Прямоугольник 1*5

[Александр Т.]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #415843 писал(а):

Александр Т. в сообщении #415829 писал(а):

nnosipov в сообщении #415815 писал(а):

Натуральное число представляется суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда
любой его простой делитель вида $4k-1$ входит в каноническое разложения этого числа в чётной степени.

Суммой каких двух квадратов натуральных чисел представляется число 9?

Разумеется, никаких. Я имел в виду квадраты целых чисел.

Меня интересует представление в виде суммы квадратов натуральных чисел (см. offtop моего сообщения).

Ну да ладно. Ваше утверждение все равно можно использовать для решения вопроса о представлении в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Из него, например, следует, что если какое либо число непредставимо в таком виде, то его произведение на квадрат какого-либо натурального числа тоже нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (именно это меня и интересует).

Цитата:

Если в каноническом разложении числа есть хотя бы один простой делитель вида $4k+1$ или двойка в нечётной степени, то будет и представление в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (а иначе --- не будет).

Это утверждение, насколько я могу судить, противоречит предыдущему. Например, согласно предыдущему утверждению число 75 в виде суммы двух квадратов натуральных чисел предствить нельзя. Но 75 имеет простой делитель вида $4k+1$ — 5. Следовательно, согласно второму утверждению "будет и представление в виде суммы двух квадратов натуральных чисел".

[nnosipov]

Александр Т. в сообщении #415954 писал(а):

Цитата:

Если в каноническом разложении числа есть хотя бы один простой делитель вида $4k+1$ или двойка в нечётной степени, то будет и представление в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (а иначе --- не будет).

Это утверждение, насколько я могу судить, противоречит предыдущему. Например, согласно предыдущему утверждению число 75 в виде суммы двух квадратов натуральных чисел предствить нельзя. Но 75 имеет простой делитель вида $4k+1$ — 5. Следовательно, согласно второму утверждению "будет и представление в виде суммы двух квадратов натуральных чисел".

Ничему оно не противоречит. Постарайтесь это понять сами.

[nnosipov]

Александр Т. в сообщении #415954 писал(а):

Ну да ладно. Ваше утверждение все равно можно использовать для решения вопроса о представлении в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Из него, например, следует, что если какое либо число непредставимо в таком виде, то его произведение на квадрат какого-либо натурального числа тоже нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (именно это меня и интересует).

Всё немного сложнее: число $4$ нельзя представить суммой двух квадратов натуральных чисел, а произведение числа $4$ на $25=5^2$, т.е. число $100$ --- можно. В качестве полезного упражнения рекомендую аккуратно сформулировать критерий (необходимые и достаточные условия) представимости натурального числа в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

[Александр Т.]

(исправление в оффтопной части)

Александр Т. в сообщении #415954 писал(а):

... утверждение все равно можно использовать для решения вопроса о представлении в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Из него, например, следует, что если какое либо число непредставимо в таком виде, то его произведение на квадрат какого-либо натурального числа тоже нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (именно это меня и интересует).

это утверждение следует читать так

Цитата:

... утверждение все равно можно использовать для решения вопроса о представлении в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Из него, например, следует, что если какое либо число, которое не является квадратом натурального числа, непредставимо в таком виде, то его произведение на квадрат какого-либо натурального числа тоже нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (именно это меня и интересует).