Что такое дифференциал?

[Mitrius_Math]

Если отказаться от использования понятия "дифференциал", то как тогда решить, например, такое дифференциальное уравнение: $(x-a)dx+(y-b)dy=0$ или, что то же самое, $(x-a)+(y-b)y'=0$? И как вообще решать обыкновенные дифференциальные уравнения?

[zbl]

Munin в сообщении #403286 писал(а):

zbl в сообщении #403260 писал(а):

А эффект Бома-Ааронова позволяет измерить абсолютную величину потенциала элмагполя?

Нет, конечно.

Уфф, отлегло.

Вопрос о существовании ширше будет даже вопроса об объективности и субъективности: ведь, субъективные вещи существуют же? причём, -- даже объективно существуют.
Для физики, конечно, вопрос попроще будет: то, что есть на самом деле, то и существует, а то, что мы придумали, то -- не существует.
Осталось уметь отличить одно от другого.
Вот энергия; она собой обозначает некий набор свойств Вселенной (например, сохранение энергии отражает однородность времени); эти свойства явно существуют, но существует ли энергия?
Физики (все, которых я знаю в Реале) говорят: а мы считаем существующим только то, что мы можем померить; всё остальное мы используем для описания (моделирования) того, что мы можем померить.

С этой точки зрения энергии как таковой в Природе нет (а, например, длина -- есть).
Это означает только то, что вместо энергии мы, если уж очень приспичило бы, то смогли бы использовать нечто совершенно другое: была бы у нас теория без энергии вообще (те свойства Вселенной, которые отражает энергия можно, например, поделить между несколькими отдельными физвеличинами); а вот без длины бы мы никак не обошлись (потому что прибор останется и то, что он измеряет, останется вместе с ним).

Квантовая механика сделала большое дело: перешла от вещей на бытовом уровне понятных и осязаемых к вещам напрямую непрощупываемым.
Но на самом деле, если посмотреть внимательно, то эти на бытовом уровне понятные вещи такие же опосредованные и субъективные: фотографии в семейном альбоме ничуть не более достоверны, чем фотографии молекул, которые начали появляться в последнее время.
Вопрос "что первично?" никто не отменял: можно считать, что уравнения существуют, а измерения не существуют, а лишь к уравнениям стремятся по мере увеличения точности.
На это легко возражать, но в принципе можно, всё время подстраивая смысл понятия об измерении, добиться, чтобы с повышением точности результат измерения стремился к теории, а не теория уточнялась (это именно потому возможно, что вопрос ни кто не отменял).

Я не видел в Реале физиков-идеалистов (а позитивизм -- это разновидность идеализма).
А в Сети я слышал (от человека, которого уважаю за его труд), буквально, что современная физика уже полностью стоит на платформе позитивизма.
По-моему, Сеть всё дальше отходит от Реала; а наши правители думают, что она всё больший вес играет в реальной жизни -- а на самом деле всё меньший, а не больший, занимая место лишь ещё одного средства коммуникации и только (общество наконец начинает воспринимать Сеть лишь как забор, на котором всякое понаписано).
Но это уж совсем другая история...

Munin в сообщении #403286 писал(а):

zbl в сообщении #403260 писал(а):

А в чём смысл перестановки фамилий?

Буржуи своих обычно первыми ставят (комуняки тоже своих ставили первыми, но те уже далече, а буржуи живы пока).
Вот и мы по серости своей привыкши всё больше по-англицки, да на буржуйский манер.

-- 22 фев 2011 02:48 --

Mitrius_Math в сообщении #415214 писал(а):

И как вообще решать обыкновенные дифференциальные уравнения?

Это не проблема.
Нет ничего такого, чтобы человек не смог придумать.
Поменяем парочку понятий, вместо старых парадоксов появится ровно такое же количество новых парадоксов, но разница будет не велика, потому что результат будет всё равно прежним, а от математики всем почему-то нужен именно результат, а не тот способ, которым он получен (например, всем интересно, верна ли та или иная теорема, а не как именно она доказывается).

