Премия за бесконечность

[Delvistar]

Выдержка из [1] Гутман А. Е., Кутателадзе С. С. О теории гросс-единицы // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49, № 5. С. 1054-1063.

"Мы можем предложить следующий незамысловатый «парадокс гросс-отеля».
Даже если все номера 1, 2, . . . , O1 гросс-отеля заняты, найти в нем номер для
еще одного постояльца совсем несложно. Достаточно для каждого конечного
натурального числа n переместить гостя, занимающего номер n, в номер n + 1.
Поскольку для всякого конечного n мы имеем n + 1 < O1 , все прежние гости
получат свои номера в гросс-отеле, а нового постояльца можно будет разместить
в освободившемся номере 1."
(01)- гросс-единица.

Объясните пожалуйста вот это. В итоге же, жильцы из одной комнаты, будут выселены.
И почему Кутателадзе рассматривает только для всякого конечного числа? Множество же комнат счётное.

[AGu]

Delvistar в сообщении #441547 писал(а):

В итоге же, жильцы из одной комнаты, будут выселены.

Вы наверняка имеете в виду комнату с номером O1. Ответ — нет, не будут выселены.

Чтобы не запутаться, давайте условимся вместо «конечное натуральное число» говорить «стандартное натуральное число». (Это более современный и менее двусмысленный термин.) В нестандартном анализе все натуральные числа подразделяются на стандартные и нестандартные (они же — бесконечно большие). Бесконечно большие натуральные числа больше всех стандартных натуральных чисел, но, будучи натуральными числами, они не равны «бесконечности». Кроме того, как известно, если к стандартному натуральному числу прибавить единицу, то получится стандартное натуральное число. На этом и основан цитированный «парадокс». В нем мы перемещаем лишь тех жильцов, которые занимают комнаты со стандартными номерами, в то время как O1 — не стандартное, а бесконечно большое натуральное число. Стало быть, жильцы комнаты с номером O1 не будут затронуты перемещением.

Delvistar писал(а):

И почему Кутателадзе рассматривает только для всякого конечного числа? Множество же комнат счётное.

В сергеевском гросс-отеле число комнат не бесконечно. Число комнат в нем равно O1, а это натуральное число (хоть и бесконечно большое).

[Delvistar]

Согласен с Вами, и спасибо за разъяснение. Но, вот Вы говорите, что число натуральное, хотя и бесконечно большое. Я так понимаю, что Вы разделяете трансфинитные ординальные числа и бесконечно-большые?
И как бы Вы, для себя отметили самое большое натуральное число в счётном множестве? Каким символом?

[AGu]

Delvistar в сообщении #441561 писал(а):

Я так понимаю, что Вы разделяете трансфинитные ординальные числа и бесконечно-большые?

Да. Трансфинитные ординальные числа не являются натуральными числами, а бесконечно большие натуральные числа — являются.

Delvistar писал(а):

И как бы Вы, для себя отметили самое большое натуральное число в счётном множестве? Каким символом?

В бесконечном множестве натуральных чисел нет наибольшего. (В конечном бесконечно большом — есть.)

[Delvistar]

Спасибо за ответ.

Кантор в 1883 г. объявил трансфинитные числа, самостоятельным и систематическим обобщением натуральных чисел.

Так почему Сергеевскую гросс-единицу(или же придумать нечто новое) нельзя считать обобщением всех $\mathbb{N}$. Не большим числом, а обобщением всех $\mathbb{N}$? У Кантора это $\aleph_{0}$, которое вмещает бесконечное множество $\omega$.

К чему я? Вот мы видим, все видим, что счётное множество чётных натуральных чисел, это не всё счётное множество натуральных чисел. Так мы знаем, что если не всё, то и трудно поставить равенство-соответствие. Но, по взаимно-однозначному соответствию видим что они равны, а в ту же очередь видим что это не всё. Сергеев предлагая свою систему счисления показывает что это не всё, правда он предлагает не обобщение всех $\mathbb{N}$, а даёт как новое число. И А у Кантора, как дифференцировать с помощью $\omega$ эти счётные подмножества $\mathbb{N}$?

Я не к тому что счётное множество $\mathbb{N}$ не имеет взаимно-однозначного соответствия со своим счётным подмножеством, а к тому, если подмножество это не все натуральные числа, то разве плохо если мы найдём величину счисления, которая сможет дифференцировать? Сергеев только сделал попытку, и поэтому мне нравится его идея - найти новую величину счисления.

