Почему не отображают множество комплексных чисел на прямую?

[Time]

Someone в сообщении #429512 писал(а):

Ещё раз: Вы путаете объект, который Вы сопоставляете комплексному числу, с тем множеством, которое образуют все такие объекты. Речь идёт не о структуре отрезка, а о структуре множества отрезков. Отрезок числовой прямой - это упорядоченная пара чисел, то есть, элемент множества $\mathbb R^2$. Множество всех отрезков - это некоторая часть $\mathbb R^2$. Двумерная.

Вот теперь спасибо за разъяснения. С такой логикой согласен. Согласитесь и Вы, что это несколько более информативно, чем "фигушки, я плотоядная".. Остается разобраться с плюсами и минусами отображения комплексных (и двойных) чисел во множество отрезков. Повторю, мне не важно, с чем это формально связано с $\mathbb R^2$ или с $\mathbb R$, мне важно есть ли тут элемент полезности, или нет. Тем более, что Вы и сами пишите:

Someone в сообщении #429512 писал(а):

(это рисование может быть невероятно полезным, но не имеет отношения к вопросу о том, куда у нас отображаются комплексные числа

Извиняюсь также за небрежность как в написании формул, так и в их достоверности. Вы правы, я проявил халатность в передаче информации и тем самым ввел в заблуждение читающих. Хочу надеяться, что меня хотя бы отчасти оправдывает желание найти собеседников, кто захочет в поднятом вопросе разобраться (не смотря на большое число хороших специалистов, которые меня сейчас окружают, пока ни один не стал развивать или хоронить эту тему), пусть это и не вполне буквально соответствует поднятой топикстартером теме. Надеюсь, на Вашу помощь..

Попробую еще раз, но более аккуратно..
Все началось лет пятнадцать назад с одной из попыток дать геометрическую интерпретацию четверных чисел, которые можно рассматривать как двойные числа над множеством двойных или как алгебру, изоморфную прямой сумме четырех действительных алгебр. Тогда еще не было понимания, что данной четырехкомпонентной алгебре можно ставить в соответствие точки и вектора четырехмерного линейного финслерова пространства с метрикой Бервальда-Моора и я пытался найти более очевидную интерпретацию. Именно тогда мелькнула надежда, что сработает следующий прием. Четверное число $h_4=t+Ix+Jy+Kw$ (все мнимые единицы - гиперболические, то есть I^2=J^2=K^2=+1 ) я попробовал представить в виде:
$h_4=(\sqrt{r_1}e^{Ia/2}+J\sqrt{r_2}e^{Ib/2})^2$. (*)
В этом случае выходило, что по крайней мере некоторым из четверных чисел достаточно красиво сопоставлялись отрезки на псевдоевклидовой плоскости, координаты концов которых в полярных координатах имели вид:
$r_1e^{Ia}$ и $r_2e^{Ib}$
(естественно, пока речь лишь об отрезках, оба конца которых находятся внутри конуса будущего псевдоевклидовой плоскости, или другими словами в положительном квадранте).
При таком подходе возникало хоть какое то объяснение вида модуля четверного числа, связанного с четвертыми, а не со вторыми степенями компонент, а также получалась более менее логичная интерпретация трех аргументов экспоненциальной формы представления $h_4=Re^{(IA+JB+KC)}$ которая имеет место как обобщение формулы Эйлера на эти самые четверные числа.
Но если только допустить правомочность такого необычного представления четверных чисел (это для меня до сих пор остается вопросом, но с появлением финслеровской четырехмерной интерпретации, он стал существенно менее актуальным и отошел на второй план), то должно быть правомочным аналогичное представление двойных чисел, которые являются подмножеством четверных. Так, если положить $a=0$ и $b=0$, то из формулы (*) получалось:
$h_2=(\sqrt{r_1}+J\sqrt{r_2})^2$
Или возводя в степень
$h_2=(\sqrt{r_1})^2+(\sqrt{r_2})^2+2J\sqrt{r_1r_2}$
А отсюда получалось, что если верна исходная идея (*), то двойные числа, помимо их интерпретации как точек или векторов плоскости двойной переменной (близкой по свойствам к псевдоевклидовой), допускают еще и интерпретацию как множества отрезков вещественной прямой. При этом автоматически оказывалось, что оба конца соответствующих отрезков должны были быть с положительной стороны от нуля вещественной прямой. Естественно захотелось посмотреть, что получится, если, например, $r_2$ положить отрицательной величиной. Не трудно заметить, что при этом минус под корнем приводил к появлению обычной мнимой единицы и двойные числа переходили в комплексные:
$z=(\sqrt{r_1})^2-(\sqrt{|r_2|})^2+2iI\sqrt{r_1|r_2|}$
Мне прекрасно известно, что у предполагаемой альтернативной интерпретации двойных, комплексных и четверных чисел есть определенные проблемы, в частности, связанные с отсутствием взаимнооднозначности. Так числам вида:
$h_4=(\sqrt{r_1}e^{Ia/2}+J\sqrt{r_2}e^{Ib/2})^2$ и
$h_4=(\sqrt{r_1}e^{Ia/2}-J\sqrt{r_2}e^{Ib/2})^2$
соответствует один и тот же отрезок. Однако, думаю, эта неприятность "лечится", например, введением дополнительного дискретного качества отрезков. При этом данное качество не направление. Направленность отрезка, по сути, уже задействована ранее (я не писал об этом из экономии) и поэтому в связи с предлагаемой интерпретацией правильнее говорить не об отрезках, а о направленных отрезках, то есть, о связанных векторах, причем имеющих еще одно бинарное отличие друг от друга.
Вот как-то так.. Буду признателен за указание фактических, а не только формальных ошибок и нестыковок..

