Сферическая система координат

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415793 писал(а):

то я употребил термин кривизна $\frac{1}{R} $,

неправда.

evgeniy в сообщении #415791 писал(а):

У сферы имеется конечная кривизна поверхности, равная ее радиусу.

evgeniy в сообщении #415793 писал(а):

Метрика формулы получается не Евклидова, так как содержит радиус сомножителем.

неверно. На сфере радиус постоянен, и метрика Евклидова.

evgeniy в сообщении #415793 писал(а):

где величины $ds_l,l=1,2$, это огибающие поверхности

Слова смысла не имеют.

evgeniy в сообщении #415793 писал(а):

Локальное свойство метрического интервала, что он равен сумме квадратов приращения не означает, что поверхность Евклидова.

Это означает, что метрика Евклидова. Поверхность изометрична (куску) плоскости, согласно теореме Гаусса, см Погорелов, стр.155.

evgeniy в сообщении #415793 писал(а):

Так для сферической системы координат имеем $d\sigma^2=dR^2+R^2(d\theta^2+sin^2\theta d\varphi^2)$
и она описывает сферу, а не ЕВклидову плоскость.

Это верно. В этом множителе $sin^2\theta$ все и дело. Здесь, конечно, метрика неевклидова. Но множитель непостоянный. Его прозводные не все нули.
А у Вашей метрики коэффициент постоянный. его производные нули. Потому метрика Евклидова. Вот и разница.

[evgeniy]

Все равно кривизна поверхности сферы не нулевая. Метрический интервал для любой гладкой поверхности равен
$d\sigma^2=d\rho^2+ds_1^2+ds_2^2=d\rho_1d\rho_2+\rho_1^2d\varphi_1^2+\rho_2^2d\varphi_2^2$.
Так что получается, что любая поверхность Евклидова, метрический интервал равен сумме квадратов приращений аргумента. Чушь какая-то. По видимому существует локальная евклидовость поверхности и глобальная Евклидовость. К сожалению у меня нет книги под рукой. Евклидовость поверхности подразумевает существования положительно определенного скалярного произведения, причем для произвольных векторов, а не только локальных. Я приду домой и посмотрю книгу по функциональному анализу, там это прописано.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415812 писал(а):

Метрический интервал для любой гладкой поверхности равен
$d\sigma^2=d\rho^2+ds_1^2+ds_2^2=d\rho_1d\rho_2+\rho_1^2d\varphi_1^2+\rho_2^2d\varphi_2^2$.

Много невведенных обозначений. Смысл обретут, когда обозначения будут расшифрованы. ПОка что бессодержательно.

evgeniy в сообщении #415812 писал(а):

Евклидовость поверхности подразумевает существования положительно определенного скалярного произведения

Полная путаница в мозгах. Путаете Евклидово пространство (где, да, скалярное произведение нужно) с изометричностью Евклидовой поверхности.

evgeniy в сообщении #415812 писал(а):

причем для произвольных векторов, а не только локальных

Бессмыслица. Путаница в понятиях.

evgeniy в сообщении #415812 писал(а):

Так что получается, что любая поверхность Евклидова, метрический интервал равен сумме квадратов приращений аргумента.

Не получается. Не всегда равен. Препятствие-кривизна.
Не надо читать функциональный анализ. Почитайте дифференциальную геометрию, Теорему Гаусса о кривизне.

