Перебраться через яму

[zbl]

Утундрий в сообщении #387546 писал(а):

Поучительней было бы откладАть вертикально не время, малопоказательное само по себе, а число "тумсов".

Мало что даст: точки встанут ровнее, но так же хаотично.

Тут понятно, что вокруг каждой точки есть отрезочек значений $v$.
И отрезочки всё короче становятся для малых $v$.
Осмыслена задача подсчитать вероятность того, что яма будет перепрыгнута за данное время (или число ударов).
Но уже видно, что вероятность перепрыгнуть яму будет равна вероятности вернуться назад.
Это лишает физсмысла время перелёта через яму.
То есть, на самом деле физически у нас очень не много отрезков значений $v$, которые бы были ответом на вопрос задачи.

[Утундрий]

zbl в сообщении #399505 писал(а):

Мало что даст: точки встанут ровнее, но так же хаотично.

Не так уж хаотично: ведь целые интервалы одинаковыми тумсами обладают. Получится занятная лестничка, по которой сразу будет видно, для каких скоростей движение простое, а в каких зонах появляется хаос.

[matlabist]

Вообще не понимаю что тут обсуждать.
Вы что, не можете написать уравнение движения шарика в поле тяжести и от него плясать???

У нас это была первая задача на подготовительных курсах...

[Утундрий]

(Оффтоп)

matlabist
Да просто мы тупые, а Вы умный. Теперь можно мы тут продолжим, пока Ваше Вашество займется своими Важными Вещами?

[zbl]

Утундрий в сообщении #399508 писал(а):

zbl в сообщении #399505 писал(а):

Мало что даст: точки встанут ровнее, но так же хаотично.

Получится занятная лестничка, по которой сразу будет видно, для каких скоростей движение простое, а в каких зонах появляется хаос.

Эти ступеньки будут зрительно размером с точку.
Хорошо, как не будет лень, нарисую не время, а число ударов.
Вероятность ещё хочу оценить: она микроскопическая должна получиться.
В общем, где хаос, там физически нет времени перелёта.

[dovlato]

Первое, что приходит в голову: $v=\sqrt{\frac{Rg}{2}}$
Но, может и не правильно....[/quote]
Похоже, что так. У меня ещё был гипотетический вариант: большущая V, удар о противоположную стенку, и после отскока от левой стенки - выскок. Но нет.. При больших V он, оказывается, сталкивается с правой стенкой асимптич. нормально, и поэтому моей "схемы двух отскоков" не получается. А все остальные варианты с небольшими скоростями уже явно займут бОльшее время.

[dovlato]

Munin в сообщении #370365 писал(а):

Такое впечатление, что значений скорости, при которых шарик перелетит яму - множество меры нуль.

Если шарик рассматривать как математическую точку - то, конечно, да. Но если учесть, что физический шарик имеет конечный размер, то при достаточной твёрдости и упругости шарика и краёв ямы решение простое. А именно, при большой скорости он долетит до края ямы, опустившись менее, чем на величину своего радиуса. Он отскакивает, причём угол отскока зависит от скорости, размеров ямы и шарика. И при достаточно большой скорости его отскок, очевидно, будет уже не влево, а вправо.

[Munin]

То есть, на половину радиуса. Забавный ответ, хороший.

[dovlato]

Munin в сообщении #414849 писал(а):

То есть, на половину радиуса. Забавный ответ, хороший.

Пожалуй, интерес представляет определение статистического распределения положений шарика при достаточно долгом аблюдении. Наверняка не больцмановское..(хотя, а почему бы нет?) И не очень понятно, насколько картина эргодическая. То есть физическая-то конечно эргодична, а математическая - там наверняка были бы какие-нибудь аттракции.(?)

[dovlato]

Munin в сообщении #370365 писал(а):

Я думаю, тут очень важно в качестве промежуточного шага целиком рассмотреть случай ямы прямоугольной.

В случае прямоугольной - есть сравнительно простое и красивое решение. Значит, всякий раз, когда точка ударяется о какую-нибудь боковую сторону, её горизонтальная скорость испытывает зеркальное отражение. Можно представить этот процесс иначе: непосредственно перед ударом мы мысленно убираем эту боковую сторону, так что шарик как бы продолжает свой путь без удара. При этом вертикальная скорость остаётся той же, ну а горизонтальная меняет знак. Но такой метод рассмотрения позволяет рассматривать всё движение шарика сразу - как бесконечную последовательность одинаковых параболических траекторий . На эту последовательность накладывается последовательность прямоугольников. Отсюда, например, становится ясно, что вся картина определяется отношением ширины прямоугольной ямы к дальности полёта свободного шарика$L=2V\sqrt{\frac{2R}g}$. Именно, если это отношение - рациональное число, то процесс необходимо периодический. Ну, а если иррациональное - то, скорее всего, все вообще возможные в яме параболы - равновероятны, и, таким образом, плотно заполняют всё её пространство. Кстати, плотность вероятности тут считается просто.

