Бросание игральной кости и вероятность сказать правду

[--mS--]

venco в сообщении #424353 писал(а):

$\mathsf P(B\, |\, \overline A)$ неправильно посчитано. Если выпала не шестёрка, то неправда будет шестёркой с вероятностью $\frac 1 5$ (при условии случайности неправды), и тогда ответ будет $\frac 3 4$. Если же у нашего персонажа есть неслучайные намерения, то ответ вычислить невозможно.

Я всё сказала. А это даже комментировать не берусь.

[jrMTH]

Это, наверное, всё из-за меня. Я задачи из английских книжек и формов по brain teasers беру.
Наверное они как английские анекдоты: очень полские.
Решение от --mS--, я верю правильно или точно близко к правде.
По крайней мере я видел уже такой ответ и не видел его опровержения.
Просто еще сам пытаюсь лучше понять задачу, 0.75 да, в голову быстрее лезет чем другие решения ))
Вот, получается, интересная все-таки задача и мужчин на женщин не нужно теперь менять чтобы решение найти.

[mclaudt]

--mS-- в сообщении #424368 писал(а):

venco в сообщении #424353 писал(а):

$\mathsf P(B\, |\, \overline A)$ неправильно посчитано. Если выпала не шестёрка, то неправда будет шестёркой с вероятностью $\frac 1 5$ (при условии случайности неправды), и тогда ответ будет $\frac 3 4$. Если же у нашего персонажа есть неслучайные намерения, то ответ вычислить невозможно.

Я всё сказала. А это даже комментировать не берусь.

А подумать? Верно товарищ venco указал, если выпала не шестерка, то у человека целых 5 возможностей соврать, и из них шестерка только одна, и мы должны сделать допущение, что врет он без перекоса. Потому знаменатель не 1/3 а 1/6.

Так что, как ни странно, ответ действительно 0.75.

-- Пт мар 18, 2011 18:28:56 --

Понять можно следующим образом: допустим он условился при вранье по возможности называть 1. Это не изменит его статистики истинных ответов, но занизит вероятность выпадения единицы при условии что он назвал единицу. Это значит что ответ определяется не только процентом его честных ответов, но и распередением неверных ответов при вранье.

[dovlato]

Я сам просчитал по схеме - полная вер-сть - формула Байеса. Так же, как и у $ms$, получилось $3/8$.
Хотя поначалу казалось - 0.75.

[_hum_]

2mclaudt
Опять же, тут, по-хорошему, надо бы точно оговорить, что означает фраза "Есть мужчина, который говорит правду в 3-х случаях из 4-х". Скорее всего имеется в виду, что в любых мыслимых экспериментах (а не только в данном с костью) в результатах, сообщаемых мужчиной, будет 75% вранья. А раз так, то можно рассмотреть (новый) экперимент со случаным бросанием кости, в котором по каким-то причинам не может наблюдаться выпадение 6-ки (допустим, кто-то "выключает сознание" у участников экперимента при попытке выпасть 6-ке). Тогда при окончательном расчете результатов частота встречаемости ответов мужчины "выпала 6-ка" будет в точности совпадать с частотой вранья = 1-3/4 = 1/4, и она же (по смыслу условной вероятности) совпадет с $P(B|\Bar{A}).$

[mclaudt]

Цитата:

Я сам просчитал по схеме - полная вер-сть - формула Байеса. Так же, как и у $ms$, получилось $3/8$.

Ну так пересчитывай по новой: по Байесу выходит $3/4$:

$ $$\mathsf P(B) =\mathsf P(A)\mathsf P(B\, |\, A)+\mathsf P(\overline A)\mathsf P(B\, |\, \overline A)=\frac16\,\cdot\,\frac34 + \frac56\,\cdot\,\frac14\,\cdot\,\frac15 = \frac{3}{24} \,+\,\frac{1}{24}=\frac16.$$ $

[dovlato]

Для меня этот мужчина - это автомат с датчиком случайных чисел на интервале $(0,1)$.
И если это число оказывается в пределах 0.75, то он говорит правду. А для бо'льших чисел - лжёт.

-- Пт мар 18, 2011 19:45:27 --

mclaudt в сообщении #424445 писал(а):

Ну так пересчитывай

Во-первых, с чего это "ты". Во-вторых, с понятием ф-лы Байеса можете познакомиться хотя бы у Гмурмана.

[venco]

mclaudt в сообщении #424445 писал(а):

Цитата:

Я сам просчитал по схеме - полная вер-сть - формула Байеса. Так же, как и у $ms$, получилось $3/8$.

Ну так пересчитывай по новой: по Байесу выходит $3/4$:

$ $$\mathsf P(B) =\mathsf P(A)\mathsf P(B\, |\, A)+\mathsf P(\overline A)\mathsf P(B\, |\, \overline A)=\frac16\,\cdot\,\frac34 + \frac56\,\cdot\,\frac14\,\cdot\,\frac15 = \frac{3}{24} \,+\,\frac{1}{24}=\frac16.$$ $

Кстати, если персонаж врёт случайно, то $\mathsf P(B) = \frac 1 6$ просто из симметрии.

[mclaudt]

dovlato

dovlato в сообщении #424446 писал(а):

Во-первых, с чего это "ты".

Во-первых, это "в-десятых". А во-вторых, в этих наших интернетах принято обращение на ты. И это замечательно, ибо я не знаю заранее ни возраста собеседника, ни его заслуг. На лицемерно-хамское "Вы" принято переходить непосредственно перед мордобитием. А повода я не вижу.