[Padawan]

zbl в сообщении #415644 писал(а):

всем интересно, верна ли та или иная теорема, а не как именно она доказывается.

неправда

[Munin]

(zbl)

Хотел вам приватное сообщение отправить, и не смог.

zbl в сообщении #415644 писал(а):

Физики (все, которых я знаю в Реале) говорят: а мы считаем существующим только то, что мы можем померить; всё остальное мы используем для описания (моделирования) того, что мы можем померить.С этой точки зрения энергии как таковой в Природе нет (а, например, длина -- есть).

Это вы зря. Энергию померить можно.

zbl в сообщении #415644 писал(а):

А в Сети я слышал (от человека, которого уважаю за его труд), буквально, что современная физика уже полностью стоит на платформе позитивизма.

Ето не так. Так казалось в самом начале 20 века, и оказалось, что временно.

[zbl]

Padawan в сообщении #415653 писал(а):

zbl в сообщении #415644 писал(а):

всем интересно, верна ли та или иная теорема, а не как именно она доказывается.

неправда

Правда-правда.

-- 24 фев 2011 01:35 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #415755 писал(а):

Хотел вам приватное сообщение отправить, и не смог.

Может, я их вырубил, потому что практически здесь не бываю.
Есть ещё такой ящик: [e-mail]
Но я не общительный.

Munin в сообщении #415755 писал(а):

Энергию померить можно.

Массу -- можно.
А энергию -- только разность.

Munin в сообщении #415755 писал(а):

zbl в сообщении #415644 писал(а):

А в Сети я слышал (от человека, которого уважаю за его труд), буквально, что современная физика уже полностью стоит на платформе позитивизма.

Ето не так. Так казалось в самом начале 20 века, и оказалось, что временно.

Согласен.
По моим сведениям о позитивизме полностью забыли после войны в 50-60-х годах.
Ещё я заметил, что стихийные позитивисты не знают, что это разновидность идеализма и обижаются, когда их называют идеалистами, будто это ругательство какое-то.

[Munin]

zbl в сообщении #416430 писал(а):

Массу -- можно.А энергию -- только разность.

С использованием ОТО - можно и саму энергию. Разные значения энергии по-разному гравитируют. Точность, конечно, не ахти, но...

zbl в сообщении #416430 писал(а):

Ещё я заметил, что стихийные позитивисты не знают, что это разновидность идеализма

А я и не в курсе. Поясните?

[zbl]

Munin в сообщении #416671 писал(а):

С использованием ОТО - можно и саму энергию. Разные значения энергии по-разному гравитируют.

Утонем.
В 4-импульсе энергия однозначной положена от балды, тем же способом она однозначная в тензоре энергии-импульса, от которого уже зависит гравполе.
Если мы сидим в среде (вакууме), то измеряем гравитацию относительно гравитации этой среды, то есть от разности энергий поле зависит; это ещё без тягомутного вопроса что здесь называть системой отсчёта.
Нельзя, чтобы энергия не была однозначной: 4-вектора тогда из энергии и импульса не составишь.
Это широко известный в узких кругах анекдот об однозначности энергии в релятивистской физике: энергия неоднозначна в том смысле, что не существует эталона энергии (только разность энергий можно измерить), но тогда не выходит построить мир Минковского (динамику в пространстве-времени), потому что 4-импульс тогда не есть 4-вектор.
С другой стороны, мир Минковского прекрасно описывает экспериментальные данные, то есть формулы всяко у нас правильные.
Это значит, что просто есть небольшая непонятка того, как именно эти формулы связаны с реальностью, но "небольшая" не значит "простая".
Модуль 4-вектора измерить нельзя: нет эталона для интервала, только для длины и времени по-отдельности есть эталоны.
Сам Минковский думал, что пространство-время существует на тех же правах, как и обычное пространство, но ему сразу сказали: "Предъявите эталон интервала, пожалуйста", и он умолк.
Но и противники не смогли ничего умного возразить: результаты расчётов по формулам отлично совпадают с экспериментом.

