AKM, спасибо за поддержку. Попробую.
Итак, Ферма утверждал, что уравнение
не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.
1.1. Предположим, что такое решение существует, при
,
,
, где
,
,
- целые положительные взаимнопростые числа,
, пусть
,
Тогда
.
1.2.
, где
- целое положительное число.***
, где
-целое положительное число.***
1.3.
,
Перемножаем левые и правые части, получаем:
,
,
,
,
.***
1.4.
,
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
, следовательно,
.
Левая часть равенства представляет собой значение функции
при
, а правая - при
, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при
и
равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть
,
, тогда
,
, (
,
,
(п.1.3)), следовательно,
1.6. Исследуем функцию
.
,
,
-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
.
или
,
,
Так как на сегменте
существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция
в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
.Следовательно, между точками
и
найдется такая точка ( назовем ее
), что значение функции в этой точке будет равно
и тогда
.
, т.к.
. Следовательно,
2.2
или
, отсюда
или
. Т.к.
, то
,
- рациональное число.
3.1. Рассмотрим функцию
.
Найдем критические точки функции:
при
,
,
,
Критические точки функции
будут
.
4.1.
Для того, чтобы доказать Теорему, необходимо доказать,что критические точки рациональны.Действительно, если критические точки рациональны: пусть
.
Тогда
отсюда
Для того, чтобы равенство соблюдалось, необходимо, чтобы
делилось на
(то есть,
не делилось на
)
Действительно, если
не делится на
, правая часть будет делится на
, если
делится на
, при этом левая будет делится только на
. Если же
не делится на
, правая часть вообще не будет делится на
.
Если
и
не делятся на
, равенство не выполняется, поскольку в этом случае правая часть делится на
,а левая - на
.
Если
делится на
, то
должно делиться на
, поскольку
делится на
, а если
делится на
, то это выражение должно делится на
. Но преобразовав, получаем:
, делится на
. Следовательно, оба варианта невозможны, и критические точки не могут быть рациональными.
-- Пн авг 15, 2011 23:04:18 --***1.2.1
,
=>
,
,
, где
- целое положительное число.
***1.2.2.
, где
- целое число.
,
,
.
=>
- целое положительное число,
- целое положительное число.