Преобразования Лоренца в газе,твердом теле для макрообъемов

[myhand]

evgeniy в сообщении #417254 писал(а):

Мне надо подумать.

Да Вы уже с неделю так "думаете". Пора уже что-то "родить".

evgeniy в сообщении #417254 писал(а):

Мне кажется, что для связи индукции и напряженности достаточно формул (8-9)

А мне так не "кажется". Я не вижу тут явной связи между $\vec E$ и $\vec D$, к примеру. Более того, я знаю что ее тут нет - иначе бы и не давал Вам дополнительно уравнения Максвелла (6-7).

evgeniy в сообщении #417254 писал(а):

Впрочем я обязательно займусь нахождением связи между E и H

Вы поставленную задачу решить способны? Вы понимаете, что просят сделать или нет?

Поставленную задачу нужно решить за Вас?

[Munin]

evgeniy в сообщении #417254 писал(а):

Мне надо подумать.

Вам надо не подумать, а сесть за стол, взять ручку и бумажку, и научиться работать с векторами, тензорами и дифференциальными уравнениями. Лучше поздно, чем никогда.

[whiterussian]

whiterussian:

evgeniy
Если за 24 часа после публикации настоящего поста вы не предоставите хоть какой-то вменяемый ответ на вот этот вопрос - тема будет временно закрыта, а вы получите в свое распоряжение время, свободное от форума - для осмысления.

[evgeniy]

Пошли ка Вы подальше на все 24 часа!

whiterussian:

Автору вынесено предупреждение за неподобающее поведение на форуме.
Все предыдущие замечания остаются в силе.

[Munin]

Не хочет человек умнеть - не надо его заставлять через силу... Может, он от этого нервным станет, или запьёт.

[evgeniy]

Чтобы ответить на Ваши вопросы мне нужно время до вторника. Дело в том, что задача сложнее чем представляет Myhand. Он считает, что движущийся диэлектрик можно описать уравнениями мАксвелла. Так вот у движущегося диэлектрика, из-за того что он подчиняется уравнению $\frac{\partial H^{\lambda \mu}}{\partial x^\mu}=0$ и в запись этого уравнения войдут линейные по скорости члены. Т.е. к уравнению МАксвелла добавятся члены, линейные по скорости. аналогично и к уравнению $\vec D=\epsilon \vec E$ справедливому для неподвижного тела, добавились члены, линейные по скорости. Myhand этого не понимает. оН считает, что движущийся диэлектрик описывается стандартными уравнениями МАксвелла.

[Munin]

evgeniy в сообщении #417528 писал(а):

Myhand этого не понимает.

Он всё прекрасно понимает.

evgeniy в сообщении #417528 писал(а):

оН считает, что движущийся диэлектрик описывается стандартными уравнениями МАксвелла.

Это и есть стандартные уравнения Максвелла. Которые вам указали ещё в самом начале. post391309.html#p391309 , два месяца назад, сообщение на первой странице темы. Исключительно ваша личная проблема, что вы их не знаете.

[myhand]

evgeniy в сообщении #417528 писал(а):

Он считает, что движущийся диэлектрик можно описать уравнениями мАксвелла.

Я не "считаю", а знаю. И Вы знали бы, если бы хоть того же ландавшица читали.

Вам не нужно ничего выдумывать. Вам дали чисто математическую задачку. Все уравнения (1-7) - выписаны. Решайте. Откуда они берутся - тоже пояснили. Неужели сложно было за неделю освоить пару праграфов (VIII, 75-76) ландавшица? Тем более, что в них Вас тыкали чуть-ли не с начала треда.

Вы в состоянии решить эту простую математическую задачку за день? Если нет - не томите нас своим нытьем. Просто попросите, чтобы решили за Вас и все объяснили.

[Munin]

whiterussian
Предлагаю продлить назначенный вами срок до среды 2 марта. Думаю, никакой разницы не будет.

