Сферическая система координат

[В.О.]

Time, Вы как божество, спустившееся с небес и вмешавшееся в человеческие дела. Сказали нечто невыразимо прекрасное, но абсолютно недоступное для простых смертных.

[hurtsy]

(Оффтоп)

В.О. в сообщении #418621 писал(а):

Time, Вы как божество, спустившееся с небес и вмешавшееся в человеческие дела. Сказали нечто невыразимо прекрасное, но абсолютно недоступное для простых смертных.

Очень язвительно, но не более чем оффтопно.

Нельзя ли ближе к теме $-$ сферическим координатам С уважением,

[В.О.]

Это ни в коем случае не язвительность. Это восхищение помноженное на непонимание.
Эээ. ...о сферических координатах.
Эстетическую меру Биркгоффа красоты topic40694.html можно вычислять и в сферических координатах.

[12d3]

evgeniy в сообщении #418439 писал(а):

Пока я не убеждусь, что результирующее решение правильно, я не буду ничего подробно излагать, так как это бессмысленно.

В этом есть смысл - прочитавшие могут найти ошибки, которые вы самостоятельно пока найти не можете.

[Андрей АK]

(Оффтоп)

Time в сообщении #418587 писал(а):

Андрей АK в сообщении #418399 писал(а):

По моему, вы сделали одну ошибку.
А именно - взяли за основу мнимую единицу.
А ведь это "оператор поворота" в двумерной плоскости.
Чтоб то-же самое было в трехмерной плоскости, надо использовать кватернионы.

Мнимая единица может быть оператором поворота не только на комплексной плоскости или в пространстве связанном с кватернионами, но и в пространствах с иным типом метрической функции, нежели квадратичная. В частности, в финслеровом пространстве, соответствующем алгебре прямых сумм вещественных и комплексных чисел, или двух комплексных. В обоих случаях группы вращений коммутативные, то есть, абелевы. Иными словами многомерные плоскости бывают не только с евклидовой или псевдоевклидовой геометрией, но и с частного вида финслеровыми.

Не представляю, как вы там обходитесь одной мнимой единицей.
Операторы поворота ,подобные мнимой единице, для того и нужны, чтоб использовать их в одномерных полиномах, задающих многомерные объекты.
Векторные координаты $i,j,k$ также можно обозвать числами, со своими правилами умножения, и составить из них полином но эти числа не будут одновременно и операторами поворота (для поворота векторов понадобятся еще и матрицы) - при скалярном произведении это будут операторы проекции на координатные оси.
А вот чтоб числа были одновременно и операторами поворота - это только мнимая единица, в плоскости, и кватернионы - в трехмерном пространстве.

Хотя, раз для двумерного случая достаточно одного оператора, логично предположить что в трехмерном случае , достаточно двух "мнимых единиц" - но это ,по сути, и есть единичные вектора полярных координат, но как их перемножать, непонятно...

[evgeniy]

