Прямоугольник 1*5

[Wolf000]

Дан прямоугольник $1\cdot5$
Как разрезать его на равные части и сложить из них квадрат?

[worm2]

Надо же, такая красивая задача, а я о ней не слыхал...

[venco]

У меня получилось довольно много частей.

(Оффтоп)

20

[caxap]

[venco]

Ага. Только можно ещё все треугольники сделать с одинаковой ориентацией.

[Батороев]

Можно сократить количество частей:

[caxap]

Батороев

Wolf000 в сообщении #413815 писал(а):

Как разрезать его на равные части и сложить из них квадрат?

venco в сообщении #413830 писал(а):

Только можно ещё все треугольники сделать с одинаковой ориентацией.

[Батороев]

Извиняюсь! Спутал с другой известной задачей: "Разрезать пять одинаковых квадратов на две части и сложить из них новый квадрат".

[Александр Т.]

Wolf000 в сообщении #413815 писал(а):

Дан прямоугольник $1\cdot5$
Как разрезать его на равные части и сложить из них квадрат?

Эту задачку можно обобщить для прямоугольника $n\times m$, где на натуральные числа $n$ и $m$ наложены определенные условия.

(Какие именно условия)

Произведение $nm$ должно быть представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел: $nm=l^2+k^2$.

Такой прямоугольник можно разрезать на равные части так, чтобы можно было из них составить квадрат.

(На какое именно число частей)

$2nmlk$

(Оффтоп)

Не смог ни доказать, ни опровергнуть, что если натуральное число непредставимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, то его произведение на квадрат натурального числа также непредставимо в таком виде. Если для любого натурального числа существует такой квадрат нурального числа, что их произведение представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, то любой прямоугольник с рациональным отношением сторон можно разрезать на равные части так, чтобы из них можно было составить квадрат.

[Cash]

(Оффтоп)

Число разлагается на сумму двух квадратов, тогда и только тогда, когда
все его нечетные простые делители дают остаток 1 при делении на 4.

[Александр Т.]

(Оффтоп)

Cash в сообщении #415671 писал(а):

Число разлагается на сумму двух квадратов, тогда и только тогда, когда
все его нечетные простые делители дают остаток 1 при делении на 4.

Контрпример: число 90 имеет простой нечетный делитель 3, который не дает остаток 1 при делении на 4, но $90=3^2+9^2$.

[nnosipov]

Александр Т. в сообщении #415758 писал(а):

Cash в сообщении #415671 писал(а):

Число разлагается на сумму двух квадратов, тогда и только тогда, когда
все его нечетные простые делители дают остаток 1 при делении на 4.

Контрпример: число 90 имеет простой нечетный делитель 3, который не дает остаток 1 при делении на 4, но $90=3^2+9^2$.

Натуральное число представляется суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда
любой его простой делитель вида $4k-1$ входит в каноническое разложения этого числа в чётной степени.

[Александр Т.]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #415815 писал(а):

Натуральное число представляется суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда
любой его простой делитель вида $4k-1$ входит в каноническое разложения этого числа в чётной степени.

Суммой каких двух квадратов натуральных чисел представляется число 9?

[nnosipov]

Александр Т. в сообщении #415829 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #415815 писал(а):

Натуральное число представляется суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда
любой его простой делитель вида $4k-1$ входит в каноническое разложения этого числа в чётной степени.

Суммой каких двух квадратов натуральных чисел представляется число 9?

Разумеется, никаких. Я имел в виду квадраты целых чисел. Если в каноническом разложении числа есть хотя бы один простой делитель вида $4k+1$ или двойка в нечётной степени, то будет и представление в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (а иначе --- не будет).

[age]

(Оффтоп)

Cash
Любая сумма взаимно простых квадратов представляет собой или простое число или разлагается на меньшие суммы взаимно простых квадратов.
$p^2+q^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)...(m^2+n^2)$

-- Вт фев 22, 2011 22:04:08 --

(Оффтоп)

Александр Т. в сообщении #415758 писал(а):

Cash в сообщении #415671 писал(а):

Число разлагается на сумму двух квадратов, тогда и только тогда, когда
все его нечетные простые делители дают остаток 1 при делении на 4.

Контрпример: число 90 имеет простой нечетный делитель 3, который не дает остаток 1 при делении на 4, но $90=3^2+9^2$.

На сумму взаимно простых квадратов.