[evgeniy]

В формуле $d\sigma^2=d\rho^2+ds_1^2+ds_2^2$, де величина $\rho$ это гаусова кривизна, а величины $ds_l,l=1,2$ это огибающие в перпендикулярных сечениях, где взяты главные радиусы кривизны. Получается, что приращение метрического тензора равно сумме квадратов приращений аргументов. Так что произвольная гладкая поверхность является Евклидовой? Она не евклидова, так же как и поверхность сферы не является евклидовой, если в произвольном сечении, проходящем через центр сферы, воспользоваться определением кривизны, то получим $\frac{1}{R}=\frac{d\varphi}{ds}$ где имеем наклон касательной $\varphi $ и огибающую в выбранном сечении $s$.
Кривизна поверхности сферы не равна нулю, еще по одной причине, имеется формула для плоского сечения $\frac{1}{R}=y^{''}/[(1+(y^{'})^2]^{3/2}$, т.е. это поверхность с не нулевой кривизной. пРичем это плоское сечение соответвтвует любой плоскости, проходящей через центр сферы. Я не знаю, может быть это называется Евклидовой метрикой, но что кривизна поверхности сферы не равна нулю и описывается моими формулами я это точно знаю.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415831 писал(а):

де величина $\rho$ это гаусова кривизна

Неправда. Нет формул, куда бы производная кривизны входила.

evgeniy в сообщении #415831 писал(а):

де величина $\rho$ это гаусова кривизна, а величины $ds_l,l=1,2$ это огибающие в перпендикулярных сечениях,

Огибающие чего? Судя по обозначениюм, это ковектор, а огибающая - это кривая. Не сходится.

evgeniy в сообщении #415831 писал(а):

Получается, что приращение метрического тензора равно сумме квадратов приращений аргументов.

Не получается. Формула ошибочна.

Цитата:

Так что произвольная гладкая поверхность является Евклидовой?

Ни в одном глазу.
И не подтасовывайте. жульничать не надо. Неграмотно употреблять слова 'поверхность Евклидова'. Нужно: поверхность с Евклидовой метрикой, или поверхность, изометричная плоскости.

evgeniy в сообщении #415831 писал(а):

Я не знаю, может быть это называется Евклидовой метрикой, но что кривизна поверхности сферы не равна нулю и описывается моими формулами я это точно знаю.

Кривизна сферы не равна нулю, но метрика сферы не описывается Вашими формулами.
Да о чем вы говорите!

Формулы для новых переменных написать не можете, для описания построения у Вас бумаги не хватает. На каком тогда основании, без вывода, Вы утверждаете, что формулы верны. Взяли их с потолка. Вот когда покажете во всех подробностях свои построения, укажу Вам ошибку в них. а пока довольствуйтесь констатацией ошибочности формул.



Почитайте учебник. Хоть словам правильным научитесь.

[12d3]

evgeniy
Я предлагаю вам изложить свои построения с самого начала, но с подробными объянениями. Описывайте любое новое обозначение, которое вводите. Если пишете уравнение, то говорите, откуда оно взялось и что значит. Я могу начать за вас.
Итак, вы вводите новые координаты таким образом:
$\tg \psi_1 = \frac{x_1}{x_3}$
$\tg \psi_2 = \frac{x_2}{x_3}$
$R = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$
Причем область определения $(\psi_1, \psi_2)$ такая: $(\psi_1, \psi_2) \in [-\frac \pi 2 ; \frac \pi 2] \times [-\frac \pi 2 ; \frac \pi 2] \cup [\frac \pi 2 ; \frac {3\pi} 2] \times [\frac \pi 2 ; \frac {3\pi} 2]$
Старые координаты через новые выражаются следующим образом:
$x_1=Rsin\psi_1/\sqrt{1+cos^2\psi_1 tan^2\psi_2}=R\alpha_1$
$x_2=Rsin\psi_2/\sqrt{1+cos^2\psi_2 tan^2\psi_1}}=R\alpha_2$
$x_3=Rcos\psi_1/\sqrt{1+cos^2\psi_1 tan^2\psi_2}=Rcos\psi_2/\sqrt{1+cos^2\psi_2 tan^2\psi_1}}=R\alpha_3$
Правда, уже тут непонятно, что делать с точками, у которых $x_3=0$, ну да ладно, пока про это забудем.
Дальше, вы вводите метрический тензор в новых координатах. Будьте добры, выпишите его покомпонентно. Далее, рассматривается лапласиан в новых координатах, и делится на 2 части каким-то образом. Напишите, пожалуйста, сначала лапласиан полностью, чтобы было понятно как он выглядит и как его делить (заодно сравню с тем, что у меня получилось).
Будет прекрасно, если вы все таким образом подробно опишете и объясните.