[evgeniy]

Уравнения для связи электрической и магнитной индукции в движущемся теле записываются в виде (cчитаем для простоты вычислений скорость света удовлетворяющей )
$\vec D-\epsilon \vec V \times \vec B=\epsilon \vec E -\vec V \times \vec H$
$\mu \vec V \times \vec D+\vec B=\mu \vec H+\vec V \times \vec E \eqno(3) $
умножим скалярно обе части (3) на величину скорости, получим$ (\vec D,\vec V)=\epsilon (\vec E,\vec V) $
$ (\vec B,\vec V)=\mu (\vec H,\vec V) $
откуда получаем $\vec D_{\parallel}=\epsilon \vec E_{\parallel}$$\vec B_{\parallel}=\mu \vec H_{\parallel}$                                                          
где индекс $\parallel$  означает величину параллельную скорости, а индекс $\perp$ величину перпендикулярную скорости.Умножим обе части (3)  векторно на величину скорости, получим$\vec V \times \vec D-\epsilon \vec V \times (\vec V \times \vec B)=\epsilon \vec V \times \vec E -\vec V \times (\vec V \times \vec H) $
$\mu \vec V \times (\vec V \times \vec D)+\vec V \times \vec B=\mu \vec V \times \vec H+\vec V \times (\vec V \times \vec E) $
Распишем тройное векторное произведение и подставим вместо $\vec V \times \vec D$ и  $\vec V \times \vec B$ ее значение через напряженность по формуле (3)
$\vec B(V^2\epsilon-1/\mu)=\vec V \times \vec E(\epsilon-1/\mu)-\vec H(1-V^2)+\epsilon \vec V V B_{\parallel}-\vec V V H_{\parallel}$
$\vec D(1/\epsilon-\mu V^2)=\vec V \times \vec H(\mu-1/\epsilon)+\vec E(1-V^2)-\mu \vec V V D_{\parallel}+\vec V V E_{\parallel}$
Тут необходимо сделать замечание. Полученные формулы отличаются от записанных Myhand, двумя последними членами. Учитывая, что выведенные формулы Myhandом (3), (4) и (5)см. topic40152-90.html отличаются от формул (8) и (9)см. topic40152-105.html, надеюсь, что мои формулы справедливы. Различие в двух последних членах, которых у Myhanda нет. Я не смог более точно указать место, в которые помещены формулы, поэтому необходимо пролистать данную страницу в интернете.
Теорема 1. Значение скорости тела, равное $V^2=1/(\epsilon \mu) $ , приводит к равенству $\vec B_{\parallel}=\vec D_{\parallel}=0$ .Подставим значение скорости равное $V^2=1/(\epsilon \mu) $ и преобразуем формулу, получим
$\vec B(V^2\epsilon-1/\mu)=(\vec V \times \vec E-\vec H/\epsilon+\vec V V B_{\parallel})(\epsilon-1/\mu) $
$\vec D(1/\epsilon-\mu V^2)=(\vec V \times \vec H+\vec E/\mu-\vec V V D_{\parallel})(\mu-1/\epsilon)\eqno(4) $
Разложим вектор напряженности $\vec H/\epsilon$ и $\vec E/\mu$ на параллельную и перпендикулярную скорости компоненты в обоих формулах (4), получим
$\vec B(V^2\epsilon-1/\mu)=(\vec V \times \vec E-\vec H_{\perp}/\epsilon+\vec V V B_{\parallel}-\vec H_{\parallel}/\epsilon})(\epsilon-1/\mu) $
$\vec D(1/\epsilon-\mu V^2)=(\vec V \times \vec H+\vec E_{\perp}/\mu-\vec V V D_{\parallel}+\vec E_{\parallel}/\mu)(\mu-1/\epsilon)\eqno(5) $
Найдем величину  индукции по обоим формулам (5)
$\vec B=[\frac{\vec V \times \vec E-H_{\perp}/\epsilon}{V^2\epsilon \mu -1}+\vec B_{\parallel}/(\epsilon \mu)](\epsilon \mu -1) $
$\vec D=[\frac{-\vec V \times \vec H-E_{\perp}/\mu}{V^2\epsilon \mu -1}+\vec D_{\parallel}/(\epsilon \mu)](\epsilon \mu -1)\eqno(6) $
Откуда получаем $B_{\parallel}=D_{\parallel}=0$ , в силу того, что первый член правой части (6) ортогонален вектору скорости, а второй параллелен и значит, второй член (6) равен параллельной скорости компоненте электрической и магнитной индукции, что возможно только при условии $\epsilon \mu \to \infty$ .Конец доказательства.
Чтобы магнитная индукция имела конечное значение должно выполняться
$\vec V \times \vec E=\vec H_{\perp}/\epsilon$
$\vec V \times \vec H=-\vec E_{\perp}/\mu$