[zbl]

dovlato в сообщении #415015 писал(а):

В случае прямоугольной - есть сравнительно простое и красивое решение. Значит, всякий раз, когда точка ударяется о какую-нибудь боковую сторону, её горизонтальная скорость испытывает зеркальное отражение.

Тем же способом можно решать и для треугольной ямы.
Но для многоугольной ямы уже будет некая классификация траекторий в зависимости от положения ударов: с одной грани шарик может прыгать на разные грани в зависимости от текущей скорости и места на текущей грани.
Окружность -- это бесконечногранная яма.
Я приводил выше идею классификации траекторий по числу и положению ударов -- это то же самое.
Для каждого места удара и скорости будет некий сектор допустимых предыдущих мест удара и предыдущих скоростей.
Пересекая эти секторы, можно классифицировать траектории.
Физически нет смысла рассматривать большое количество ударов: при ударе погрешность скорости накапливается; 1% в начальной -- это уже не более десяти ударов нам светит только, а сто уже никак не светит.
Осталось лишь придумать способ визуализации этой классификации, понятный инженерам, и задача решена полностью.

Математически можно рассматривать всё разнообразие траекторий, но тогда и теории, способной описать это не будет: современная математика хила ещё для таких задач.
Например, даже для движения на плоскости в заданном потенциальном поле не существует пока теории, способной предсказать характер движения по начальным данным: слишком разнообразны возможные движения в различных полях.

Вот статистически (динамический хаос) -- другое дело.
Только, вопрос: а что такое тут будет вероятность перелететь через яму?
Физически есть только частотное определение: берём некое распределение (читай: гауссово) вероятности истинного значения начальной скорости, строим такую случайную величину, генерим её значения, пускаем шарик с такими скоростями и смотрим, перелетит ли он; а потом подсчитываем частоту перелётов.
На данный момент есть заранее не очевидный мне результат: при малых скоростях вероятность перелететь на ту сторону и вероятность вернуться назад весьма близки друг к другу.

[dovlato]

Было бы любопытно посмотреть Ваше решение для треугольной ямы.. Мне кажется, там вектор $\vec g$ при переходе "из ямы в яму" меняет направление?
Физически, наверно, информация забывается - это та самая эргодичность.. Впрочем, мне это не очень очевидно. Насколько я понял, тут народ обсуждал также и математически рафинированные модели - вот в них эргодичность вовсе не обязательна: возможны периодически повторяющиеся движения.

[zbl]

dovlato в сообщении #416433 писал(а):

Было бы любопытно посмотреть Ваше решение для треугольной ямы.

Не реально дождаться, чтобы я что-то сделал, так как для этого нужно статистически весьма редкое сочетание наличия времени, сил и желания.
Принцип же тот же самый: отражаем треугольник, поворачиваем силу тяжести, отражаем опять -- получится винтообразная такая полоска и бегущая по ней траектория.
Разница не велика по сравнению с прямоугольной-то ямой.

[Munin]

Достаточно велика. Получается тот же бильярд, только не в геометрическом, а в потенциальном виде. Никакого упрощения.

[dovlato]

zbl в сообщении #416902 писал(а):

Разница не велика по сравнению с прямоугольной-то ямой.

А всё-таки.. Вот, не знаю - осмысленный это вопрос - о статистическом распределении точки по объёму ямы? Через "год", например. Отож: будет это распределение зависеть от ейной формы? Я, например, чувствую, что, наверное, мог бы это всё счесть для прямоугольника. И - усё, всё остальное - тьма..

-- Пт фев 25, 2011 21:01:22 --

dvorkin_sacha в сообщении #379328 писал(а):

точка сделает вертикальную свечу. А это и значит, что она вернется по старой траектории обратно.

Очевидны, кажется, только два случая гарантированного возвращения: это "свеча"; и это падение по нормали. А, да! Ещё очевидно, что попав в нижнюю точку - точка вернётся..если допрежь того не выскочит с того конца. Но эти соображения справедливы вообще для любой симметричной ямы.