Непрерывность и предел

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #443214 писал(а):

По-Вашему определение Вербицкого эквивалентно стандартному?

А я честно отвечу. Мне лень в этом разбираться. Вербицкий, при всей своей экстравагантности -- вполне традиционен. И грамотен, безусловно. Значит, и его "определение" (которого, повторю, я не знаю и знать не хочу) -- наверняка грамотно и эквивалентно. Ньюанецы мне не интересны.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #443223 писал(а):

А я честно отвечу. Мне лень в этом разбираться. Вербицкий, при всей своей экстравагантности -- вполне традиционен. И грамотен, безусловно. Значит, и его "определение" (которого, повторю, я не знаю и знать не хочу) -- наверняка грамотно и эквивалентно.

Хорошо, Вам ewert можно дальше не читать, а для тех, кто не избирал Мишу своим пророком, я поясню.
Вербицкий дает определение пространств Фреше. По сравнению со стандартным определением, Вербицкий пропускает условие метризуемости пространства. В результате этого, например, теорема об открытости отображения делается, вообще говоря, неверной для тех пространств, которые Вербицкий называет пространствами Фреше.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #443254 писал(а):

И я отвечу по теме про окрестность бесконечности на действительной прямой.
Интервал ${(-\infty;a)$ будет окрестностью минус бесконечности, интервал $(a;\infty)$ — плюс бесконечности.

Либо туда, либо сюда. А мешать всё в одну кучу не надо. Либо у нас числовая прямая и нет точек $-\infty$ и $+\infty{.}$ И соответственно нет и их окрестностей. И вполне работает Ваше

gris в сообщении #443254 писал(а):

Определение: $\lim \{a_n\}=+\infty \Leftrightarrow \forall A \,\,\exists N: \forall n>N \,a_n>A$

Либо у нас расширенная числовая прямая. И, пожалуйста, не говорите, что это одно и тоже. Расширенная числовая прямая компактное пространство, а числовая прямая – нет.

[Joker_vD]

Виктор Викторов
А почему нельзя определить для функции четыре понятия предела — отдельно в точке, отдельно на плюс бесконечности, отдельно на минус, и отдельно на просто бесконечности?

[Виктор Викторов]

Что такое «просто бесконечность» я просто не знаю. Да, действительно существует расширенная числовая прямая, где плюс и минус бесконечности бесконечно удаленные точки. Так можно. Но не надо скрещивать слона с бараном. Мы-то говорили об обычной числовой прямой. Вот я и сказал либо туда, либо сюда.

[Munin]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #443010 писал(а):

...а вы оба явно закончили первый семестр первого курса. Причём давно.

Это в смысле "и забыли прочно"? ;-)

gris в сообщении #443254 писал(а):

И я отвечу по теме про окрестность бесконечности на действительной прямой.

Ещё стоит дефинировать окрестность просто бесконечности, как дополнение к замкнутому шару.

Виктор Викторов в сообщении #443261 писал(а):

Либо туда, либо сюда. А мешать всё в одну кучу не надо.

Не вижу проблемы. Исходное пространство (числовая прямая) - одно. Множество его предельных точек (расширенная числовая прямая) - другое. Функции существуют из первого в первое, их пределы - из второго в второе. Где спотык?

Понятие предельной точки множества на действительной прямой посильно первокурснику.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #443301 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443010 писал(а):

...а вы оба явно закончили первый семестр первого курса. Причём давно.

Это в смысле "и забыли прочно"?

Ровно наоборот. Вы оба опытные люди. ewert имел в виду, что написанное мной слишком сложно для автора темы.

Munin в сообщении #443301 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443261 писал(а):

Либо туда, либо сюда. А мешать всё в одну кучу не надо.

Не вижу проблемы. Исходное пространство (числовая прямая) - одно. Множество его предельных точек (расширенная числовая прямая) - другое. Функции существуют из первого в первое, их пределы - из второго в второе. Где спотык?

Спотык в том, где я нахожусь. Если на числовой прямой, то это пространство, например, не является компактным и нет никаких бесконечностей и их окрестностей. А если я на расширенной числовой прямой, то это просто другая топология.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #443171 писал(а):

Я Мишу Вербицкого не читал (ну почти не читал), но скажу. Если он и впрямь так (изначально!) определял предел -- то он глубоко неправ. Ибо изначальное определение предела дано вот ровно в том приводившемся тут анекдоте: если мы будем тыр-пырить, приближаясь к нашей предельной точке (что бы под ней ни подразумевалось) -- то и наши значения будут хоть к чему-то, да приближаться.

Речь идет о пределе последовательности, определение Вербицкого в точности эквивалентно обычному. Вообще он изначально определял предел через эквивалентность последовательностей, приведенное у него было критерием, но это детали.

-- Вс май 08, 2011 10:33:57 --

Виктор Викторов в сообщении #443293 писал(а):

Что такое «просто бесконечность» я просто не знаю.

Она возникает при одноточечной компактификации.

[Joker_vD]

Виктор Викторов в сообщении #443308 писал(а):

Спотык в том, где я нахожусь. Если на числовой прямой, то это пространство, например, не является компактным и нет никаких бесконечностей и их окрестностей.

И что? Это помешает как-то ввести нам два особых предела? Хотя бы как сокращение в речи для "с неограниченным увеличением/уменьшением аргумента, значение функции становится сколь угодно близким к тому-то"? Вон, когда изучают аффинную модель гиперэллиптической кривой, там тоже бесконечную точку вводят, никуда не приклеивая.

