сообщении #444198 писал(а):

Школьник или студент, умеющий обращаться с элементарными функциями легко справится с этим определением и не заметит как он уже хорошо понимает что такое непрерывность функции в точке.

Такого не бывает, чтобы сразу было понимание. Он должен сначала выполнить ряд упражнений. Хотя бы проверить, непрерывны ли $x^2$ всюду, $|x|$ и $\sqrt{|x|}$ в нуле, воспроизводит ли это определение интуитивные представления об отсутствии непрерывности у $\tfrac{1}{x},$ $\tfrac{|x|}{x}$ и $\operatorname{sgn}x$ в нуле.

А ещё не забывайте, что это будет скорей всего первое или второе встретившееся школьнику или студенту $\varepsilon\text{--}\delta$-определение, и ему ещё надо освоиться с его логикой, разобраться в ней, разобраться в кванторах, чтобы не запутаться, в какую сторону всё работает. Это для новичка очень тяжело, и делается отнюдь не на автоматизме.

Виктор Викторов в сообщении #444198 писал(а):

Это определение можно и нужно испытывать на прочность. ...А дальше, ослабляя это определение...

А зачем его ослаблять в рамках начал анализа? Вы всё рвётесь к вершинам, в другие разделы математики, но забраться в них нельзя, не усвоив прочно азов, а курс начал анализа именно этому и посвящён, и часы на него тратятся заслуженно.

-- 10.05.2011 17:11:16 --

Виктор Викторов в сообщении #444198 писал(а):

Кое-что о стилистике. С моей точки зрения идеален вариант Джона Келли

Да к Келли-то никаких претензий. А вот ваш ужасающий оборот

Виктор Викторов в сообщении #444198 писал(а):

из открытой окрестности точки $x_0$ открытого интервала $(x_0-\delta, x_0+\delta)$

вы сами можете прочитать без запинки? И что в нём имеется в виду? Что указанный интервал - это и есть упоминаемая окрестность? Что точка берётся из интервала (тогда, насколько произвольно, и что тогда вообще такое окрестность точки)? Бедный школьник, который столкнётся с вашим определением! В таком столкновении выживет явно не он!

[Виктор Викторов]

Munin в сообщении #444327 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444198 писал(а):

Школьник или студент, умеющий обращаться с элементарными функциями легко справится с этим определением и не заметит как он уже хорошо понимает что такое непрерывность функции в точке.

Такого не бывает, чтобы сразу было понимание. Он должен сначала выполнить ряд упражнений. Хотя бы проверить, непрерывны ли $x^2$ всюду, $|x|$ и $\sqrt{|x|}$ в нуле, воспроизводит ли это определение интуитивные представления об отсутствии непрерывности у $\tfrac{1}{x},$ $\tfrac{|x|}{x}$ и $\operatorname{sgn}x$ в нуле.
А ещё не забывайте, что это будет скорей всего первое или второе встретившееся школьнику или студенту $\varepsilon\text{--}\delta$-определение, и ему ещё надо освоиться с его логикой, разобраться в ней, разобраться в кванторах, чтобы не запутаться, в какую сторону всё работает. Это для новичка очень тяжело, и делается отнюдь не на автоматизме.

Я зря пошутил. Я имел в виду, что, если пропустить теорию пределов и на первой же лекции по мат. анализу выдать это определение непрерывности, а потом заняться проверкой непрерывности по Вами же указанному плану, то с одной стороны у студента достаточно знаний для понимания этого определения, а с другой стороны, разобрав Вами приведенные примеры, студент поймет что такое непрерывность.

Munin в сообщении #444327 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444198 писал(а):

Это определение можно и нужно испытывать на прочность. ...А дальше, ослабляя это определение...

А зачем его ослаблять в рамках начал анализа? Вы всё рвётесь к вершинам, в другие разделы математики, но забраться в них нельзя, не усвоив прочно азов, а курс начал анализа именно этому и посвящён, и часы на него тратятся заслуженно.

Видимо, я разучился излагать свои мысли. Я имел в виду сначала ввести непрерывность с помощью этого определения, а потом, ослабляя его ввести понятие предела.