Подобных мест в физике много (самых ярких десятки, не меньше).
Это не значит, конечно, что современная физика -- это лжеучение (эх, щас набегут альтернативщики): так и должно быть в любой науке, всегда так было и всегда будет; но студенты ждут от учебников прописных истин, а не тонких мест, и печально, что эту их страсть не отбивают у них преподы.

Вот, например, есть такое тонкое место, непосредственно связанное с анекдотом об однозначности энергии: импульс однородного элмагполя.
Если есть не ортогональные элполе и магполе (а ортогональны они только в волне могут быть), но однородные, то импульс поля не равен нулю.
Мандельштам в своих лекциях секрет давно раскрыл: интегрировать вектор Пойнтинга нужно только по замкнутой поверхности, тогда он тут нуль, естественно.
Мандельштам просто понимал прекрасно, как именно физически прибором импульс и энергия измеряются: измеряются всегда только разность энергии и всегда только изменение импульса (как вектора) и никогда их абсолютные значения -- нет эталона.
Мы измеряем поток разности энергий а не самой энергии.
Но сколько не ищите, не найдёте это важное пояснение Мандельштама в учебниках.
Да просто потому, что оно то и утверждает, что энергия определена неоднозначно, а так нельзя, 4-вектора тогда не составишь.

Между прочим, помню, когда нас учили электродинамике, препод обратил наше внимание на эту проблему именно так, как нужно было это сделать.
Жаль, только, что ниши умишки тогда были настроены именно исключительно на запоминание того, как правильно, и факт, что что-то в науке пока неясно, воспринимался как нонсенс.

Munin в сообщении #416671 писал(а):

zbl в сообщении #416430 писал(а):

Ещё я заметил, что стихийные позитивисты не знают, что это разновидность идеализма

А я и не в курсе. Поясните?

Если у Вас нет чесотки от "буржуазная наука", то БСЭ очень неплохой, кстати источник по таким вопросам:
http://bse.sci-lib.com/article081146.html

-- 24 фев 2011 19:51 --

Эх, не идёт у нас как-то с дифференциалами-то.
Голосованием решили их оставить.
Против принципа Чингачгука и того, что преподы вынуждены решать педзадачи, вроде, возражений тоже нет.
Второй дифференциал остался.

Если почитать упомянутый здесь учебник Картана, то выходит, что второго дифференциала как бы и нет.
Но мы все при этом умеем его считать, что даёт яркий пример сложности проблемы существования.
Высказывалось, что, дескать, он "не инвариантен".
Ещё я обратил внимание на то, что старое определение дифференциала не совпадает с его новым определением (именно поэтому и второй дифференциал выпадает).
Как быть?
Как в том фильме? -- страдать?

Можно развить и тему дифференциала в физике, если хотите, но ведь это в сторону?
Вот, теперь математики пишут так: $\int\omega$ или $\omega=a dx+b dy$.
На взгляд физиков это безграмотно, потому что писать можно только так: $\int d\nu$ или $d\nu=a dx+b dy$.
Математики скажут: "А не всегда существует такая функция $\nu=\nu(x,y)$".
А физики ответят: "А нам это ультрафиолетово, потому что мы никогда не делаем так, как нам хочется, а только так, как есть на самом деле. Справа стоит физически бесконечно малая величина, тогда и слева должен стоять дифференциал и это нужно указать буквой d".
Физики всегда интегрируют (измеряя) по некоторому заданному контуру.
Полный дифференциал означает только то, что интеграл от пути интегрирования не будет зависеть.
При этом слова "физически бесконечно малое" обозначают реальный факт, который виден на стрелке прибора и, действительно, нельзя никак бесконечно малое приравнять к конечному; значит, нужно ставить $d\nu$.

[Munin]

Вроде, "бесконечно малое, но может быть не дифференциал" обозначается через $\delta.$

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Сам Минковский думал, что пространство-время существует на тех же правах, как и обычное пространство, но ему сразу сказали: "Предъявите эталон интервала, пожалуйста", и он умолк.

Мдя-я-я. Он не умолк. Он сказал и сказал. В науке достаточно сказать один раз. А эталонов интервала можно предъявить сразу два: линейка и будильник.

