2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение07.05.2011, 20:12 
Ales в сообщении #443159 писал(а):
Чтобы понять, можно что-нибудь приближенно вычислить, например число $e$ - основание натурального логарифма.
После этого можно придумать определение

После этого уже ничего, решительно ничего не удастся придумать.

Определение -- первично; и лишь после того, как оно сформулировано -- имеет смысл разговор о том, имеет ли это определение смысл и (если имеет) как добраться до собственно объекта.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение07.05.2011, 20:15 
ewert в сообщении #443163 писал(а):
После этого уже ничего, решительно ничего не удастся придумать.

Коши ведь как-то придумал свое определение. Чтобы лучше понять, надо пройти этот путь.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение07.05.2011, 20:25 
Виктор Викторов в сообщении #443154 писал(а):
Если сделать окрестности вложенными и добавить "начиная с некоторой", то станет совсем хорошо.

Здесь это не нужно.

Цитата:
Я бы так переформулировал Вашу идею: "$A$ есть предел последовательности, если вне любой окрестности $A$ содержится не более чем конечное число членов последовательности."

Вроде бы, определение из Вербицкого в точности :)

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение07.05.2011, 20:37 
Kallikanzarid в сообщении #443168 писал(а):
Вроде бы, определение из Вербицкого в точности :)

Я Мишу Вербицкого не читал (ну почти не читал), но скажу. Если он и впрямь так (изначально!) определял предел -- то он глубоко неправ. Ибо изначальное определение предела дано вот ровно в том приводившемся тут анекдоте: если мы будем тыр-пырить, приближаясь к нашей предельной точке (что бы под ней ни подразумевалось) -- то и наши значения будут хоть к чему-то, да приближаться.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение07.05.2011, 23:09 
Аватара пользователя
А Вы ушли от темы. У нас — про пределы, а не про пространства Фреше.

И я отвечу по теме про окрестность бесконечности на действительной прямой.
Интервал ${(-\infty;a)$ будет окрестностью минус бесконечности, интервал $(a;\infty)$ — плюс бесконечности.

Определение: $\lim \{a_n\}=+\infty \Leftrightarrow \forall A \,\,\exists N: \forall n>N \,a_n>A$, что совершенно эквивалентно тому, что вне любой окрестности плюс бесконечности содержится не более, чем конечное число членов последовательности.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 18:23 
ой, а что случилось с продолжением :cry: (3 страницы исчезли)?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 18:37 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

bigarcus в сообщении #444044 писал(а):
ой, а что случилось с продолжением :cry: (3 страницы исчезли)?
Действительно, что произошло? Свяжитесь с модератором!

А пока вот такая идея: Давайте предположим, что мы никогда не слышали слово «предел» и словосочетание «топологическое пространство». А теперь дадим определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$. Итак,

Oпределение: Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если по каждому $ \varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для каждой точки $x$ из открытой окрестности точки $x_0$ открытого интервала $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, значение функции $f(x)$ имеет место быть в открытой окрестности точки $f(x_0)$ открытом интервале $( f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$.

А дальше для определения предела ослаблять это определение непрерывности.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 18:44 
Аватара пользователя
Дискуссия о преподавании теории пределов просто отделена в новую тему.
А тут вроде бы всё выяснили.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 18:49 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Эт куда же нас услали? Дайте ниточку!

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 18:54 
Аватара пользователя
http://dxdy.ru/topic45321.html

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 19:09 
Аватара пользователя
Прошу прощения, там написал, тут забыл. gris, спасибо.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 19:25 
Аватара пользователя
Виктор Викторов в сообщении #444050 писал(а):
Oпределение: Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если по каждому $ \varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для каждой точки $x$ из открытой окрестности точки $x_0$ открытого интервала $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, значение функции $f(x)$ имеет место быть в открытой окрестности точки $f(x_0)$ открытом интервале $( f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$.

Определение получилось кривым, потому что вы попытались впихнуть в него другое определение - $\varepsilon$-окрестности. Разделите на два.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 19:32 
Жалко что не все в одном месте будет. :twisted: Вопросы же делить придется. Неужели дело в том, что назвать тему мне нужно было иначе, обобщающе?

-- Пн май 09, 2011 19:49:40 --

А в математике, вообще, что понимают под "пространством"?
Множество какое-то, а его элементы - точками называют (вроде я такое где-то видел)? Но иногда мне кажется будто что другое подразумевают...

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 19:52 
bigarcus в сообщении #444074 писал(а):
А в математике, вообще, что понимают под "пространством"?

Что угодно. Просто неудобно всё время талдычить: "множество, множество, множество...". И в глазах рябит, и мысли заплетаются.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 20:05 
Эээ... то есть, пространство и множество - просто два термина для одного понятия?
И как выбирается когда какой использовать?

 
 
 [ Сообщений: 120 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group