Пределы. Правило Лопиталя.

[<-Sergey->]

Подскажите пожалуйста, можно ли решить данный пример используя правило Лопиталя? И если можно, то как?

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}-x\cos 2x}{x^2}$$

[photon]

А зачем тут какие-то ухищрения с правилом Лопиталя? У Вас числитель стремится к единице, а знаменатель к нолю

[<-Sergey->]

Да просто по заданию написано, что решить надо по правилу Лопиталя. Если просто рассуждать, то предел равен плюс бесконечности, а куда правило Лопиталя приложить - не понимаю.

[photon]

Ну если обязательно его туда воткнуть надо, то надо вспомнить, что правило Лопиталя используется для неопределенности вида $\frac 0 0$, значит прямо в таком виде применить его нельзя - следует разбить Вашу дробь на две, и для той, у которой имеем данную неопределенность, использовать правило Лопиталя - этакий "финт ушами", но может быть в условие вкралась ошибка?

[<-Sergey->]

вот про ошибку у меня как раз и были подозрения... может просто опечатка в методичке? Наверное придётся разделить на 2 дроби, одну решить для вида по правилу Лопиталя, а вторую просто подсчитать. Получится вродебы та же плюс бесконечность.

Добавлено спустя 1 час 5 минут 33 секунды:

to photon
Благодарю за помощь!

[Someone]

<-Sergey-> писал(а):

Подскажите пожалуйста, можно ли решить данный пример используя правило Лопиталя? И если можно, то как?
$\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^{sinx}-xcos2x}{x^2}$

Скорее всего, должно быть $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{\sin x}-x-\cos 2x}{x^2}$.

[<-Sergey->]

Someone
может и так, просто наверное при наборе методички опечатались.

[bot]

Someone писал(а):

Скорее всего, должно быть $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{\sin x}-x-\cos 2x}{x^2}$.

И если вместо гнусного дифференцирования по правилу Лопиталя применить разложение по Тейлору, то ответ находится практически устно.

[Demurg2000]

В чем ошибка? $\lim\limits_{x \to 0} \frac{cos(sinx)-cosx}{x^4} =\lim\limits_{x \to 0} \frac{-sin(sinx)*cosx+sinx}{4x^3} =\lim\limits_{x \to 0} \frac{-x*cosx+sinx}{4x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-cosx+x*sinx+cosx}{12x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{12x^2}= \frac 1 {12} $
Потом я решал по- другому и получилось как в ответе 1/6
И как в этих примерах применить правило Лопиталя:
$\lim\limits_{x \to +\infty} (thx)^x = e^{\lim\limits_{x \to +\infty} x*thx} = ?$
$\lim\limits_{x \to 0} ( \frac {1+e^x} 2)^{cthx} $

[Brukvalub]

Ошибка состоит в неверной замене функции sin(sinx) на эквивалентную ей функцию x (такие замены в суммах и разностях могут приводить к ошибкам). На второй вопрос я отвечу так: создайте вместо произведения бесконечно малой и бесконечно большой функций равное ей частное двух бесконечно малых или бесконечно больших, и Лопитируйте.

[RIP]

Demurg2000 писал(а):

В чем ошибка? $\lim\limits_{x \to 0} \frac{cos(sinx)-cosx}{x^4} =\lim\limits_{x \to 0} \frac{-sin(sinx)*cosx+sinx}{4x^3} =\lim\limits_{x \to 0} \frac{-x*cosx+sinx}{4x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-cosx+x*sinx+cosx}{12x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{12x^2}= \frac 1 {12} $
Потом я решал по- другому и получилось как в ответе 1/6
И как в этих примерах применить правило Лопиталя:
$\lim\limits_{x \to +\infty} (thx)^x = e^{\lim\limits_{x \to +\infty} x*thx} = ?$
$\lim\limits_{x \to 0} ( \frac {1+e^x} 2)^{cthx} $

А как это Вы так лихо заменили $\sin\sin x$ на $x$?
Во втором примере надо писать

$$e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x\cdot\ln\th x}$$

.
Чтобы применить правило Лопиталя, запишите, например, так

$$x\cdot\ln\th x=\frac{\ln\th x}{1/x}$$

С третьим примером, думаю, уже разберетесь.

[Demurg2000]

Спасибо за помощь!Во всем разобрался.

[ixdizer]

Форумчане, помогите, я не могу решить один пример, вот он:

"Используя правило Лопиталя, вычислить предел

Помогите решить, плз.

[LynxGAV]

Тангенс через синус и косинус и пролопиталить.

[ixdizer]

Спасибо, а если не трудно, то можно писменным решением примера, мне просто с этим трудно. Плз