Получим связь между напряженностями электрического и магнитного поля и его индукцией при скорости тела, равной его фазовой скорости, для чего приведем подобные члены в равенстве (4), получим равенство
$\vec B(V^2\epsilon \mu-1)=(\vec V \times \vec E-\vec H_{\perp}/\epsilon)(\epsilon \mu-1) $
$\vec D(1-\mu \epsilon V^2)=(\vec V \times \vec H+\vec E_{\perp}/\mu)(\mu \epsilon-1)\eqno(7) $
или разрешая это уравнение по правилу Лопиталя, получим
$\vec B=(\vec V/V \times E)(\epsilon \mu -1)/(2V\epsilon \mu) $
$\vec D=(\vec V/V \times H)(\epsilon \mu -1)/(2V\epsilon \mu) $
Причем воспользовались равенством $\vec V/V=d\vec V/dV=dV \vec e/dV=\vec e=\vec V/V$. Подставим это равенство в уравнение Максвелла
$rot \vec H=\frac{1}{c}\frac{\partial \vec D}{\partial t}=-\frac{\partial \vec V \times \vec H}{\partial t}\frac{\epsilon \mu-1}{2V^2\epsilon \mu}$
$div \vec D=0=(V,rot \vec H) \frac{\epsilon \mu-1}{2V^2\epsilon \mu}\eqno (8) $
где воспользовались тождеством $div\vec V \times H=e_{ikn}V_k\frac{\partial H_n}{\partial x_i}=-V_k e_{kin}\frac{\partial H_n}{\partial x_i}=-(\vec V,\vec H) $
Вторая совокупность уравнений Максвелла выглядит таким образом
$rot \vec E=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\frac{\partial \vec V \times \vec E}{\partial t}\frac{\epsilon \mu-1}{2V^2\epsilon \mu}$
$div \vec B=0=(V,rot \vec E) \frac{\epsilon \mu-1}{2V^2\epsilon \mu}\eqno (9) $
При этом уравнения (8) и (9) для гармонических колебаний эквивалентны
$\frac{\partial H_l}{\partial x_k}=\mp\frac{i\omega(\epsilon \mu-1)V_k}{2cV^2\epsilon \mu}H_l$
т.е. для зависимости относительно продольной компоненты, получаем $H_l=exp[\mp ik_p(x_p-x_p^0)]H_l^0$
эта формула в случае имеющейся проводимости определяет растущее решение. Для  чисто диэлектрического тела, она определяет плоскую волну, с волновым числом $k=\mp \frac{\omega(\epsilon \mu-1)}{2cV\epsilon\mu}$, направленным вдоль скорости тела. Причем, для величины $\vec E$ и величины $\vec H$ получены одинаковые соотношения, т.е. они связаны линейным соотношением в силу влияния граничных условий.  Причем эта связь линейная $\vec E_i=\alpha_{ik}\vec H_k$, а функции $\alpha_{ik}$  произвольные константы. При этом электромагнитное поле зависит от одной продольной по скорости координате. Из равенств (7) следует следующее соотношение при условии
$V^2=1/(\epsilon \mu) $$\vec V/V\times E_{\perp}=\sqrt{\mu/\epsilon}\vec H_{\perp}$
$\vec V/V\times H_{\perp}=-\sqrt{\epsilon/\mu}\vec E_{\perp}\eqno(10) $
т.е. перпендикулярные скорости компоненты напряженности образуют плоскую волну, параллельная компоненте скорости напряженность электромагнитного поля равна нулю по доказанной теореме с безразмерным волновым числом, равным  $\vec k=\vec V\sqrt{\mu}/(V\sqrt{\epsilon})$, что не совпадает с волновым числом, полученным из уравнений Максвелла.       Из не совпадений волновых чисел при произвольной величине частоты следует, что в движущемся теле возможно колебание только при определенной частоте.      Из соотношения (10) можно единственным образом определить константы $\alpha_{ik}$, связывающие перпендикулярные компоненты напряженностей электрического и магнитного поля через скорость движения тела. Для произвольного тела эта связь не реализуется, так она соответствует плоской волне с зависимостью от одной координаты. Она реализуется для полупространства с плоской границей. Следовательно, добиться конечного поля для произвольного, двигающегося со скоростью $V^2=1/(\epsilon \mu) $ невозможно. Индукция поля у тела, двигающегося со скоростью $V^2=1/(\epsilon \mu) $ ,  стремится к бесконечности, значит, тело не может двигаться с этой скоростью. Значит, максимальное значение скорости тела равно его фазовой скорости. Значит, в преобразовании Лоренца вместо скорости света в вакууме в случае диэлектрического тела, надо писать фазовую скорость тела.