Обидно, я от вас лучшего понимания СТО ожидал.

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Подобных мест в физике много (самых ярких десятки, не меньше).Это не значит, конечно, что современная физика -- это лжеучение (эх, щас набегут альтернативщики): так и должно быть в любой науке, всегда так было и всегда будет; но студенты ждут от учебников прописных истин, а не тонких мест, и печально, что эту их страсть не отбивают у них преподы.

Тонкие места в физике есть, но не в этом месте. А вместо прописных истин, в физике повсеместно есть описание одной реальности двумя-тремя-... пятнадцатью разными моделями.

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Если есть не ортогональные элполе и магполе (а ортогональны они только в волне могут быть)

Не только в волне. Берёте конденсатор и зазор в магните, и скрещиваете. У Фейнмана в ФЛФ этот пример подробно разобран.

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Мандельштам в своих лекциях секрет давно раскрыл: интегрировать вектор Пойнтинга нужно только по замкнутой поверхности, тогда он тут нуль, естественно.

Ещё можно края контура на бесконечность растянуть. Правда, тогда бесконечность и получится :-)

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Мы измеряем поток разности энергий а не самой энергии.

Пока
нет
гравитации.

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Но сколько не ищите, не найдёте это важное пояснение Мандельштама в учебниках.Да просто потому, что оно то и утверждает, что энергия определена неоднозначно, а так нельзя, 4-вектора тогда не составишь.

Неоднозначность ТЭИ поля - не секрет, вообще-то. Канонический ТЭИ симметризованному не равен. Но ОТО измеряет конкретно симметризованный, так что тут всё окей.

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Между прочим, помню, когда нас учили электродинамике, препод обратил наше внимание на эту проблему именно так, как нужно было это сделать.Жаль, только, что ниши умишки тогда были настроены именно исключительно на запоминание того, как правильно, и факт, что что-то в науке пока неясно, воспринимался как нонсенс.

В этом месте не "что-то пока неясно". В этом месте имеет место неопределённость теоретического описания, аналогичная калибровочной для потенциала. Как захотим - так и будет. Но в каких именно пределах простирается эта свобода - тут всё ясно, и в учебниках (хороших) прописано.

У Иваненко была забавная пара книжек: "Классическая теория поля" и "Квантовая теория поля". Это чтобы Мандельштамом не ограничиваться.

[zbl]

Munin в сообщении #416833 писал(а):

Вроде, "бесконечно малое, но может быть не дифференциал" обозначается через $\delta.$

Есть рекомендация писать так, особенно в термодинамике.
Но никто, разумеется, ей не следует, если нет реальной путаницы.
Факт тот, что совсем без значка писать никак нельзя.

Munin в сообщении #416833 писал(а):

А эталонов интервала можно предъявить сразу два: линейка и будильник.

Это эталон длины и эталон времени.
Время и длина с интервалом совпадут только в системе покоя, а физвеличины измерять уметь нужно во всех системах (иначе, закон преобразования не проверить экспериментально).

Munin в сообщении #416833 писал(а):

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Мы измеряем поток разности энергий а не самой энергии.

Пока
нет
гравитации.

Всегда.
Энергия и импульс -- это меры движения, а движение относительно, поэтому физсмыслом их значения обладать никак не смогут.

[Ales]

zbl в сообщении #416743 писал(а):

На взгляд физиков это безграмотно, потому что писать можно только так: $\int d\nu$ или $d\nu=a dx+b dy$.

Напрасно. Дифференциальные формы - самый простой, продвинутый и естественный метод интегрирования.
Цитируемый Вами подход исключает их использование.

-- Чт фев 24, 2011 23:03:55 --

zbl в сообщении #416743 писал(а):

Если почитать упомянутый здесь учебник Картана, то выходит, что второго дифференциала как бы и нет.
Но мы все при этом умеем его считать, что даёт яркий пример сложности проблемы существования.

Это разные объекты, но с одинаковым названием.

Дифференциальную форму интегрируют по кривым или поверхностям подходящей размерности.
Дифференциал формы - это форма следующей размерности такая, что ее интеграл по любой поверхности (объему) равен интегралу исходной формы по границе. Поэтому дифференциал дифференциала равен нулю.

