2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 52  След.
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение21.11.2010, 19:07 


29/08/09
691
В предыдущем посте равенства, если $c$не делится на $3$.
Если $c$ делится на $3$, то
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =24$ (если с-четное)
или
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =3$ (если с- нечетное)

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение21.11.2010, 21:46 


29/08/09
691
natalya_1 в сообщении #378554 писал(а):
Проверила, но дальше это ничего не дает, кроме
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =8$ (если с-четное)
или
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =1$ (если с- нечетное)


Вывела я это из
$8(a+b)=(c-d)^3$, при $c$ - четном,
или
$(a+b)=(c-d)^3$, при $c$- не четном.
Соответственно,в случае делимости $c$ на$3$,
$24(a+b)=(c-d)^3$ ,при $c$ четном ,или
$3(a+b)=(c-d)^3$,при $c$ - не четном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.11.2010, 02:57 


29/08/09
691
Попробую все-таки расписать, потому что сама не могу найти ошибку. :oops:
Итак, существует точка $h=\frac{cp}{cd-p}$.
$\frac{cp}{cd-p}=\frac{ca^2+cb^2-a^3-b^3}{ca+cb-a^2-b^2}$.
$\frac{cp}{cd-p}=a+\frac{cb^2-b^3-cab+ab^2}{ca+cb-a^2-b^2}=a+b+\frac{ab(a+b-2c)}{cd-p}$, следовательно
$\frac{cp-(a+b)cd+(a+b)p}{cd-p}=\frac{ab(a+b-2c)}{cd-p}$, отсюда
$cd(a+b-2c)+2c^2d-p(a+b-2c)-3cp=-ab(a+b-2c)$,
$2c^2d-3cp$ не равно $0$т.к. $cd>2p$, следовательно
$\frac{2c^2d-3cp}{c-d}$- целое число.
$\frac{2cd-3p}{c-d}$ можно сократить только на 2 (если $c$- четное и на $3$ , если $c$ делится на $3$, следовательно
$\frac{2c}{c-d}$- целое число.

Если здесь нет ошибки, я напишу дальше.
Посмотрите, пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение24.11.2010, 21:31 


29/08/09
691
Можно не проверять. Я нашла ошибку в рассуждениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение21.04.2011, 03:26 


29/08/09
691
dmd в сообщении #316091 писал(а):
Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$.
Всем добрый день!
Кажется, удалось продвинуться в доказательстве. Я доказала, что критические точки рациональны. Извините , не умею набирать корни, не знаю, как записать. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение21.04.2011, 08:01 


16/08/05
1153
Код:
\sqrt{...}

Если навести мышку на картинку формулы в других постах и пару секунд не двигать мышку, то появляется всплывающая подсказка о коде формулы.
Либо подробно всё расписано: Как набирать формулы? и FAQ по тегу [math].

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение21.04.2011, 08:53 


29/08/09
691
dmd, спасибо! Попробую.
Итак, имеем:
Критические точки функции (их две) $x=\frac{c(c^2d\pm \sqrt{cd^2-3cdp+3p^2})}{3(cd-p)}$,
Пусть $\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}=q$ , тогда
$x^2=\frac{2c^4d^2\pm \ 2c^3dq+3p^2-3cdp}{9(cd-p)^2}$, отсюда
$x^2\pm \frac{2c^3dq}{9(cd-p)^2}$ - рациональное число.
Тогда
$x^2\pm \frac{2cdqx^2}{3(cd-p)(2xd-p)}$ -рациональное число (поскольку $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, эта формула выведена при поиске критических точек).
И далее:
$\frac{x^2}{3(cd-p)(2xd-p)}(3(cd-p)(2xd-p)\pm \ 2cdq)$- рациональное число,
отсюда $6cxd^2-6xdp\pm \ 2cdq$- рациональное число,
$q(\pm \ 6c^2d^2\pm \ 6cdp\pm \ 2cd)$- рациональное число, $q$- рациональное число, а значит, критические точки рациональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение21.04.2011, 10:37 


29/08/09
691
Ой, у меня в тексте описка в первой формуле, а исправить уже не могу. :oops:
Я старалась, но набор мне дается очень тяжело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение12.08.2011, 21:16 


29/08/09
691
Всем добрый вечер!
В общем, еще раз просмотрела свое доказательство и пришла к выводу, что для того, чтобы доказать Теорему, необходимо доказать,что критические точки рациональны.