И потом, что значит "нет бесконечностей и их окрестностей"? Бесконечностей — нет, а окрестности — есть. Воспринимайте "окрестность бесконечности" просто как термин для открытого луча, который случайно созвучен другому термину.

[Munin]

Виктор Викторов в сообщении #443308 писал(а):

Спотык в том, где я нахожусь.

А что это за математическое понятие "где я нахожусь"?

Давайте выберемся на макроуровень. Утверждения "данная функция имеет такой-то предел на $\infty$", "имеет такой-то предел на $+\infty$", "не имеет предела на $\infty$", "не имеет предела на $+\infty$" сами по себе могут относиться к разным пространствам (хотя первокурсникам сообщать об этом и не обязательно). Важно другое: эти утверждения содержательны и полезны на некотором этапе матанализа для исследования некоторых функций. Потом от них естественно идёт дорожка к понятиям "данная функция имеет наклонную асимптоту на $+\infty$", "данная функция имеет такую-то степенную асимптотику на $\infty$", к интегрируемостям, вычетам в бесконечности, и пр. С ними важно познакомить, дать освоиться, выработать образы и интуицию. Подробности на этом этапе не нужны, они просто задавят ум до невозможности пошевелиться. Сперва надо познакомиться с тем, что общего в разных объектах, и только потом вводить отличия. А отличий полно: между функциями, заданными формулой, и нарисованным от руки графиком, между одной и двумя бесконечностями, между действительным и комплексным анализом... Так что я против вашего тезиса, что "мешать всё в одну кучу не надо". На раннем этапе - надо.

А то иначе получится "в первом семестре мы будем изучать анатомию левой половины человека, а во втором семестре - анатомию правой половины человека".

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #443404 писал(а):

И потом, что значит "нет бесконечностей и их окрестностей"? Бесконечностей — нет, а окрестности — есть.

Окрестность точки – некое множество, содержащее эту точку. Детали вот здесь topic35991.html Поэтому: нет точки – не существует и её (точки) окрестность.

Joker_vD в сообщении #443404 писал(а):

Воспринимайте "окрестность бесконечности" просто как термин для открытого луча, который случайно созвучен другому термину.

Оригинальное предложение. А можно проще? Существует понятие окрестность множества. Окрестность множества – это некое множество содержащее данное множество. Определяется в том же ключе как окрестность точки.

Munin в сообщении #443536 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443308 писал(а):

Спотык в том, где я нахожусь.

А что это за математическое понятие "где я нахожусь"?

Уважаемый Munin! Вы правы. Такого математического понятия "где я нахожусь" не существует. Поэтому давайте изменим вопрос так: Какое топологическое пространство мы рассматриваем?

Что касается макроуровня, то я совсем даже «за», но только с добавлением слов: для того, чтобы разговаривать на макроуровне давайте рассмотрим такое топологическое пространство и дальше описание пространства и причины почему мы хотим его рассмотреть.

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #443310 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443293 писал(а):

Что такое «просто бесконечность» я просто не знаю.

Она возникает при одноточечной компактификации.

Я разве против? Просто тема и так перегружена. С удовольствием поговорю про компактификацию, но в другой теме.

[Joker_vD]

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Какое топологическое пространство мы рассматриваем?

Вам лишь бы все топологические пространства рассматривать...

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Окрестность точки – некое множество, содержащее эту точку.

А мы не будем считать бесконечность точкой, и дело в шляпе.

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Существует понятие окрестность множества. Окрестность множества – это некое множество содержащее данное множество. Определяется в том же ключе как окрестность точки.

Ну да. И что?

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #443605 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Какое топологическое пространство мы рассматриваем?

Вам лишь бы все топологические пространства рассматривать...

Простите! Я не знал, что это преступление.

Joker_vD в сообщении #443605 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Окрестность точки – некое множество, содержащее эту точку.

А мы не будем считать бесконечность точкой, и дело в шляпе.

Про шляпу промолчу. Эту «бестелесную» бесконечность рассматривайте сами. А по существующим определениям окрестность имеет место быть у точек и множеств.

Joker_vD в сообщении #443605 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Существует понятие окрестность множества. Окрестность множества – это некое множество содержащее данное множество. Определяется в том же ключе как окрестность точки.

Ну да. И что?

А то, что у Вашего «открытого луча», как и у каждого множества, есть окрестность. В том числе и сам этот открытый луч является своей окрестностью.

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов в сообщении #443620 писал(а):

Про шляпу промолчу. Эту «бестелесную» бесконечность рассматривайте сами. А по существующим определениям окрестность имеет место быть у точек и множеств.

В принципе, никто не мешает определить предел в бесконечности с помощью сети или фильтра, точка для этого не нужна.

[Joker_vD]

Хорошо, беру назад свои слова про "окрестность бесконечности". Даже если мы не можем такие окрестности ввести (хотя почему? Любую вещь можно назвать окрестностью, надо лишь договориться об этом), мы все равно можем определить такие пределы на бесконечностях:

Пусть функция $f(x)$ заданна на таком множестве $X$, которое для любого $A > 0$ всегда имеет хотя бы один элемент, лежащий вне $[-A,+A]$. Будем называть число $b$ пределом функции $f(x)$ при $x \to \infty$, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ соответствующая последовательность значений функции $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ сходится к $b$.

Пусть функция $f(x)$ заданна на таком множестве $X$, которое для любого $A > 0$ всегда имеет хотя бы один элемент, больший $A$ (меньший $-A$). Будем называть число $b$ пределом функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ (при $x \to -\infty$), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента $(x_n)_{n=1}^{\infty}$, все элементы которой начиная с некоторого номера положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ сходится к $b$.