[myhand]

evgeniy, а теперь внимание - правильный ответ.

Вы молодец, что заметили ошибку в формулах (4-5). Я размахивал ей перед Вашим носом как только мог :) К сожалению, почти сразу дальше "полась" пурга.

Итак, начнем с

$$\vec D + \vec v\times\vec H = \epsilon \left(\vec E + \vec v\times \vec B\right),\qquad\vec B + \vec E\times\vec v = \mu \left(\vec H + \vec D\times \vec v\right)\eqno{(2)}$$

Выражая из второго уравнения $\vec B$ и подставляя в первое - получаем:

$$\vec D (1 - \epsilon \mu v^2) = \epsilon (1-v^2) \vec E + \epsilon (1 - \epsilon\mu) \vec v (\vec v \cdot \vec E) + (\epsilon\mu - 1)\vec v \times \vec H\eqno{(4')}$$

Выражая $\vec D$ из первого - получим, соответственно:

$$\vec B (1 - \epsilon \mu v^2) = \mu (1-v^2) \vec H + \mu (1 - \epsilon\mu) \vec v (\vec v \cdot \vec H) + (\epsilon\mu - 1)\vec E \times \vec v\eqno{(5')}$$

Легко видеть, что из этих соотношений следуют и (3):

$$\vec D_{\parallel}=\epsilon \vec E_{\parallel},\qquad \vec B_{\parallel}=\mu \vec H_{\parallel} \eqno{(3)}$$

Остальные уравнения без изменений:

$$\vec k \cdot \left(\vec B_{\parallel} + \vec B_{\perp}\right) = 0,\qquad \vec k\times\left(\vec E_{\parallel} + \vec E_{\perp}\right)=\omega \left(\vec B_{\parallel} +\vec B_{\perp}\right) \eqno{(6)}$$

$$\vec k \cdot \left(\vec D_{\parallel} +\vec D_{\perp}\right) = 0,\qquad \vec k \times \left(\vec H_{\parallel} + \vec H_{\perp}\right)=-\omega \left(\vec D_{\parallel} + \vec D_{\perp}\right) \eqno{(7)}$$

Исследуем теперь случай $\vec k\parallel \vec v$. При этом из (6-7) тривиально следует равенство параллельных компонент нулю. Так что на самом деле - в этом случае формулы (3-4) и (3'-4') оказываются эквивалентными.

Оставшиеся уравнения позволят связать нам индукции и напряженности, а также получить закон дисперсии. Вот они (в уравнениях Максвелла я учел равенство нулю параллельных составляющих):

$$\vec D_{\perp}(1-\epsilon \mu v^2) = \epsilon (1 - v^2)\vec E_{\perp}+(\epsilon\mu - 1)\frac{v}{k} \vec k \times \vec H_{\perp}\eqno{(4')}$$

$$\vec B_{\perp}(1-\epsilon \mu v^2) = \mu (1 - v^2)\vec H_{\perp}+(\epsilon\mu - 1)\frac{v}{k}\vec E_{\perp} \times \vec k \eqno{(5')}$$

$$\vec k\times\vec E_{\perp}=\omega \vec B_{\perp} \eqno{(6')}$$

$$ \vec k \times \vec H_{\perp}=-\omega \vec D_{\perp}\eqno{(7')}$$

Здесь я также выбрал случай, когда $\vec v \cdot \vec k > 0$ - противоположное направление рассмотрим позже.

Из (4'-7') сразу получаем связи между индукциями и напряженностями:

$$\vec B_{\perp}=\mu \frac{1-v^2}{1-\epsilon\mu v^2 + (\epsilon\mu - 1) v \frac{\omega}{k}}\vec H_{\perp} \eqno{(8)}$$

$$\vec D_{\perp}=\epsilon \frac{1-v^2}{1-\epsilon\mu v^2 + (\epsilon\mu - 1) v \frac{\omega}{k}}\vec E_{\perp} \eqno{(9)}$$

Для получения закона дисперсии умножим (7') векторно на $\vec k$:

$$\vec k \times \left(\vec k \times \vec H_{\perp}\right) = -k^2 \vec H_{\perp} = -\omega \vec k \times \vec D_{\perp}$$

затем используем связь (9) между $\vec D_{\perp}$ и $\vec E_{\perp}$, а затем используем (6') и (8). Получим:

$$-k^2 \vec H_{\perp} = -\omega^2 \epsilon \mu \left(\frac{1-v^2}{1-\epsilon\mu v^2 + (\epsilon\mu - 1) v \frac{\omega}{k}} \right)^2 \vec H_{\perp}$$