Второй дифференциал в классическом смысле - это квадратичная форма, состоящая из членов ряда Тейлора второй степени. Он показывает тип особенности: седло, вершина, яма.

[Munin]

zbl в сообщении #416883 писал(а):

Это эталон длины и эталон времени.

Ага. И они же два эталона интервала: пространственноподобного и времениподобного.

zbl в сообщении #416883 писал(а):

Время и длина с интервалом совпадут только в системе покоя

Вообще, чтобы измерить длину, вам нужно линейку приложить. Поднести и повернуть. Вот приведение в нужную систему есть тот же самый поворот.

zbl в сообщении #416883 писал(а):

а физвеличины измерять уметь нужно во всех системах

Вы ничего ни с чем не путаете? Физвеличины не обязательно измерять непосредственно, их можно вычислять из непосредственно измеряемых. Например, температуру звезды не измеряют термометром, измеряют её спектр.

zbl в сообщении #416883 писал(а):

Энергия и импульс -- это меры движения

Ну, из этих штанишек надо вырастать рано или поздно.

zbl в сообщении #416883 писал(а):

а движение относительно

Простите? 4-вектор абсолютен.

[zbl]

Ales в сообщении #416952 писал(а):

zbl в сообщении #416743 писал(а):

На взгляд физиков это безграмотно, потому что писать можно только так: $\int d\nu$ или $d\nu=a dx+b dy$.

Напрасно. Дифференциальные формы - самый простой, продвинутый и естественный метод интегрирования.
Цитируемый Вами подход исключает их использование.

Отчего же так пессимистично?
Просто нужно понять, как это так получается, что $d\nu$ -- это настоящий дифференциал чего-то, даже тогда, когда функции $\nu$ не существует.
Ведь, требуется лишь под знаком интеграла всегда иметь дифференциал чего-то.
Не будут все формы точными: то есть, будут точными все, но двумя разными видами точности.

Ales в сообщении #416952 писал(а):

Это разные объекты, но с одинаковым названием.

Вот-вот.
Можно сказать: взяли совершенно новое понятие и назвали его старым словом, обозначавшим похожую, но принципиально иную вещь.

-- 06 мар 2011 03:42 --

Munin в сообщении #417023 писал(а):

Вообще, чтобы измерить длину, вам нужно линейку приложить. Поднести и повернуть. Вот приведение в нужную систему есть тот же самый поворот.

Измерения (любые -- и прямые, и косвенные) проводятся исключительно в одной системе отсчёта.

Munin в сообщении #417023 писал(а):

Физвеличины не обязательно измерять непосредственно, их можно вычислять из непосредственно измеряемых. Например, температуру звезды не измеряют термометром, измеряют её спектр.

Это верно: даже в стандарте у метрологов сказано, что не стоит уж так особо различать прямые измерения и косвенные.
Но ведь важно обеспечить, чтобы так вычисленная температура была бы равна настоящей температуре, чтобы не было ошибки в формулах?
Это обеспечение как раз даёт гарантию, что любому косвенному измерению можно поставить в соответствие прямое; можно так поменять систему мер, что косвенное измерение станет прямым.
Можно так выбрать систему мер, что вместо температуры по термометру будет какая-то другая спектральная величина.
Но есть и величины, которые вообще неизмеримы ни прямо, ни косвенно (потенциал элмагполя, например).
Разница в том, что для таких величин эталона не существует вообще, и никаким выбором системы мер косвенное измерение в прямое не превратишь для них.
Вот интервал -- это неизмеримая физвеличина; эталона интервала нет в отличие от эталона времени или длины.

Долгое время все преподы дружно смешивали понятия собственной длины, собственного времени, массы покоя с понятиями интервала и инвариантной массы.
Теперь же, я смотрю, стало даже нормой говорить "инвариантная масса", а не "масса покоя" или "просто масса".
Но это, если вообще есть в серьёзной среде, то лишь в самое последнее время стало так.