[Time]

nestoklon в сообщении #429466 писал(а):

Продемонстрируйте пожалуйста картинку (можно схематично) с числами 1, -1, $i$, $-i$. В соответствии с Вашей формулой, второе и четвёртое числа не отображаются вообще, а первое и третье определяют множества разных отрезков.

Каюсь, за давностью лет, что прошли с момента соответствующих занятий, я дал неверные формулы. Выше я постарался исправить недоразумение. В соответствии с этими исправленными формулами для четырех указанных Вами примеров имеем:
$1$: $r_1=1, r_2=0$
$-1$: $r_1=-1, r_2=0$
$i$: $r_1=1/2, r_2=-1/2$
$-i$: $r_1=-1/2, r_2=1/2$

Аналогично можно найти $r_1$ и $r_2$ не только для вещественных или чисто мнимых чисел, но и для комплексных и для гиперболически комплексных (двойных) чисел. Причем, и комплексным, и двойным числам при этом оказываются сопоставленными объекты одной и той же природы в одном и том же одномерной пространстве, а не в двух разных двумерных геометриях, как это имеет место быть в общеизвестных интерпретациях на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях. Кроме того, получают естественную геометрическую интерпретацию делители нуля из множества двойных чисел (для них получается $r_1=r_2$ и отрезки вырождаются в точки). Другое дело, что для сопряженных к конкретным комплексным и двойным числам значения $r_1$ и $r_2$ будут такими же и для исключения неоднозначности нужен некий дополнительный прием для отличия отрезков (связанных векторов) соответствующих этим самым сопряженным. Думаю, это возможно, если, например, ввести образы связанных векторов с условно правой и левой киральностью или нечто подобное..

[NNDeaz]

Я тут поразмышлял и придумал один способ представления комплексного числа $x+iy$ на прямую, правда есть одно ограничение: $x \in {\Bbb N}$, $y \in {\Bbb Q}$.
Так как действительная часть, натуральное число, то оно будет отображатся на прямой без изменений.
Пример:

Мнимую часть пока мы не трогали.
А теперь обозначим мнимую часть.
Мнимая часть числа будет отображаться "между" действительными.
Пример:

На картинке также видно, что если мнимое число будет увеличиваться, то точка будет приближаться к "отметке" действительного.
Кстати на пред. картинке изображено число $0-1i$
Надеюсь поймете:)

[Crutoy Pazan]

фигня

[Someone]

Для Time.