и, соответственно, следующее дисперсионное уравнение:

$$1 - \frac{\omega}{k} \sqrt{\epsilon \mu} \left|\frac{1-v^2}{1-\epsilon\mu v^2 + (\epsilon\mu - 1) v \frac{\omega}{k}} \right| =0 \eqno{(10)}$$

Сразу заметим, что при подстановке в (10) $v=1/\sqrt{\epsilon \mu}$ - мы получаем тождество. Так что тут нужно действовать чуть хитрее. Рассмотрим случай $\epsilon \mu > 1$ и пусть $v < 1 /\sqrt{\epsilon \mu}$. С учетом того, что мы ищем $\omega/k >0$ - в уравнении (10) легко раскрыть знаки модуля. Ответ:

$$\frac{\omega}{k} = \frac{\frac{1}{\epsilon\mu} - v^2}{\frac{\sqrt{\epsilon\mu}}{\epsilon\mu - 1} - \frac{v}{1-v^2}}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{\epsilon\mu}}\right)(1-v^2)}\eqno{(11)}$$

Я преобразовал его, чтобы была очевидна его положительность и легко было вычислить предел $v\to1/\sqrt{\epsilon\mu}$. Кстати, указанный знак модуля годится и при $v> 1/\sqrt{\epsilon \mu}$ (числитель и знаменатель (10) меняют знак одновременно).

В пределе у меня получился конечный результат:

$$\left.\frac{\omega}{k}\right|_{v \to \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}} = \frac{2\sqrt{\epsilon \mu}}{1+\epsilon \mu} \eqno{(11')}$$

Соответственно, (8-9) в этом случае будут: $\vec B_{\perp}=\frac{\vec H_{\perp}}{\sqrt{\epsilon/\mu}}\frac{1}{\frac{\omega}{k}}$ и $\vec D_{\perp}=\frac{\vec E_{\perp}}{\sqrt{\mu/\epsilon}}\frac{1}{\frac{\omega}{k}}$. Никаких "бесконечностей". Индукции конечные, если конечные напряженности и наоборот.

Наконец, связь $\vec H_{\perp}$ и $\vec E_{\perp}$. Получаем ее из (9) и (7'):

$$\vec E_{\perp}=-\frac{\vec k \times \vec H_{\perp}}{\epsilon \omega} \frac{1-\epsilon\mu v^2 + (\epsilon\mu - 1) v \frac{\omega}{k}}{1-v^2} \eqno{(12)}$$

В пределе $v\to 1/\sqrt{\epsilon \mu}$ получаем

$$\vec E_{\perp}=-\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\frac{\vec k}{k} \times \vec H_{\perp} \eqno{(12')}$$

Бинго! evgeniy, кажется это соотношение Вы "нагадали" правильно. С учетом кривого знака. Только не забывайте, что и этот результат справедлив только в частном случае $v=1/\sqrt{\epsilon\mu}$.

Случай, когда волновой вектор направлен против скорости - приведет к тому, что знак множителя $v \frac{\omega}{k}$ в (8),(9), (10), (12) - изменится на противоположный. В (11) в знаменателе будет стоять сумма $\frac{\sqrt{\epsilon\mu}}{\epsilon\mu - 1} + \frac{v}{1-v^2}$ вместо разности. Так что при $v\to 1/\sqrt{\epsilon \mu}$ мы получаем $\frac{\omega}{k}\sim (1-\epsilon\mu v^2)\frac{\epsilon\mu - 1}{2\sqrt{\epsilon\mu}}\to 0$. Нужно говорить что из (8) и (9) отсюда следуют не "бесконечности", а попусту $\vec H = \vec B = \vec E = \vec D = 0$?

[Munin]

Когда волновой вектор направлен против скорости, а скорость равна $1/\sqrt{\varepsilon\mu},$ мы имеем волну, распространяющуюся по среде с той же скоростью, с которой движется среда. Так что кроме нулевого решения должно быть и ненулевое константное по времени.

[myhand]

Ну, с арифметикой вроде не наврал, так что уж "что выросло - то выросло". Буду благодарен, если кто проверит лишний раз.

Munin в сообщении #418771 писал(а):

мы имеем волну, распространяющуюся по среде с той же скоростью, с которой движется среда.

А разве не просто статическое поле?

[Munin]

Оно не подчиняется законам электро- и магнитостатики, например, ротор $\mathbf{E}$ не нуль.

Так что это, скорее, бегущая волна, сносимая средой с той же скоростью. Похожее явление можно наблюдать на порогах быстрых речек. И даже в струе воды, вытекающей из-под крана.

[myhand]

ну, чтобы ротор считать - одной компоненты фурье - маловато.