[Kallikanzarid]

Delvistar в сообщении #441585 писал(а):

Я не к тому что счётное множество $\mathbb{N}$ не имеет взаимно-однозначного соответствия со своим счётным подмножеством, а к тому, если подмножество это не все натуральные числа, то разве плохо если мы найдём величину счисления, которая сможет дифференцировать? Сергеев только сделал попытку, и поэтому мне нравится его идея - найти новую величину счисления.

Можете дешифровать?

[AGu]

Delvistar в сообщении #441585 писал(а):

Так почему Сергеевскую гросс-единицу(или же придумать нечто новое) нельзя считать обобщением всех $\mathbb{N}$. Не большим числом, а обобщением всех $\mathbb{N}$?

Я ничего не имею против обобщения каких-либо понятий, включая понятие натурального числа. Но мы сейчас обсуждаем подход Я.Сергеева, где такого обобщения нет: его гроссуан — это натуральное число.

Delvistar писал(а):

К чему я? Вот мы видим, все видим, что счётное множество чётных натуральных чисел, это не всё счётное множество натуральных чисел. [...] Но, по взаимно-однозначному соответствию видим что они равны, а в ту же очередь видим что это не всё.

Ну да, кардинально (т.е. по мощности) эти множества не различаются. И, откровенно говоря, это обстоятельство не представляется мне недостатком теории. Скорее наоборот.

Delvistar писал(а):

Сергеев предлагая свою систему счисления показывает что это не всё

Если цель только в этом, то чем не устраивает сам факт неравенства двух множеств?

Delvistar писал(а):

правда он предлагает не обобщение всех $\mathbb{N}$, а даёт как новое число.

Я бы только сказал «как число», а не «как новое число», ибо ничего нового в его гроссуане нет.

Delvistar писал(а):

И А у Кантора, как дифференцировать с помощью $\omega$ эти счётные подмножества $\mathbb{N}$?

С помощью отношения равенства: они попросту не равны. Я, конечно, догадываюсь, что кому-то этого почему-то мало и почему-то хочется иметь возможность сказать, что четных чисел в два раза меньше, чем всех чисел. Но во-первых, я не знаю, зачем это нужно, а во-вторых, почему ровно в два раза? Почему вообще число рассматриваемых натуральных чисел должно делиться на два? У Я.Сергеева оно действительно делится на два, но это его личное решение, и мне оно не представляется достаточно обоснованным. Например, число рассматриваемых целых чисел у него не делится на два. Почему? Ему так захотелось, другой причины я не вижу — ибо то, что он предъявляет в качестве доказательства, таковым не является. Я, в свою очередь, могу предъявить совершенно аналогичное «обоснование» того, что количество рассматриваемых целых чисел — наоборот — делится на два. Так что тут все решает личное мнение того, кто занимается подсчетом.

Delvistar писал(а):

Сергеев только сделал попытку

Едва ли Я.Сергеев с Вами согласится. С его точки зрения это не какая-то там попытка, а величайшее открытие современности.

Delvistar писал(а):

и поэтому мне нравится его идея - найти новую величину счисления.

Я продолжаю настаивать, что ничего нового он не предложил.

[Delvistar]

Отметим множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$, как все натуральные числа. Понятие все, заменим одним символом $\mathbb{N}$.
Выделим подмножество чётных чисел, и отметим его как не все натуральные числа. Не все отметим как $\frac{1}{n}\mathbb{N}$.

Теперь мы видим что все $\neq $не все.
$\mathbb{N} \neq \frac{1}{n}\mathbb{N}$.

Где то так. Зачем это надо? Но если мы видим что все $\neq $не все, то хотя бы ради того что это так. Если не равно, то это неравенство выполняется не через взаимно-однозначное соответствие, а через что то иное.

Берём конечное множество с 2 зелёными шариками и 2 красными. Мы напротив каждого зелёного провели соответствие с красным, и нашли равенство. И это стало возможным и потому, что лишних шариков нет.
А вот в счётных множествах, если мы провели взаимно-однозначное соответствие всех $\mathbb{N}$, с всеми чётными числами, то нашли соответствие. Но..у нас остались лишние числа, которым не хватило соответствия.
Вот тогда мы видим что все $\neq $не все,

И я не настаиваю на новизну Сергеева, а на его желание как то закрепить что все $\neq $не все.

[AGu]

Delvistar в сообщении #441615 писал(а):

Отметим множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$, как все натуральные числа. Понятие все, заменим одним символом $\mathbb{N}$.
Выделим подмножество чётных чисел, и отметим его как не все натуральные числа. Не все отметим как $\frac{1}{n}\mathbb{N}$.
Теперь мы видим что все $\neq $не все.
$\mathbb{N} \neq \frac{1}{n}\mathbb{N}$.
Где то так.