Масса покоя, например, -- это измеримая физвеличина, определённая только в одной системе отсчёта.
Поэтому в других системах её измерить можно только косвенно.
Инвариантная масса -- это неизмеримая физвеличина, численно совпадающая со значением массы покоя, но никак не измеримая, ни прямо, ни косвенно ни в одной системе отсчёта.
Так же и интервал: собственная длина и время -- измеримые в одной системе величины, измеримы только косвенно в других системах, интервал же не измерим ни в одной системе.

Munin в сообщении #417023 писал(а):

zbl в сообщении #416883 писал(а):

а движение относительно

Простите? 4-вектор абсолютен.

Но движение -- относительно.

[Munin]

zbl в сообщении #419755 писал(а):

Измерения (любые -- и прямые, и косвенные) проводятся исключительно в одной системе отсчёта.

Тю-у-у. В скольки захотим, в стольки и проведём. Берём два вольтметра, один привинчиваем к столу, другой ускоряем до 0,5c. Снимаем показания с обоих. Чтобы не гоняться за вольтметром, пускай передаёт нам цифры морзянкой по радио.

zbl в сообщении #419755 писал(а):

Но есть и величины, которые вообще неизмеримы ни прямо, ни косвенно (потенциал элмагполя, например).

Интервал к ним не относится. Идите в азбуку.

zbl в сообщении #419755 писал(а):

Долгое время все преподы дружно смешивали понятия собственной длины, собственного времени, массы покоя с понятиями интервала и инвариантной массы.

Не понятия, а слова. Понятий тут не пять, а два.

zbl в сообщении #419755 писал(а):

Теперь же, я смотрю, стало даже нормой говорить "инвариантная масса", а не "масса покоя" или "просто масса".

Потому что неудобно разными словами одно и то же называть. Опять же, Окунь кампанию развернул.

zbl в сообщении #419755 писал(а):

Масса покоя, например, -- это измеримая физвеличина, определённая только в одной системе отсчёта.Поэтому в других системах её измерить можно только косвенно.

Определённая она во всех системах отсчёта. Кроме того, системы отсчёта покоя вообще может не существовать, если масса нуль или мнимая.

zbl в сообщении #419755 писал(а):

Но движение -- относительно.

Повторяйте сколько угодно, вашего утверждения это не доказывает.

[indonata]

Итак, хоть уже прошло много лет с момента задания вопроса, тем не менее, поставленные в 1м посте задачи никто не потрудился решить.

Поэтому нагло предлагаю мои ответы.

Задача 1) "Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите $\sqrt{1.001}$". Мой ответ: 1.0005


Задача 2): "Чему равно $dx^3$, если $x=1$, $dx=2$ ?". Мой ответ: 6

Грустно видеть, что люди исписали 6 страниц формулами и сложными определениями, но не могут решить эти простейшие задачи.

Но ясно, что коли так много студентов не понимают этих простейших вещей: разницы между производной, дифференциалом и приращением,- то проблема заключается в системе преподавания, а не в студентах.

Итак, простой и краткий рецепт как все понять:

1) Откройте страницу 214 книги Фихтенгольц, том 1. Читайте со второго абзаца, со слов "Чтобы истолковать геометрически дифференциал dy". И да будет свет, вы поймете все, и вам станет ясно, в чем же отличие дифференциала функции от приращения функции, и почему дифференциал независимого аргумента таки равен его приращению

2) Но в Фихтенгольце нет простых примеров и задачек, где человек может попрактиковаться и прочувствовать то, что Фихтенгольц толкует геометрически. Поэтому даю опробованный лично рецепт - видеолекции по матану, сайт coursera, лекции на английском. Весь курс смотреть не нужно, просто начните с раздела derivatives, там на подобных задачках типа корня из 1.0001 вас всему научит. Вот ссылка на курс: https://www.coursera.org/learn/calculus1

Всем успехов

[Lia]

indonata
В теме нет студентов. Это обсуждение, в основном, профессиональных математиков и/или преподавателей о востребованности понятия.

Просьба в будущем воздержаться от вторжения в архивные темы без осознания истинного предмета и нюансов их обсуждения.