Цитата:

Во-вторых, с понятием ф-лы Байеса можете познакомиться хотя бы у Гмурмана.

С чего это ты взял что я не знаю формулу Байеса? Обоснуй. Я все расписал, а от тебя кроме слов пока ничего.

[Toucan]

mclaudt в сообщении #424463 писал(а):

dovlato

dovlato в сообщении #424446 писал(а):

Во-первых, с чего это "ты".

Во-первых, это "в-десятых". А во-вторых, в этих наших интернетах принято обращение на ты. И это замечательно, ибо я не знаю заранее ни возраста собеседника, ни его заслуг. На лицемерно-хамское "Вы" принято переходить непосредственно перед мордобитием. А повода я не вижу.
...
С чего это ты взял что я не знаю формулу Байеса? Обоснуй. Я все расписал, а от тебя кроме слов пока ничего.

mclaudt, предупреждение за фамильярность.

Читайте Правила форума:

Правила форума в http://dxdy.ru/post27356.html#p27356 писал(а):

1) Нарушением считается:
…
е) Провокационные и вызывающие сообщения, фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы")...

Вне зависимости от того, знаете Вы возраст и заслуги собеседника или не знаете, потрудитесь, пожалуйста, обращаться к нему на "Вы".
В противном случае Вам придется подыскать себе другой форум.

[dovlato]

venco в сообщении #424461 писал(а):

$\mathsf P(B) = \frac 1 6$ просто из симметрии.

Ну ладно, излагаю по шагам.
1. Имеются две гипотезы: $H_0:
Априорные вер-сти $p(H_0)=1/6; \quad p(H_1)=5/6$
2. Событие $A=$объявлено шесть.
3. Усл. вер-сти $p(A|H_0)=3/4; \quad p(A|H_1)=1/4 $
4. Ф-ла полной вр-сти $p(A)=p(H_0)p(A|H_0)+p(H_1)p(A|H_1)=\frac 1 6 \frac 3 4+\frac 5 6 \frac 1 4=\frac 1 3$
5. Ф-ла Байеса: $p(H_0|A)=\frac {p(H_0)p(A|H_0)}{p(A)}=\frac {\frac 1 6 \frac 3 4}{\frac 1 3}=\frac 3 8$

[svv]

dovlato в сообщении #424446 писал(а):

Для меня этот мужчина - это автомат с датчиком случайных чисел на интервале $(0,1)$.
И если это число оказывается в пределах 0.75, то он говорит правду. А для бо'льших чисел - лжёт.

Я с удовольствием рассмотрю товарища как автомат. Но как он работает?

Для моделирования нужно ответить на два вопроса:
1. Как автомат определяет, когда лгать? (Датчик случайных чисел -- лишь одна из возможностей.)
2. Как автомат определяет, как именно лгать, если решено лгать? (Датчик случайных чисел -- лишь одна из возможностей.)
От ответа на эти вопросы зависит искомая вероятность. Я не заметил, чтобы эту информацию можно было извлечь из условий задачи.

Если, например, в случае лжи автомат всегда выдает 6, когда выпадает не 6, это совсем другая история.

Можно построить автомат, удовлетворяющий условиям задачи, такой, что вероятность, о которой спрашивается в задаче, имеет любое заданное значение $\in [0; 1]$.

[mclaudt]

dovlato
Вот тут заблуждение:

Цитата:

$ \quad p(A|H_1)=1/4$

При условии, что выпало не шесть, вероятность произнести "шесть" не есть $\frac 1 4 $, она есть $\frac 1 {20}$, и это при допущении равномерности распределения вариантов при вранье.

-- Пт мар 18, 2011 21:11:43 --

svv в сообщении #424483 писал(а):

Если, например, в случае лжи автомат всегда выдает 6, когда выпадает не 6, это совсем другая история.

Именно, только вот dovlato и --mS-- почему-то настойчиво решают именно его. Правильнее исходить из равномерного вранья.

[venco]

dovlato в сообщении #424472 писал(а):

1. Имеются две гипотезы: $H_0:
Априорные вер-сти $p(H_0)=1/6; \quad p(H_1)=5/6$
2. Событие $A=$объявлено шесть.
3. Усл. вер-сти $p(A|H_0)=3/4; \quad p(A|H_1)=1/4 $
4. Ф-ла полной вр-сти $p(A)=p(H_0)p(A|H_0)+p(H_1)p(A|H_1)=\frac 1 6 \frac 3 4+\frac 5 6 \frac 1 4=\frac 1 3$

Вот тут стоило бы остановиться, и поискать ошибку, т.к.

venco в сообщении #424461 писал(а):

$\mathsf P(B) = \frac 1 6$ просто из симметрии.

Кстати, dovlato, зачем Вы ввели новые обозначения, пересекающиеся и не совпадающие с теми, что были введены ранее --mS--? Путаницы только прибавилось.

[dovlato]

mclaudt в сообщении #424490 писал(а):

вероятность произнести "шесть" не есть $\frac 1 4 $, она есть $\frac 1 {20}$

Согласен. Тогда та же схема приводит снова к результату $3/4$.

-- Пт мар 18, 2011 21:30:27 --

venco в сообщении #424496 писал(а):

зачем Вы ввели новые обозначения

Этим "новым обозначениям" лет сто. Как раз в них всё стройно.