Увы, не понял. Ибо... «Выделим подмножество натуральных чисел, делящихся на 1 (да-да, на 1), и отметим его как $\frac1n\mathbb N$. Теперь мы видим, что $\mathbb N\ne \frac1n\mathbb N$. И наплевать, что на самом деле $\mathbb N=\frac1n\mathbb N$. Где то так.»

Delvistar писал(а):

А вот в счётных множествах, если мы провели взаимно-однозначное соответствие всех $\mathbb{N}$, с всеми чётными числами, то нашли соответствие. Но..у нас остались лишние числа, которым не хватило соответствия. Вот тогда мы видим что все $\neq $не все

Опять не понял. Ибо... «Если мы провели взаимно однозначное соответствие всех $\mathbb N$ со всеми $\mathbb N$, сопоставив $2\to1$, $3\to2$, ..., $n+1\to n$, ... то нашли соответствие. Но у нас осталось лишнее число (а именно, $1$). Вот тогда мы видим, что все $\ne$ все.»

Delvistar писал(а):

И я не настаиваю на новизну Сергеева, а на его желание как то закрепить что все $\neq $не все.

И Вы видите прок в закреплении чего-то очевидного? Ну давйте еще закрепим, что $1\ne 2$. Теперь 1 и 2 накрепко не равны. Есть повод погордиться.

[Delvistar]

Я Вас понимаю, проще выучить по учебнику взаимно-однозначное соответствие и достаточно.
Но вот я о том, что бы как то найти метод дифференцирования подмножеств счётного множества $\mathbb{N}$.

При Вашем то нашли соответствие. Но у нас осталось лишнее число (а именно, 1). Вот тогда мы видим, что все$=$ все.То, почему мы считаем что одна единица меньше ничего не значит?

Да и разве $\frac{1}{1}\mathbb{N}$имеет неравенство с $\mathbb{N}$?

Разве здесь что-то сложное? Это же одно и тоже с $\frac{1}{1}X = X$.

А гордиться будет чему, если мы найдём критерий, когда можем любое счётное множество натуральных чисел дифференцировать от любого другого счётного множества.
Пока же, мы как люди впервые увидевшие китайцев - и они для нас все одинаковые.

[tolstopuz]

Delvistar в сообщении #441646 писал(а):

Но вот я о том, что бы как то найти метод дифференцирования подмножеств счётного множества $\mathbb{N}$.

Ну есть, например, плотность по Шнирельману.

http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density

[AGu]

Delvistar в сообщении #441646 писал(а):

Я Вас понимаю

Я Вас тоже. Я просто шутил, явно передергивая. Впрочем, мы слегка отдалились от темы. А если к ней вернуться, то, мне кажется, Вы согласитесь с тем, что Я.Сергеев не достиг поставленной цели. Все, чем он нас пытается облагодетельствовать, сводится к наивной игре с конечными множествами. Если конечное множество (а у Я.Сергеева так оно и есть) обозвать множеством всех натуральных чисел (а Я.Сергеев так и делает), то можно столько всякого разного понаоткрывать, что пифагоровых премий не напасешься. Но вот только гроссуан цена этим открытиям.

[Delvistar]

(Оффтоп)

Вот я и о том. Идея плотности..это что-то...Спасибо Вам за просвещение.

Теперь вижу...китайцы разные.

А Сергеев не достиг этой цели, это я с Вами согласен.

[Кардановский]

AGu: Да,действительно,на первой странице обсуждения данной темы была дана такая ссылка на достаточно серьезную статью "О теории гросс-единицы",оппонирующую теории Сергеева. И, вот если бы, дальнейший ход дискуссии по данной теме был бы выстроен по-преимуществу на сравнительном критическом анализе содержания этой статьи и теории Сергеева,то это было бы вполне нормальным и плодотворным процессом научного обсуждения и выяснения в чем прав или неправ Гутман и Кутателадзе,а в чем прав или неправ Сергеев...
На мой же взгляд, дискуссия не получила такого вот нормального здорового развития.К сожалению, направление и тон в ней почему то задала не солидная полемика из статьи Гутман А.Е.,Кутателадзе С.С. "О теории гросс-единицы", а эмоциональный репринтный памфлет того же Кутателадзе С.С.
Это,собственно,я и имел то ввиду...

[dmd]

Видео опубликовали.
Сразу могу заметить, автор неверно обозначает определенность для гроссуан в нулевой степени и ноль в гроссуановой степени - они неопределенности.