Бросание игральной кости и вероятность сказать правду

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #591538 писал(а):

Задача недоопределена. Если, что делает мужчина, если ему выпало говорить правду, понятно, то что он делает, если надо лгать - из приведенных условий неясно.

Мужик говорит правду только в единственном случае, когда какую цифру видит ту и называет. Если выпала Х, а мужик назвал любую из 6 кроме Х, он лжёт.

[_Ivana]

Напрямую картинку не получается вставить, даю ссылку http://e-science.ru/forum/index.php?act=Attach&type=post&id=15373

[--mS--]

Великолепно

[ShMaxG]

Попробую обобщить и показать, в частности, что от предыстории ответ может и зависеть.

Пусть имеется некоторый эксперимент с $N$ возможными исходами (быть может не равновозможными). Пусть наблюдается $i$-ый исход эксперимента, с соответствующей ему вероятностью $p_i$. Далее мужик по данному исходу либо врет (с вероятностью $\[{{p_{{\text{lie}}}}}\]$), либо говорит правду (с вероятностью $\[{{p_{{\text{true}}}}}\]$), и пусть делает он это независимо от того, что видит. Если он говорит правду, то он произносит то, что выпало (правда всегда одна, это сказал фараон). Если он солгал, то он может назвать один из оставшихся $N-1$ вариантов. Допустим, что он может солгать любым образом с одинаковой вероятностью.

Обозначим $\[{{E_i}}\]$ событие, что имеет место $i$-ый исход эксперимента. Обозначим $M_i$ событие, что мужик сказал, что имеет место $i$-ый исход эксперимента.

Итак, вероятность того, что имеет место исход $i$ при условии, что мужик сказал, что произошло $i$ равна:

$$\[{\mathbf{P}}\left\{ {{E_i}|{M_i}} \right\} = \frac{{{\mathbf{P}}\left\{ {{M_i}|{E_i}} \right\}{\mathbf{P}}\left( {{E_i}} \right)}}{{{\mathbf{P}}\left\{ {{M_i}|{E_i}} \right\}{\mathbf{P}}\left( {{E_i}} \right) + {\mathbf{P}}\left\{ {{M_i}|\overline {{E_i}} } \right\}{\mathbf{P}}\left( {\overline {{E_i}} } \right)}} = \frac{{{p_{{\text{true}}}} \cdot {p_i}}}{{{p_{{\text{true}}}} \cdot {p_i} + \frac{{{p_{{\text{lie}}}}}}{{N - 1}} \cdot \left( {1 - {p_i}} \right)}}\]$$

так как

$$\[{\mathbf{P}}\left\{ {{M_i}|\overline {{E_i}} } \right\} = \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {{\mathbf{P}}\left\{ {{M_i}|\overline {{E_i}} ,{E_j}} \right\}{\mathbf{P}}\left( {{E_j}|\overline {{E_i}} } \right)} = \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {{p_{{\text{lie}}}}\frac{1}{{N - 1}}} \frac{{{p_j}}}{{1 - {p_i}}} = \frac{{{p_{{\text{lie}}}}}}{{N - 1}}\]$$

Заметим, что если исходы эксперимента равновозможные (как в исходной задаче), то $p_i = 1/N$ и

$$\[{p_{{\text{true}}}} \cdot \frac{1}{N} + \frac{{{p_{{\text{lie}}}}}}{{N - 1}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{N}} \right) = \frac{1}{N}\left( {{p_{{\text{lie}}}} + {p_{{\text{true}}}}} \right) = \frac{1}{N} = {p_i}\]$$

Таким образом,

$$\[{\mathbf{P}}\left\{ {{E_i}|{M_i}} \right\} = \frac{{{p_{{\text{true}}}} \cdot {p_i}}}{{{p_i}}} = {p_{{\text{true}}}}\]$$

Если, например, $N=3$, $p_i=1/2$ для некоторого $i$, $\[{p_{{\text{true}}}} = 1/2\]$, то ответ $ \[\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{1}{{1 + 1/2}} = \frac{2}{3} \ne \frac{1}{2}\]$.

[statistonline]

На мой непросвещенный взгляд в задаче некорректно сведены воедино две простые задачи. Исходя из формулировки вопроса - "какова вероятность того, что выпало действительно 6?" - следует ответ 1/6, так как в условии не оговорена зависимость между ответами мужчины и результатом бросания кубика, что автоматически означает отсутствие такой зависимости.

ShMaxG в сообщении #616622 писал(а):

Далее мужик по данному исходу либо врет (с вероятностью ), либо говорит правду (с вероятностью ), и пусть делает он это независимо от того, что видит. Если он говорит правду, то он произносит то, что выпало (правда всегда одна, это сказал фараон). Если он солгал, то он может назвать один из оставшихся вариантов

Здесь я вижу некое противоречие: мужчина лжет либо говорит правду независимо от результата броска, и вместе с тем наблюдает результат, решая, что именно ему назвать.