В общем, как я понял, Вы пытаетесь изобрести нечто полезное, используя квадратный корень из комплексного или двойного числа, однако при этом получается нечто не универсальное, не однозначное, требующее дополнительных соглашений и признаков, довольно запутанное. Я выпишу формулы для вычисления квадратных корней, чтобы каждый желающий мог с ними повозиться.

Для комплексных чисел ($i^2=-1$):

$$(a+bi)^{\frac 12}=\begin{cases}\pm\sqrt{a}\text{, если }b=0,\ a\geqslant 0,\\ \pm\sqrt{-a}i\text{, если }b=0,\ a<0,\\ \pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}2}\right)\text{, если }b\neq 0.\end{cases}$$

Для двойных чисел ($I^2=1$):

$$(a+bI)^{\frac 12}=\begin{cases}\pm\sqrt{a}\text{ или }\pm\sqrt{a}I\text{, если }b=0,\ a\geqslant 0,}\\ \pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{a^2-b^2}}2}+I\sqrt{\frac{a\mp\sqrt{a^2-b^2}}2}\right)\text{ если }b\neq 0,\ a\geqslant|b|\end{cases}$$

(в последнем выражении знаки "$\pm$" и "$\mp$" внутри скобок связанные, то есть, нужно брать либо оба верхних знака, либо оба нижних, в то время как внешний знак "$\pm$" от них независим).

Таким образом, для комплексного числа $a+bi$ существует один квадратный корень, если $a=b=0$, и два в остальных случаях. Для двойного числа $a+bI$ существует один квадратный корень, если $a=b=0$, два, если $a=|b|>0$, четыре, если $a>|b|$, и ни одного, если $a<|b|$.

[Time]

Someone в сообщении #430736 писал(а):

В общем, как я понял, Вы пытаетесь изобрести нечто полезное, используя квадратный корень из комплексного или двойного числа, однако при этом получается нечто не универсальное, не однозначное, требующее дополнительных соглашений и признаков, довольно запутанное. Я выпишу формулы для вычисления квадратных корней, чтобы каждый желающий мог с ними повозиться.

Я же написал, что подобным изобретательством занимался лет пятнадцать назад и закончил, как только стало понятно, что четверным числам вполне естественно и просто сопоставляются точки и вектора четырехмерного линейного финслерова пространства с метрикой Бервальда-Моора. Оставшиеся после этого не у дел изобретения приводили к неким любопытным следствиям для необычной геометрической интерпретации двойных и комплексных чисел и я бы хотел при случае разобраться тут до логического конца. Не более того.. Никаких новых свойств комплексных или двойных чисел я тут не ожидаю, максимум, что тут может возникнуть - некоторое удобство в частного вида конструкциях, да и то только в том случае, если в предложенном подходе нет непреодолимых противоречий и слабостей.
Я надеялся, что кто-то из участников форума может заинтересоваться данным казусом и либо укажет эти самые непреодолимые моменты, либо покажет, как все может быть причесано. Судя по всему, я зря надеялся..

За формулы для квадратных корней спасибо, но это все чуть ли не очевидно и не помогает в решении имеющихся вопросов..

Кстати, если для двойных чисел применить комплексное расширение, примерно такое же как при комплексном расширении действительных чисел, то корни у алгебраических уравнений будут всегда, а получившаяся алгебра так называемых бикомплексных чисел оказывается весьма интересной. Ей также соответствует геометрия четырехмерного линейного финслерова пространства, но только уже с иной метрической функцией, чем Бервальда-Моора. Эта алгебра среди прочего замечательна тем, что в ней есть довольно интересное обобщение интегральной формулы Коши. Но это я так, на всякий случай...

[Someone]

Ну, на недостатки Вам указали (не только я), а достоинств мне не видно. Более того, я не понял, почему соответствия именно такие:

Time в сообщении #429810 писал(а):

В соответствии с этими исправленными формулами для четырех указанных Вами примеров имеем:
$1$: $r_1=1, r_2=0$
$-1$: $r_1=-1, r_2=0$
$i$: $r_1=1/2, r_2=-1/2$
$-i$: $r_1=-1/2, r_2=1/2$

Они плохо согласуются с моими формулами.