Действительно, пусть$\frac{c}{x}=\frac{q}{l}=\frac{3(cd-p)}{cd\pm\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}$.
Тогда
$\frac{3c^2l^2}{q(2cld-qp)}=\frac{c^2}{cd-p}$ отсюда
$3l^2(cd-p)=q(2cld-qp)$
Для того, чтобы равенство соблюдалось, необходимо, чтобы $p$ делилось на$3$ (то есть, $c$ не делилось на $3$)
Действительно, если $p$ не делится на $3$, правая часть будет делится на $3^2$, если $q$ делится на $3$, при этом левая будет делится только на $3$. Если же $q$ не делится на $3$, правая часть вообще не будет делится на $3$.

Если $q$ и $l$ не делятся на $3$, равенство не выполняется, поскольку в этом случае правая часть делится на $3$,а левая - на $3^2$.

Если $l$ делится на $3$, то $(cd+\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})$ должно делиться на $3^6$, поскольку $9(cd-p)^2$ делится на $3^4$, а если $q$ делится на $3$, то это выражение должно делится на $3^2$. Но преобразовав, получаем:$3p(cd-p)$, делится на $3^4$. Следовательно, оба варианта невозможны.

-- Пт авг 12, 2011 22:45:53 --

С доказательством рациональности критических точек мне нужна помощь.
Вот есть вариант, но не знаю, насколько он правильный. :oops:
Рассмотрим график функции $y=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$
Должно выполняться соотношение
$\frac{c-x}{x_1}=\frac{x-h}{h-x_1}=\frac{c-h}{h}$ , где $x$ - большая критическая точка, $x_1$ - меньшая критическая точка.
Отсюда $\frac{c-x}{x_1}= \frac{3c(cd-p)-c^2d-c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{c^2d-c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}=1+\frac{cd-3p}{cd -\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}$ - рациональное число. Отсюда корень рационален,
критические точки рациональны .

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение13.08.2011, 12:46 


29/08/09
691
natalya_1 в сообщении #475118 писал(а):
мне нужна помощь :oops:

Уважаемые форумчане! Это конечно большая авантюра пытаться доказать Теорему, не обладая необходимыми знаниями. Мне действительно не хватает знаний.
Интуитивно я по-прежнему чувствую, что все очень рядом (извините за наглость и самонадеянность)...
natalya_1 в сообщении #475118 писал(а):
]
Рассмотрим график функции $y=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$
Должно выполняться соотношение
$\frac{c-x}{x_1}=\frac{x-h}{h-x_1}=\frac{c-h}{h}$ , где $x$ - большая критическая точка, $x_1$ - меньшая критическая точка.

Если выполняются указанные соотншения (исходя из симметричности функции), то необязательно даже доказывать рациональность критический точек.
Но я не могу доказать, почему должны выполняться эти соотношения. (хотя подстановками и преобразованиями вроде все получается).
На данном этапе мне нужно либо

1. Доказать, что эти соотношения выполняются/не выполняются

либо

2. Доказать рациональность критических точек каким-то другим способом.
Буду благодарна за любую помощь и участие в доказательстве , в том числе на указание, где можно посмотреть материалы по теме. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Это не требование модератора, а совет читателя.
Сообщение15.08.2011, 11:19 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Я бы Вам посоветовал переписать Ваше доказательство в нынешней версии цельно, от начала до конца,
без каких-либо ссылок на прошлое. Оно слишком разбросано по сообщениям, и не только мне лень листать взад, чтобы узнать, кто такая критическая точка, и кто такие $a,b,c,d,e,f,g,\ldots$
Возможно, Ваш постоянный собеседник dmd (его давно не видно) и помнит какие-то детали, но для остальных это, наверное, трудная работёнка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.08.2011, 21:30 


29/08/09
691
AKM, спасибо за поддержку. Попробую.

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,
Тогда $a^3+b^3=c^3$.