Мне удалось построить простое решение вместо решения сложных операторных уравнений. Я расскажу, как оно выглядит. Построим для сферических координат огибающие поверхности сферы. Для угла $\theta \to s_1$, и для угла $\varphi \to s_2$ . метрический интервал равен $ds^2=dR^2+ds_1^2+ds_2^2=dR^2+R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)\eqno(1)$, где углы надо построить удовлетворяющие этой метрике. Если удастся их построить, удовлетворяющими $ds_l=Rd\varphi_l$, то будет построена функция удовлетворяющая данному метрическому интервалу. Для этого запишем дифференциальное уравнение
$\frac{1}{R}=\frac{\partial \varphi_l}{\partial s_l}$
Его решение
$\varphi_1=\frac{s_1+g_1(s_2)}{R}$
определим функцию $g_1(s_2)$ из максимального значения $s_1=s_1^{max}(s_2)$ и положим нулевое значенние угла при максимальном значении огибающей. Получим формулу
$\varphi_1=\frac{s_1-s_1^{max}(s_2)}{R}$,
т.е. величина функции угла определена. КАкими свойствами она обладает. Для угла $\varphi_1$ эта функция равна $s_1^{max}(s_2)=2R\pi$ и получаем периодический угол. Но для угла $\varphi_2$ период угла функции период зависит от величины $s_1^{max}(s_2)$, т.е. разлагать в ряд Фурье по этому углу нельзя, и получим интеграл фурье. В силу равенства (1), которому построенные углы удовлетворяют, получаем угловую часть Лапласиана виде оператора
$\frac{1}{R^2}(\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1}+\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_2}).$
Имеется решение для угловой части $exp(in\varphi_1+i\alpha \varphi_2).$так как угол не периодический и изменяется от минус бесконечности до плюс бесконечности, а не конечный, он не подчиняется формуле Гаусса, выведенной при конечном параметрическом задании поверхности $\vec r=\vec r(u,v)$ где величины u,v конечны и охватывают поверхность.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418744 писал(а):

Но для угла $\varphi_2$ период угла функции период зависит от величины $s_1^{max}(s_2)$, т.е. разлагать в ряд Фурье по этому углу нельзя, и получим интеграл фурье. В силу равенства (1), которому построенные углы удовлетворяют, получаем угловую часть

Ничего не изложено. Опять отрывочные формулы.

Цитата:

Но для угла $\varphi_2$ период угла функции период зависит от величины $s_1^{max}(s_2)$, т.е. разлагать в ряд Фурье по этому углу нельзя, и получим интеграл фурье.

Здесь, когда Вы напишете про $\varphi_2$ подробно, будет указана ошибка.

Цитата:

формуле Гаусса, выведенной при конечном параметрическом задании поверхности $\vec r=\vec r(u,v)$ где величины u,v конечны и охватывают поверхность.

Полная чепуха. Где Вы это взяли? Формула Гаусса сугубо локальна.

[evgeniy]

Не понимаю, что нужно писать. Приведены формулы, если мой комментарий не нравится, игнорируйте его. ПОстроены углы $\varphi_l(s_1,s_2),l=1,2$ и этим все сказано и показано как определяются функции, определяющие эти углы.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418758 писал(а):

ПОстроены углы $\varphi_l(s_1,s_2),l=1,2$ и этим все сказано.

Не приведено построение угла $\varphi_2$. Не написано, что такое $s_1,s_2$. Не учтены призводные $\frac{\partial \varphi_k}{\partial s_{1-k}}$, которые приведут к появлению внедиагональных членов в метрическом тензоре.
Разговор об интегралах Фурье вообще невнятный.
Потратьте обещанную неделю и напишите подробно.

И уберите чушь о формуле Гаусса.

[12d3]

Что такое $s_1$ и $s_2$? Можно ли их как нибудь выразить через обычные сферические координаты? Ну или на картинке нарисовать?

[evgeniy]

Вы наверно издеваетесь надо мной, угол $\varphi_2$ определяется аналогично другому углу. ОГибающие $s_1,s_2$ определены и соответствуют углам сферической системы координат $ \theta, \varphi$, т.е. изменение соответствующего угла вызывает изменение огибающей. Учитывать производные $\frac{\partial \varphi_k}{\partial s_{1-k}}$ не надо, так как надо подтвердить соотношение $ds_l=Rd\varphi_l$ и ни какое другое. рАзговор об интеграле Фурье вполне понятный, один из углов периодичен, а другой нет, поэтому нужно использовать для одного из углов интеграл Фурье, а не ряд Фурье.
Согласен, формула Гаусса локальна, но подразумевает что поверхность определена на конечном множестве, причем для каждой декартовой точке поверхности, соответствует одно u,v, или по крайней мере периодичность по u,v. В данном же случае по одной из переменных получается $\varphi_1(s_1,s_2)$ многозначная функция, так как одной и той же декартовой точке и значит, одинаковым с точностью до периода $s_1,s_2$, соответствует разное$\varphi_1$. Т.е. угол $\varphi_1$ не регулярная функция от огибающей и теорема Гаусса не применима. Т.е. огибающие периодичны, а данный угол $\varphi_1$ не периодичен.

