О проблеме Гольдбаха
Данную проблему, как и проблему простых близнецов можно решить с помощью аппарата элементарной теории чисел. Для этого необходимо расширить понятие функции Эйлера φ(Μ) и использовать приведенные
системы вычетов (ПСВ) по модулю
![$M(p)=\prod{p}$ $M(p)=\prod{p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/b/6eb8b15fc4fe46a65c47cb2deadc95e382.png)
(произведение простых чисел от 2 до p). Число вычетов ПСВ по модулю М определяет функция Эйлера.
![$$ \varphi(M)=\prod(p-1)$$ $$ \varphi(M)=\prod(p-1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/a/33a48fc68c3195e21a6e6f03cb3bf5f782.png)
Вычеты ПСВ взаимно простые с модулем и взаимно несравнимые по модулю.
Например,ПСВ по модулю
![$М(5)=30$ $М(5)=30$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/1/621a333b332afdfac9cb256d4202747482.png)
,
![$\varphi(30)= 8$ $\varphi(30)= 8$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/b/68b53f737eb49867ee183746e5fcc0aa82.png)
1, 7 11,13 17,19, 23, 29
Замечательной особенностью таких ПСВ является то, что вычеты на
интервале
![$ 1< a < p_{r+1}^2$ $ 1< a < p_{r+1}^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/e/bdeb1a29af080eed0fa56e0483130f6d82.png)
-представляют непрерывный ряд простых чисел,
исключая первые r простые числа, составляющие модуль М.
У ПСВ по модулям М(5)=30 и М(7)= 210 этот интервал больше 0,5 М. Мы
их рассматривать не будем, но для примера будем использовать.
Основной ПСВ считается та, у которой все вычеты меньше модуля.
Но это не обязательно. Особый интерес представляют ПСВ по модулю
М = (1,5 - 0,5)М, т.е. все вычеты сдвинуты на 0,5 М. Для модуля 30
17,19, 23, 29,31, 37, 41,43,
При таком расположении вычетов в центре ПСВ образуется интервал
![$ M ±1, p_{r+1},... p_s...p_t....p_n <p_{r+1}^2$ $ M ±1, p_{r+1},... p_s...p_t....p_n <p_{r+1}^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6fad2d829a31a46e2e62b94ca7f99d282.png)
где n - число простых чисел в интервале.
Например, для М=30,если убрать модуль М, получим:
-13,-11, -7, -1, +1, +7, +11,+13
Разность между вычетами, расположенными по обе стороны от М,
равна сумме различных сочетаний двух простых чисел в пределах
интервала. Для М(30): 26,24,22,20,18,14. Здесь нет разности 16 т.к. в данной ПСВ нет простых чисел 3, 5.
Число таких сочетаний равно 0,5n(n+1), что значительно
превышает число возможных разностей в этом интервалe при М >210.
С увеличением модуля интервал растет, следовательно, растет и база
разностей, равная сумме двух простых чисел.