[Munin]

Виктор Викторов в сообщении #444349 писал(а):

Я имел в виду сначала ввести непрерывность с помощью этого определения, а потом, ослабляя его ввести понятие предела.

А, если в рамках одного курса, поставив непрерывность раньше пределов, то тогда, конечно.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #444266 писал(а):

Вы ,видимо, более продвинутый чем я

svv в сообщении #444281 писал(а):

Вот какие ассоциации: http://translate.google.com.ua/?hl=ru&tab=wT#pl|ru|dupa
Чем западнее, тем более известно это слово.

Чего-то это ссылка ничего не выдаёт.

Я совершенно непродвинут и, в частности, совершенно не знаю польского. Но зато помню Швейка и потому помню, что означает "дупа" в переводе с польского.

Munin в сообщении #444428 писал(а):

А, если в рамках одного курса, поставив непрерывность раньше пределов, то тогда, конечно.

Повторюсь, но -- даже для математиков это вредно. В первом семестре. В школе ведь пределов, строго говоря, вообще нет. Поэтому сперва их надо всё-таки пощупать пальчиками.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #444637 писал(а):

Повторюсь, но -- даже для математиков это вредно. В первом семестре. В школе ведь пределов, строго говоря, вообще нет. Поэтому сперва их надо всё-таки пощупать пальчиками.

Наконец-то, ewert, я с Вами не согласен. Именно это определение дает возможность «пощупать пальчиками» непрерывность, и показывает что именно непрерывность в доме хозяин, а предел только обслуживающий непрерывность инструмент.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #444637 писал(а):

совершенно не знаю польского. Но зато помню Швейка

А я вот помню, что Швейк был не поляк, а чех...

Виктор Викторов в сообщении #444664 писал(а):

...и показывает что именно непрерывность в доме хозяин, а предел только обслуживающий непрерывность инструмент.

В принципе, идея соблазнительная, но я так понимаю, ей ещё очень далеко до реализации в виде конкретного курса матанализа с выстроенной логикой изложения без скачков и пробелов.

Но я до конца не уверен в том, что "предел только обслуживающий непрерывность инструмент". Конечно, он обслуживает непрерывность, но не только непрерывность. Не могли бы вы сформулировать без понятия предела (можно с использованием непрерывности):
- понятия горизонтальной, наклонной и вертикальной асимптоты;
- понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины $n$-го порядка;
- понятие производной от функции в точке;
- понятие интеграла Римана?

[Виктор Викторов]

Munin в сообщении #444684 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444664 писал(а):

...и показывает что именно непрерывность в доме хозяин, а предел только обслуживающий непрерывность инструмент.

В принципе, идея соблазнительная, но я так понимаю, ей ещё очень далеко до реализации в виде конкретного курса матанализа с выстроенной логикой изложения без скачков и пробелов.

Но я до конца не уверен в том, что "предел только обслуживающий непрерывность инструмент". Конечно, он обслуживает непрерывность, но не только непрерывность. Не могли бы вы сформулировать без понятия предела (можно с использованием непрерывности):
- понятия горизонтальной, наклонной и вертикальной асимптоты;
- понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины $n$-го порядка;
- понятие производной от функции в точке;
- понятие интеграла Римана?

Хороший список. Вы хорошо заметили, что предел обслуживает «не только непрерывность». Сформулировать, конечно, можно, но боюсь, что это будет по выражению Зощенко маловысокохудожественно. Кстати, понятие производной от функции в точке я уже сформулировал topic35884.html

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #444684 писал(а):

А я вот помню, что Швейк был не поляк, а чех..

Но и польские цитаты в нём случались (не говоря уж о немецких). И даже комментировались. Что и запомнилось.

Швейк -- вообще гениален, а это -- лишь его эпизод.

Виктор Викторов в сообщении #444664 писал(а):

Именно это определение дает возможность «пощупать пальчиками» непрерывность,

Нет. Конкретный предел (когда мы пытаемся идти туды, а приходим, вот как интересно, сюды) -- это именно то, что можно пощупать пальчиками, во вполне конкретных приложениях. Топологическая же непрерывность -- это уже абстракция более высокого уровня. И, значит, должна идти позже.