[svv]

Старые координаты через новые можно выразить и так:

$$x_1=\frac {R\sin \psi_1 \cos \psi_2}{\sqrt{1-\sin^2 \psi_1 \sin^2 \psi_2}}$$

$$x_2=\frac {R\cos \psi_1 \sin \psi_2}{\sqrt{1-\sin^2 \psi_1 \sin^2 \psi_2}}$$

$$x_3=\frac {R\cos \psi_1 \cos \psi_2}{\sqrt{1-\sin^2 \psi_1 \sin^2 \psi_2}}$$

Здесь единый симметричный знаменатель и нет тангенсов.

[evgeniy]

svv, у вас не получается формула $x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2$,
так что ваши формулы нельзя использовать.
12d3. обозначение $arg(x_3+ix_l)=\psi_l$ справедливо при условии $0<\psi_l<2\pi$, т.е. оно более общее, чем привели Вы. Формула теряет свой смысл, если $x_1=x_2=x_3=0$, а при остальных значениях координат угол определяется, в частности и при $x_3=0$, угол определяется по формуле x_l>0,\psi_l=\pi/2,x_l<0,\psi_l=-\pi/2$
Shwedka, еВклидова метрика введена в противоположность метрики РИманова пространства, и любое тело в ЕВклидовом пространстве обладает Евклидовой метрикой. В частности нужно выбрать нормаль к поверхности, и оси в касательной плоскости, и получится еВклидова метрика. Так что любое гладкое тело в Евклидовом пространстве обладает Евклидовой метрикой.
Теперь о кривизне поверхности. Действительно радиус в формуле $R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)$Постоянен, но это не значит, что кривизна, поверхности описываемая этими координатами нулевая. Нулевую кривизну имеет касательная плоскость, а предлагаемые координаты описывают сферу, с не нулевой кривизной. БОльше на эту тему я говорить не буду, тут достигнута полная прозрачность, и я не понимаю почему Вы не соглашаетесь. ПРедлагаемые координаты правильно описывают сферическую поверхность, формула проста.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #417182 писал(а):

й. В частности нужно выбрать нормаль к поверхности, и оси в касательной плоскости, и получится еВклидова метрика. Так что любое гладкое тело в Евклидовом пространстве обладает Евклидовой метрикой.

полностью иррелевантно. речь идет не о теле, а о поверхностях. Возьмите учебник и прочитайте там о Гауссовой кривизне.

evgeniy в сообщении #417182 писал(а):

Постоянен, но это не значит, что кривизна, поверхности описываемая этими координатами нулевая. Нулевую кривизну имеет касательная плоскость, а предлагаемые координаты описывают сферу, с не нулевой кривизной.

Цитата:

ПРедлагаемые координаты правильно описывают сферическую поверхность, формула проста.

Это Ваши слова. вы еще не предъявили вычислений. Координаты не приведены.
ваш пустой разговор.

evgeniy в сообщении #417182 писал(а):

Действительно радиус в формуле $R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)$Постоянен, но это не значит, что кривизна, поверхности описываемая этими координатами нулевая

Именно это значит, по теореме Гаусса о кривизне.
Еще это означает, что в Ваших вычислениях ошибка.
Когда приведете подробные вычисления, я укажу ошибку. А до тех пор-- все это Ваши безосновательные заявления.

[12d3]

evgeniy в сообщении #417182 писал(а):

svv, у вас не получается формула $x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2$,
так что ваши формулы нельзя использовать.