[Time]

Someone в сообщении #430763 писал(а):

Ну, на недостатки Вам указали (не только я), а достоинств мне не видно.

Среди недостатков называлось наличие комплексных и двойных чисел, которые не имеют соответствующей интерпретации и формы представления. Это утверждение, думаю, не верно. Примеров таких чисел пока не предъявлялось. На счет наличия у двух чисел одного и того же образа в виде отрезка я и сам называл в качестве недостатка, однако отмечал, что это относительно легко преодолевается. Других недостатков не увидел. Напомните, если что еще имеется..

Одно из основных достоинств я отметил: это представление и комплексных и двойных чисел в виде объектов одного сорта в одном и том же одномерном пространстве прямой. Геометрия псевдоевклидовой плоскости далека от очевидности и представление двойных чисел в виде ее векторов или точек имеет в этом смысле явные сложности.

Someone в сообщении #430763 писал(а):

Они плохо согласуются с моими формулами.

Это потому, что Вы почему-то решили, что предлагаемый способ интерпретации связан напрямую с корнями от двойных и комплексных чисел. Связь тут естественно есть, но не прямая. На счет верности приводимых значений $r_1$ и $r_2$ можно убедиться непосредственной подстановкой. Более того, можно указать любой отрезок на прямой и показать какие комплексные или двойные числа им соответствуют (вместе с сопряженными).
Еще раз хочу подчеркнуть, что вопрос полезности, бесполезности, вредности можно оставить на потом. Сейчас надо определиться, есть тут противоречия или нет, а если есть, то можно ли их снять как это имеет место с неоднозначностью..

[Someone]

Time в сообщении #430802 писал(а):

Среди недостатков называлось наличие комплексных и двойных чисел, которые не имеют соответствующей интерпретации и формы представления. Это утверждение, думаю, не верно. Примеров таких чисел пока не предъявлялось.

А Вы напишите явные формулы, позволяющие по заданному комплексному ($a+bi$) или двойному ($a+bI$) числу однозначно определить соответствующий отрезок. Столь же аккуратно, как я написал формулы для вычисления квадратных корней. А то Вы ограничиваетесь какими-то неясными намёками. Тогда и поговорим подробнее.

Time в сообщении #430802 писал(а):

Это потому, что Вы почему-то решили, что предлагаемый способ интерпретации связан напрямую с корнями от двойных и комплексных чисел.

Извините, но Вы сами связали это с корнями, причём, не сказав, кроме этого, ничего существенного. Либо Вы точно опишете своё соответствие, чтобы любой заинтересованный мог однозначно определить, какой отрезок соответствует заданному числу, либо говорить будет более не о чем.

[lavex]

Time в сообщении #430754 писал(а):

Я надеялся, что кто-то из участников форума может заинтересоваться данным казусом и либо укажет эти самые непреодолимые моменты, либо покажет, как все может быть причесано. Судя по всему, я зря надеялся..

Отнюдь не зря, и это действительно может быть весьма полезным. Генеральной целью, можно сказать, является поиск определения сходимости ряда и предела на двойных числах. Для этого нужно построить разумную интерпретацию комплексных чисел, как векторов на евклидовой прямой, и взглянуть на неё затем с точки зрения определения сходимости ряда для действительных и для комплексных чисел. Тогда станет понятным, что делать с двойными. (Совсем еретическая идея, потому пишу в скобках: может, переформулировать соответствующее определение для комплексных чисел, просто обернув в нём неравенство треугольника - экстремальна-то ведь у нас теперь будет максимальная длина (одномерный, между прочим, объем)?)
Для этого прошу Time ответить на ряд вопросов:
1. По-видимому, туплю безбожно, но я никак не соображу, как связаны выписанные Вами $r_1$ и $r_2$ с $x$ и $y$ в обычном представлении что комплексного, что двойного числа? Поэтому небольшая просьба - написать $r_1=$ и выразить через $x$ и $y$.
2. Почему нельзя просто считать такое число вектором, начинающемся в $x$ и заканчивающимся в $iy$? Сопряжённое число даёт вектор, направленный из той же точки в противоположную сторону... Примитивно, согласен, но хотелось бы уяснить все минусы такого примитивизма...