1.2. $a+b=c=d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pa)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=0$, $(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb=0$, тогда $a^{2}(cd-p)=c^{2}(ad-p)$,$b^{2}(cd-p)=c^{2}(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^2}{ad-p}}=\frac{b^2}{bd-p}}=\frac{c^2}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^2}{xd-p}}$ .
$y'=\frac{ 2x(xd-p)-dx^{2}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$
$2x(xd-p)-x^{2}d=0$. $x=0$ или$2(xd-p)-xd=0$, $xd=2p$,
$x=\frac{2p}{d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, между точками $a$ и $b$ найдется такая точка ( назовем ее $h$), что значение функции в этой точке будет равно $0$ и тогда $h^3+h^3=c^3$.
$(cd-p)h^3-c^{2}dh^2+c^{2}ph=0 $ $c\not=0$ $h\not=0$, т.к.$b<h<a$. Следовательно,

2.2 $(cd-p)h^2-c^2dh+c^2p=0$
$D=c^4d^2-4c^2p(cd-p)$
$D=c^2(cd-2p)^2$
$h=\frac{c^2d+c(cd-2p)}{2(cd-p)}$ или $h=\frac{c^2d-c(cd-2p)}{2(cd-p)} $, отсюда $h=c$ или $h=\frac{cp}{cd-p}$. Т.к. $h<c$, то $h=\frac{cp}{cd-p}$, $h$- рациональное число.



3.1. Рассмотрим функцию $y=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$.
Найдем критические точки функции:
$y'=3x^2(cd-p)-2c^2dx+c^2p$ $y'=0$ при $3x^2(cd-p)=c^2(2xd-p)$, $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, $2xd-p>0$, $cd-p>0$



Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$.



4.1. Для того, чтобы доказать Теорему, необходимо доказать,что критические точки рациональны.
Действительно, если критические точки рациональны: пусть$\frac{c}{x}=\frac{q}{l}=\frac{3(cd-p)}{cd\pm\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}$.
Тогда
$\frac{3c^2l^2}{q(2cld-qp)}=\frac{c^2}{cd-p}$ отсюда
$3l^2(cd-p)=q(2cld-qp)$
Для того, чтобы равенство соблюдалось, необходимо, чтобы $p$ делилось на$3$ (то есть, $c$ не делилось на $3$)
Действительно, если $p$ не делится на $3$, правая часть будет делится на $3^2$, если $q$ делится на $3$, при этом левая будет делится только на $3$. Если же $q$ не делится на $3$, правая часть вообще не будет делится на $3$.

Если $q$ и $l$ не делятся на $3$, равенство не выполняется, поскольку в этом случае правая часть делится на $3$,а левая - на $3^2$.

Если $l$ делится на $3$, то $(cd+\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})$ должно делиться на $3^6$, поскольку $9(cd-p)^2$ делится на $3^4$, а если $q$ делится на $3$, то это выражение должно делится на $3^2$. Но преобразовав, получаем:$3p(cd-p)$, делится на $3^4$. Следовательно, оба варианта невозможны, и критические точки не могут быть рациональными.

-- Пн авг 15, 2011 23:04:18 --

***1.2.1$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$, $a^3+b^3=c^3$=>
$(a+b)^3>c^3$, $a+b>c$,$a+b=c+d$, где $d$ - целое положительное число.



***1.2.2. $a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое число.
$a^2=(c-b)(c+b)+p$,$a^3=(c-b)(c+b)a+ap$,$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$.
$c(c+b)+b^2>(c+b)a$=> $ap$- целое положительное число, $p$ - целое положительное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.08.2011, 22:24 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
Пытаюсь понять логику, пока не вникая в детали.

natalya_1 в сообщении #475507 писал(а):
4.1. Для того, чтобы доказать Теорему, необходимо доказать,что критические точки рациональны.
...
Следовательно, оба варианта невозможны, и критические точки не могут быть рациональными.
Т.е. вы не доказали, что критические точки рациональны, а значит, не доказали Теорему.
Или вы что-то другое хотели сказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.08.2011, 22:26 


29/08/09
691
venco в сообщении #475522 писал(а):
Т.е. вы не доказали, что критические точки рациональны, а значит, не доказали Теорему.
Или вы что-то другое хотели сказать?

Да, я обратилась с просьбой поучаствовать в доказательстве и помочь мне доказать рациональность критических точек. :oops:
В свое время мне точно так же нужно было доказать рациональность $h$ (для случаев $n>3$. Это мне удалось.
Просто я очень многого не знаю и приходится заниматься изобретением велосипеда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение15.08.2011, 22:40 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
А я вообще не вижу связи между рациональностью критических точек и доказательством теоремы. В п. 2.1 утверждение "... и тогда $h^3+h^3=c^3$" ниоткуда не следует. Вообще, идея доказательства совершенно не ясна. В частности, зачем нужны эти лишние $d=a+b-c$ и $p=a^2+b^2-c^2$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 770 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 52  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group