Почему не отображают множество комплексных чисел на прямую?

[Skipper]

Известно, что множество действительных чисел, R, отображают на прямую, а множество комплексных чисел C - на плоскость. Однако можно разными способами отобразить и множество комплексных чисел на прямую (не верите?), и поэтому мощности обоих множеств одинаковы - мощность континуума.

В случае, когда мы хотим получить график функции, с комплексными числами, поэтому не получается - нужно 4-мерное пространство - две размерности на аргумент функции и две на значение функции. Если отображали бы на прямую, то график функции можно было бы построить.

Вопрос - почему никто не отображает множество комплексных чисел на прямую? Интуитивно то я это понимаю, но не могу объяснить. Какова точная формулировка этого объяснения?

[Kitozavr]

Skipper в сообщении #342551 писал(а):

Однако можно разными способами отобразить и множество комплексных чисел на прямую (не верите?),

Не верю, Википедия говорит:

Цитата:

Комплексное число $z$ можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел $(x,y)$.

И как же отобразить два числа в одну точку на прямой?

[mihailm]

Усиливая автора, замечу что прямую можно биективно отобразить на отрезок [0,1] и тогда все графики можно рисовать в квадрате [0,1]х[0,1]
И с поверхностями можно не парится - рисовать как графики!

[Skipper]

Цитата:

Не верю

Ладно, счас поверите. Способов отображения комплексных чисел на прямую много, но самый простой для понимания, наверное - такой...
Возьмем любое комплексное число, например $100,355 + 3,222i$. От запятой (в обе стороны) каждое нечетное число будем брать из действительной части, а каждое четное - из мнимой части. Порядок Значит после запятой вправо будет наблюдаться такая картина -- ...,325252. Порядок тот же, т.е. сначала идет 3 из действительной части, потом 2 из мнимой, потом 5 из действительной, потом следующая 2 из мнимой и т.д. Слева от запятой - то же, только в обратную сторону, ну и понятно, все нули правее самого старшего ненулевого разряда - не пишем.

Значит, комплексное число $100,355 + 3,222i$ отображается на действительное 10030,325252.
КАЖДОЕ комплексное число можно отобразить на какое-то одно действительное. С помощью обратного преобразования, КАЖДОМУ действительному будет соответствовать ОДНО комплексное. Возьмем например, действительное число 32,678. Оно отображается на $2,68 + 3,7i$. Мы доказали, что множества C и R равномощны?

[nestoklon]

Skipper в сообщении #342551 писал(а):

Однако можно разными способами отобразить и множество комплексных чисел на прямую (не верите?), и поэтому мощности обоих множеств одинаковы - мощность континуума.

Потому, что отображение не будет непрерывным (причём, если мне память не изменяет, нигде). Соответственно, с ним будет весьма тяжко работать.

[Fenix333]

Цитата:

И как же отобразить два числа в одну точку на прямой?

Можно, можно ...

[Skipper]

Цитата:

Усиливая автора, замечу что прямую можно биективно отобразить на отрезок [0,1] и тогда все графики можно рисовать в квадрате [0,1]х[0,1]
И с поверхностями можно не парится - рисовать как графики!

Вообще-то вопрос не в том, что это можно отобразить (это и так понятно). Вопрос - как теоретически можно аргументировать, почему не используют ни один из видов отображения, т.е. почему никогда не отображают комплексные числа на прямую?
Должна быть какая-то причина. Т.е. такое множество не будет соответствовать каким-то характеристикам и т.п.? В чем причина?

[ShMaxG]

Соответствие между прямой и плоскостью естественно установить можно. На форуме уже обсуждали конструкции.
Вопрос: зачем? Изображение комплексных чисел на плоскости удобно. Даже более чем. Ибо -- идейно.

[Skipper]

Цитата:

Потому, что отображение не будет непрерывным (причём, если мне память не изменяет, нигде). Соответственно, с ним будет весьма тяжко работать.

А как поподробнее это можно обосновать? Как доказать что при всех видах подобного отображения (C на прямую), множество не будет непрерывным? И кстати, ПОЧЕМУ оно не будет непрерывным?
Числа размещены ВЕЗДЕ плотно. Так же как и в случае отображения действительных на прямую.

[Fenix333]

Skipper, Вы правы , но есть способ проще, мой метод -берем точку в двухмерном пространстве, и начинаем разбивать плоскость на четыре квадрата, нумеруем их, делаем ту же операцию с отрезком(на четыре отрезка), начинаем таким способом приближать точку-и получим отображение всей плоскости на прямую

[ShMaxG]

Skipper в сообщении #342559 писал(а):

Цитата:

Должна быть какая-то причина.

Так может спроса нет? Значит и предложения Впрочем, точный ответ на этот вопрос я не знаю. Но сильно подозреваю -- что это просто не нужно.

[Kitozavr]

Skipper
Спасибо. Теперь верю.

[nestoklon]

Skipper в сообщении #342561 писал(а):

Как доказать что при всех видах подобного отображения, множество не будет непрерывным?

Не знаю. Это кажется настолько естественным, что даже думать над доказательством лень. Я бы доказывал от противного. Предположил, что отображение непррывно и получил какую-нибудь чушь.

Skipper в сообщении #342561 писал(а):

Числа размещены ВЕЗДЕ плотно.

Ну и что? Если они при этом перемешаны в произвольном порядке, толку в плотности немного.

[Fenix333]

Цитата:

Не знаю. Это кажется настолько естественным, что даже думать над доказательством лень. Я бы доказывал от противного. Предположил, что отображение непррывно и получил какую-нибудь чушь.

Вы неправы, очевидно, что изображение будет непрерывным, доказательство дать?

[nestoklon]

Fenix333 в сообщении #342568 писал(а):

доказательство дать?

Ну попробуйте.