[Time]

Someone в сообщении #430845 писал(а):

А Вы напишите явные формулы, позволяющие по заданному комплексному ($a+ib$) или двойному ($a+Ib$) числу однозначно определить соответствующий отрезок. Столь же аккуратно, как я написал формулы для вычисления квадратных корней. А то Вы ограничиваетесь какими-то неясными намёками. Тогда и поговорим подробнее.

Извиняюсь, я думал, что это с очевидностью следует из предыдущих формул. Выше были приведены формулы для переходов от координат отрезка на прямой $r_1$ и $r_2$ к координатам $a$ и $b$ комплексного или двойного числа. На всякий случай повторю в несколько иной форме, которая, надеюсь, снимет остающиеся вопросы при понимании. Если координаты некоторого отрезка $r_1$ и $r_2$ одновременно больше или меньше нуля, то ему соответствует двойное число $h_2=a+Ib$ с компонентами, вычисляемыми по правилу:
$a=r_1+r_2$
$b=2\sqrt{r_1r_2}$
Если же один конец отрезка находится в области положительных чисел прямой, например, $r_1>0$, а второй в области отрицательных значений $r_2<0$, то таким отрезкам соответствуют уже не двойные, а комплексные числа $a+ib$ с компонентами вычисляемыми, по сути, по тому же правилу, но с учетом, что $r_2$ имеет отрицательное значение:
$a=r_1+r_2=r_1-|r_2|$
$b=2\sqrt{r_1r_2}=2i\sqrt{r_1|r_2|}$

Можно указать простые правила переходов и в обратную сторону. Так, если имеем двойное число вида $a+Ib$, то координаты обоих концов соответствующего ему отрезка являются просто корнями квадратного уравнения вида:
$(r-r_1)(r-r_2)=r^2-(r_1+r_2)r+r_1r_2=0$
Сравнивая с вышеприведенными формулами, имеем эквивалентное квадратное уравнение с коэффициентами выраженными через координаты $a$ и $b$:
$r^2-ar+b^2/4=0$ (**)
Если оба корня этого уравнения вещественны и имеют одинаковый знак, они задают концы отрезка [$r_2,r_1$], соответствующего двойному числу $a+Ib$.
Как я говорил выше, эти отрезки имеют направление. При этом принимается следующее правило для направлений. При обоих положительных корнях направление от точки с меньшей координатой к большей. При обоих отрицательных - наоборот. То есть, в обоих случаях направление отрезка идет в сторону от нуля.
Не трудно заметить, что эти правила работают при положительном дискриминанте уравнения (**), то есть, когда $a^2-b^2>0$.
Если этот дискриминант отрицательный, то направленность отрезков принимается противоположной, а значения $r_1$ и $r_2$ вычисляются уже из уравнения:
$r^2-br+a^2/4=0$,
имеющего уже положительный дискриминант.
Если дискриминант равен нулю, то корни $r_1$ и $r_2$ совпадают и имеем вырожденный случай двойных чисел, которые принято называть делителями нуля $r_1+Ir_1$ и вместо отрезка им оказывается соответствующей просто точка, то есть, вырожденный отрезок.
Если один из корней отрицательный, а второй положительный, то концы отрезка [$r_2,r_1$] соответствуют комплексному числу $a+ib$. Направление отрезка выбирается от отрицательного числа к положительному. При отрицательности дискриминанта следует поступить точно также как в описанном выше случае с двойными числами, поменяв местами коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении (**) и поменяв на противоположное правило задания направления у соответствующего отрезка.
Случай отрицательного дискриминанта тут единственный и возникает лишь для числа $0+i0$, которому соответствует вырожденный в точку $0$ отрезок.
Я понимаю, что описанные правила со стороны могут показаться запутанными и ниоткуда не следующими. Однако это не так. Я уже упоминал об алгебре бикомплексных чисел, изоморфной прямой сумме двух комплексных алгебр. Все что описано выше, является прямым следствием представления чисел из этой алгебры в виде связанных векторов двумерной плоскости с евклидовой метрикой. Что бы не перегружать информацией, я этот вариант пока лучше не буду вообще здесь расписывать, тем более, что мало кто свободно ориентируется в этой бикомплексной алгебре. Если кого заинтересует, как все тут получается, могу и это выложить, но сперва хотелось бы по максимуму обсудить описанные выше построения для комплексных и двойных чисел, отображаемых в множество направленных отрезков на прямой. Перебраться на бикомплексные числа всегда успеется..