У вас проблемы с арифметикой? Не поленитесь, посчитайте.

evgeniy в сообщении #417182 писал(а):

Формула теряет свой смысл, если $x_1=x_2=x_3=0$, а при остальных значениях координат угол определяется, в частности и при $x_3=0$, угол определяется по формуле x_l>0,\psi_l=\pi/2,x_l<0,\psi_l=-\pi/2$

Проблема в том, что всем точкам дуги $(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1, x_3=0, x_1>0, x_2>0)$ соответствуют одни и те же координаты $(R,\psi_1,\psi_2)$, что не есть хорошо.
И да, вопрос такой: вы собираетесь приводить подробные вычисления, а не как сейчас, непонятные отрывки, слабо связанные друг с другом?

[evgeniy]

Это сложная процедура и мне надо не меньше недели чтобы набрать необходимый текст.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #417258 писал(а):

Это сложная процедура и мне надо не меньше недели чтобы набрать необходимый текст.

То есть, его сначала нужно написать.
Не поленитесь все же тогда и учебник почитать. А то в трех кривизнах путаетесь.

Вот так Вы не впервые. Противопоставляете свои невнятные черновики и мутные идеи классическим теоремам.

[Aleksandritoff]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #417264 писал(а):

То есть, его сначала нужно написать.
Не поленитесь все же тогда и учебник почитать. А то в трех кривизнах путаетесь.

Вот так Вы не впервые. Противопоставляете свои невнятные черновики и мутные идеи классическим теоремам.

Простите что обращаюсь к вам в форуме, а не в личном сообщении.
Я иногда читаю темы в которых вы очень активно отвечаете на вопросы или коментируете сообщения и замечаю, что темы и вопросы неоднократно повторяются.
Мне не понятно как вы терпите те же самые вопросы столько лет ?
И почему не обратитесь к супермодераторам с просьбой "забанить" пользователей, которые занимаются "флеймом" или удалить "учётную запись" пользователей, которые повторяют вопросы и темы с целью создания ажиотажа и привлечения внимания, чтобы ограничить появление на форуме, тем не являющихся позновательными.

[shwedka]

Aleksandritoff

(Оффтоп)

А, понимаете, профессия у меня такоя, учить студентов, часто весьма тупых.
поэтому мне профессионально интересно, справлюсь ли я с особенно тупыми индивидами. И тема здесь не так уж и важна. Индивиды-то меняются. И у каждого свой заскок.

[evgeniy]

Или имеется терминологическая путаница, гауссовой кривизной называем разные вещи или я действительно что-то путаю. Я взял математическую энциклопедию, и прочел, что такое Гаусова кривизна. До этого я читал Смирнова, и там гаусова кривизна определяется как произведение $1/(\rho_1 \rho_2)$, где радиусы берутся в перпендикулярных сечениях, и по существу равны в каждом сечении $1/\rho_l=\frac{\partial \varphi_l}{\partial s_l}\eqno(1)$. В одном из перпендикулярных сечений строится касательный угол $\varphi_l$ и вычисляется огибающая $ds_l$.
Но я прочел теорему в энциклопедии. Для
$ds^2=Edu^2+Fdudv+Gdv^2$
При условии $E=G=\lambda,F=0$ гауссова кривизна определяется как величина
$K=\frac{1}{\lambda}\Delta ln\lambda$
Т.е. для моего случая равна нулю, так как \lambda=R^2=const$.
Выходит формула (1) не верна, что абсолютно не постижимо. Или это разные определения кривизны. Пока я в этом не разберусь, излагать мой материал не имеет смысла.
Дело в том, что по Смирнову Гауссова кривизна сферы равна $1/R$, согласно формуле $\frac{1}{R}=cos^2\theta/R_1+sin^2\theta/R_2$ и при $R_1=R_2$, получаем результат.
Кроме того, в этой теореме, которую я прочел в энциклопедии, рассматривается и не евклидовы поверхности, сумма углов которых в треугольнике меньше $\pi$. мНе это абсолютно ни к чему.
Я ограничусь Смирновым Курс Высшей математики.
тАк что я склоняюсь к тому что у нас произшло терминологическое не понимание, и правы как я, так и Вы.