-- Вт мар 01, 2011 21:21:46 --

ОГибающая $s_1=\int_{0}^{\theta}\sqrt{\sum_{l=1}^{3}(\frac{\partial x_l}{\partial \theta})^2}d\theta$
и аналогичная формула для огибающей $s_2$ при записи другого угла сферической системы координат.

[svv]

evgeniy, никто не издевается. Все жаждут увидеть наконец явное выражение $\varphi_1$, $\varphi_2$ через декартовы или сферические координаты, либо координаты $R$, $\psi_1$, $\psi_2$. Не понимаю, почему нужно говорить о кривизне или интеграле Фурье прежде, чем прояснен простой вопрос: чему равны эти магические углы для произвольной точки пространства.

[12d3]

evgeniy в сообщении #418777 писал(а):

ОГибающие $s_1,s_2$ определены и соответствуют углам сферической системы координат $ \theta, \varphi$, т.е. изменение соответствующего угла вызывает изменение огибающей

Вы просто повторили свои слова, понятнее ни капли не стало. Потому я и попросил формулками выразить или на крайняк картинку нарисовать.
У меня сложилось такое представление: в сферических координатах $ds^2 = dR^2 + R^2 d\theta ^2 + R^2 \sin ^2 \theta d \varphi^2$. Вы хотите добиться, чтобы $d s_1^2 = R^2 d \theta^2,\,\,\, d s_2^2 = R^2 \sin ^2 \theta d \varphi^2,\,\,\, d s^2 = dR^2 + ds_1^2+ds_2^2$
Правильно я понял?

[evgeniy]

Чтобы использовать многозначную функцию $\varphi_1$ нужно ее определить как соответствующую разным значениям периода $s_1,s_2$/
12d3 Вы поняли как я это имел в виду. Определение огибающей я записал на предыдущем ответе.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418777 писал(а):

формула Гаусса локальна, но подразумевает что поверхность определена на конечном множестве,

Чушь! Где Вы это взяли? такое 'подразумевает' это Ваше личное изобретение.

evgeniy в сообщении #418777 писал(а):

так как надо подтвердить соотношение $ds_l=Rd\varphi_l$

Но Вы его не подтвердили. И не сможете, поскольку оно неверно. Это соотношение
не означает, что нужно считать только одноименные частные производные.
Правильная формула
$ds_i=\frac{\partial s_i}{\partial \varphi_1}d\varphi_1+\frac{\partial s_i}{\partial \varphi_2}d\varphi_2$
Так что при замене переменных возникают и 'смешанные производные'. Вы их почему-то забыли. То есть, не почему-то. Очень хочется получить Ваш результат. Хоть он и противоречит природе. Нет таких углов.

Это Ваша обычная ошибка. Вы забываете определение частных производных.

evgeniy в сообщении #418777 писал(а):

рАзговор об интеграле Фурье вполне понятный, один из углов периодичен, а другой нет, поэтому нужно использовать для одного из углов интеграл Фурье, а не ряд Фурье.

Совершенно непонятно. Что Вы раскладываете в интеграл Ф.?

evgeniy в сообщении #418777 писал(а):

угол $\varphi_2$ определяется аналогично другому углу.

В таких аналогично кроются ошибки. Нет периодиочности, уже только тем и не аналогично.

-- Вт мар 01, 2011 18:33:01 --

evgeniy в сообщении #418796 писал(а):

Чтобы использовать многозначную функцию $\varphi_1$ нужно ее определить как соответствующую разным значениям периода $s_1,s_2$/

Но Вы ее не определили