-- Пн апр 04, 2011 00:44:38 --

lavex в сообщении #430920 писал(а):

1. По-видимому, туплю безбожно, но я никак не соображу, как связаны выписанные Вами $r_1$ и $r_2$ с $x$ и $y$ в обычном представлении что комплексного, что двойного числа?

Это не тупизм, это следствие иной логики, чем вросла в кожу в связи с обычной интерпретацией комплексных и двойных чисел. Впрочем, возможно, туплю я. Давайте попробуем разобраться..
Выше, надеюсь, все расписано достаточно подробно.

lavex в сообщении #430920 писал(а):

2. Почему нельзя просто считать такое число вектором, начинающемся в и заканчивающимся в ? Сопряжённое число даёт вектор, направленный из той же точки в противоположную сторону... Примитивно, согласен, но хотелось бы уяснить все минусы такого примитивизма...

В предлагаемой интерпретации длина отрезков соответствует модулям комплексных и двойных чисел, а в "Вашем" случае этого не будет. Кроме того не будет красивого и естественного геометрического смысла у аргументов комплексных и двойных чисел. В "моем" случае аргументы такой смысл имеют, но об этом также лучше поговорить после, а именно тогда (и если) доберемся до аналогичной интерпретации бикомплексных чисел, как связанных векторов на евклидовой плоскости.

[В.О.]

Можно построить самые разные переходы от числа $a +ib$ к отрезку $[r_1, r_2]$
$r_1 = f_1(a,b)$
$r_2 = f_2(a,b)$
Например, такой:
$r_1 = \arctg \frac b a$
$r_2 = r_1 + \sqrt{a^2 + b^2}$,
который назовем переходом Эйлера.
Чем Ваш переход лучше Эйлеровского?

[Time]

В.О. в сообщении #430986 писал(а):

Чем Ваш переход лучше Эйлеровского?

Тем же, что и в случае, предложенном lavex - модуль комплексного числа при этом не будет численно равен длине отрезка на вещественной прямой.
В обычной интерпретации комплексных чисел как векторов плоскости также можно было бы предложить самые разные варианты, однако предпочтение отдают тому, при котором модуль комплексного числа оказывается равным евклидовой длине ставящегося в соответствие вектора.

[В.О.]

Time в сообщении #430991 писал(а):

модуль комплексного числа при этом не будет численно равен длине отрезка на вещественной прямой

Будет.

[Time]

В.О. в сообщении #431305 писал(а):

Будет.

Ну, что ж, покажите как это "будет" реализуется для пары отрезков:
1) $r_2=-2; r_1=-1$;
2) $r_2=-1; r_1=-1$?

Потом, в "моем" варианте главным достоинством, как я полагаю (и говорил об этом), является не просто иное представление комплексных чисел с геометрической интерпретацией в виде отрезков прямой, а совмещение в такой интерпретации еще и двойных чисел, модуль которых (он в компонентах $a, b$ связан уже не с суммой, а с разностью квадратов) также оказывается равным евклидовой длине соответствующих отрезков. В Вашем предложении двойные числа пока вообще не фигурируют, хотя обобщение формулы Эйлера для них давно известно. Попробуете добавить?
Но даже если сделаете это, а заодно уберете нестыковки связанные с парой примеров вверху, еще останется пожелание показать, как предлагаемая интерпретация работает для бикомплесных чисел. Думаю, что для выполнения всех этих пожеланий другого варианта, чем предлагаемый мной, просто не останется. Хотя, чем черт не шутит, вдруг получится нечто иное.. Давайте посмотрим..